Examkin

Katı Cisimler

56 soru

Soru 1Soru →

Bir dikdörtgenler prizmasının tüm ayrıtlarının uzunlukları toplamı 4848 cm ve toplam yüzey alanı 94 cm294 \text{ cm}^2 dir. Buna göre, bu dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeninin uzunluğu kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 525\sqrt{2}

Cevap

Dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeninin uzunluğu 525\sqrt{2} cm'dir.
Dikdörtgenler prizmasının ayrıtları a,b,ca, b, c olsun. Ayrıtlar toplamı 4(a+b+c)=484(a+b+c)=48 cm olduğundan a+b+c=12a+b+c=12 cm olur. Yüzey alanı 2(ab+bc+ca)=942(ab+bc+ca)=94 cm²'dir. (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) özdeşliğine göre, 122=d2+9412^2 = d^2 + 94 (burada dd cisim köşegenidir) eşitliğinden 144=d2+94144 = d^2 + 94 ve d2=50d^2=50 bulunur. Buradan d=52d = 5\sqrt{2} cm olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Ayrıtlar toplamı formülünü yaz ve uygula.
a+b+c=12a+b+c = 12
Bir dikdörtgenler prizmasında 1212 ayrıt vardır ve her boyuttan dörder tane bulunur: 4(a+b+c)=484(a+b+c) = 48 ise a+b+c=12a+b+c = 12 olur.
2
Yüzey alanı formülünü belirle.
2(ab+bc+ca)=942(ab+bc+ca) = 94
Prizmanın toplam yüzey alanı, tüm yüzlerin alanları toplamıdır.
3
Cisim köşegeni formülü ile üçlü terim kare özdeşliği arasındaki ilişkiyi kur.
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca)
Cisim köşegeni d=a2+b2+c2d = \sqrt{a^2+b^2+c^2} olduğundan, d2=a2+b2+c2d^2 = a^2+b^2+c^2 ifadesini özdeşlikte yerine yazabiliriz.
4
Verilen değerleri özdeşlikte yerine koyarak cisim köşegeninin karesini bul.
d2=50d^2 = 50
122=d2+94⇒144=d2+94⇒d2=144−94=5012^2 = d^2 + 94 \Rightarrow 144 = d^2 + 94 \Rightarrow d^2 = 144 - 94 = 50 elde edilir.
5
Sonucun karekökünü alarak cisim köşegenini hesapla.
d=52d = 5\sqrt{2}
50=25×2=52\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} cm bulunur.

Anahtar Kavram

Dikdörtgenler prizmasında cisim köşegeni uzunluğu ve cebirsel özdeşlikler arasındaki ilişki.

İpuçları

1
Dikdörtgenler prizmasının ayrıtları a,b,ca, b, c ise ayrıtlar toplamının 4(a+b+c)4(a+b+c) olduğunu hatırlayın.
2
Cisim köşegeni formülü d2=a2+b2+c2d^2 = a^2+b^2+c^2 şeklindedir. Bu ifadeyi (a+b+c)2(a+b+c)^2 açılımında bulabilirsiniz.
3
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) özdeşliğini kullanarak yüzey alanı ve ayrıtlar toplamını bu denklemde yerine koyun.

Daha Fazla Pratik

Farklı bir soru tipi olarak, cisim köşegeni ve hacmi verilen bir prizmanın yüzey alanını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Ayrıtları temsili değerler seçerek denklemi sağlamaya çalışmak teorik olarak mümkün olsa da, özdeşlik kullanımı çok daha hızlı ve güvenli bir yöntemdir.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 2Soru →

Taban yarıçapı 6 cm olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kapta bir miktar su bulunmaktadır. Bu kabın içine, tamamen suya batacak şekilde metal bir küp atıldığında su seviyesi 2 cm yükselmektedir.

π=3\pi = 3 alındığına göre, atılan küpün bir ayrıtının uzunluğu kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Küpün bir ayrıtının uzunluğu 6 cm'dir.
Kaba atılan cisim tamamen battığı için, su seviyesindeki yükselmeden kaynaklanan hacim cismin hacmine eşittir. Yükselen kısım r=6r=6 cm, h=2h=2 cm olan bir silindirdir. Hacmi V=πr2h=3⋅62⋅2=216V = \pi r^2 h = 3 \cdot 6^2 \cdot 2 = 216 cm³ olur. Küpün hacmi a3=216a^3 = 216 cm³ olduğundan, bir ayrıtı a=6a=6 cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Suyun yükselmesiyle oluşan hacmi (yer değiştiren su hacmini) hesapla.
Yükselen suyun şekli, taban yarıçapı r=6r=6 cm ve yüksekliği h=2h=2 cm olan bir silindirdir. Vsu=πr2h=3⋅62⋅2=3⋅36⋅2=216 cm3V_{su} = \pi r^2 h = 3 \cdot 6^2 \cdot 2 = 3 \cdot 36 \cdot 2 = 216 \text{ cm}^3.
Suyun içerisine tamamen batan bir cisim, kendi hacmi kadar su taşırır veya yükseltir.
2
Küpün hacim formülünü yükselen su hacmine eşitle.
Küpün bir ayrıtına aa dersek, hacmi Vkup=a3V_{kup} = a^3 olur. a3=216a^3 = 216.
Yükselen suyun hacmi, içine atılan küpün hacmine eşittir.
3
Küpün bir ayrıtını bulmak için küp kök al.
a3=63a^3 = 6^3 olduğundan a=6a = 6 cm bulunur.
Hacmi bilinen küpün kenar uzunluğunu bulma işlemi.

Anahtar Kavram

Sıvı dolu kaplara cisim atıldığında, sıvı seviyesindeki yükselme miktarı (taşma yoksa) batan cismin hacmine eşittir.

İpuçları

1
Su seviyesindeki yükselmenin oluşturduğu silindirik hacim, içine atılan küpün hacmine eşittir.
2
Yükselen suyun hacmini bulmak için silindir hacim formülü olan V=πr2hV = \pi r^2 h bağıntısını kullanınız. Burada hh, suyun yükselme miktarıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, cismin küre veya koni olduğu durumlar için çözmeyi deneyin.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 3Soru →

Bir kamu kurumunun arşivinde bulunan rulo halindeki bir proje kağıdı, dik dairesel silindir şeklindedir. Bu rulo kağıdın taban yarıçapı 44 cm ve yüksekliği 1515 cm olduğuna göre, bu kağıdın yan yüzey alanı (yanal alan) kaç cm2\text{cm}^2 dir? (π=3\pi = 3 alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 360

Cevap

Rulo kağıdın yanal alanı 360360 cm2\text{cm}^2 dir.
Silindirin yanal alanı, taban çevresi ile yüksekliğin çarpımına eşittir. Verilen r=4r=4 cm ve h=15h=15 cm değerleri 2πrh2\pi rh formülünde yerine konulduğunda 2⋅3⋅4⋅15=3602 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 15 = 360 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Silindirin yanal alan formülünü belirle.
Yanal Alan=2×π×r×hYanal \text{ } Alan = 2 \times \pi \times r \times h
Dik dairesel silindirin yan yüzeyinin açınımı bir dikdörtgendir ve bu dikdörtgenin kenarları taban çevresi (2πr2\pi r) ile yüksekliğe (hh) eşittir.
2
Soruda verilen değerleri formülde yerine koy.
r=4r = 4, h=15h = 15, π=3\pi = 3 değerleri için: 2×3×4×152 \times 3 \times 4 \times 15
Yarıçap, yükseklik ve pi sayısı sabitlerini işleme dahil etmek gerekir.
3
Çarpma işlemini gerçekleştirerek sonucu bul.
6×4×15=24×15=3606 \times 4 \times 15 = 24 \times 15 = 360 cm2\text{cm}^2
Değerlerin çarpımı sonucunda toplam yan yüzey alanı elde edilir.

Anahtar Kavram

Dik Dairesel Silindirin Yanal Alanı

İpuçları

1
Silindirin yan yüzeyini açtığınızda bir dikdörtgen elde edeceğinizi hatırlayın.
2
Bu dikdörtgenin bir kenarı silindirin yüksekliği, diğer kenarı ise taban dairesinin çevresidir.
3
Taban çevresi 2πr2\pi r formülüyle bulunur. Bunu yükseklik (hh) ile çarparak yanal alanı elde edebilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Aynı silindirin hacmini hesaplayarak alan ve hacim formülleri arasındaki farkı pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Önce taban çevresini hesaplayıp (2⋅3⋅4=242 \cdot 3 \cdot 4 = 24), ardından bu çevreyi yükseklik olan 1515 ile çarparak adım adım ilerleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 4Soru →

Yarıçapı 4 cm olan dairesel bir levhadan, merkez açısı 90∘90^\circ olan bir dilim kesilerek atılıyor. Geriye kalan büyük parça kıvrılarak, yarıçapları çakışacak şekilde bir dik dairesel koni oluşturuluyor.

Buna göre, oluşturulan bu koninin hacmi kaç cm3cm^3 tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 37π3\sqrt{7}\pi

Cevap

Elde edilen koninin hacmi 37π3\sqrt{7}\pi cm3cm^3 tür.
Soruda verilen 270∘270^\circ lik daire dilimi kıvrıldığında, koninin taban yarıçapı r=3r=3 cm ve ana doğrusu l=4l=4 cm olur. Pisagor bağıntısı ile yükseklik h=7h=\sqrt{7} cm bulunur. Hacim formülü uygulandığında sonuç 37π3\sqrt{7}\pi çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
Kullanılan daire diliminin merkez açısını ve koninin taban yarıçapını (rr) belirle.
Atılan parça 90∘90^\circ olduğundan kalan açı 360∘−90∘=270∘360^\circ - 90^\circ = 270^\circ olur. Benzerlik oranı rl=α360\frac{r}{l} = \frac{\alpha}{360} formülünden; r4=270360⇒r4=34⇒r=3\frac{r}{4} = \frac{270}{360} \Rightarrow \frac{r}{4} = \frac{3}{4} \Rightarrow r = 3 cm bulunur.
Daire dilimi koniye dönüştürüldüğünde, dilimin yay uzunluğu koninin taban çevresine eşittir.
2
Koninin yüksekliğini (hh) Pisagor bağıntısı ile hesapla.
Konide h2+r2=l2h^2 + r^2 = l^2 bağıntısı vardır. h2+32=42⇒h2+9=16⇒h2=7⇒h=7h^2 + 3^2 = 4^2 \Rightarrow h^2 + 9 = 16 \Rightarrow h^2 = 7 \Rightarrow h = \sqrt{7} cm bulunur.
Koninin ana doğrusu (ll), taban yarıçapı (rr) ve yüksekliği (hh) bir dik üçgen oluşturur.
3
Koninin hacmini hesapla.
V=13πr2h=13π(32)(7)=13π(9)(7)=37πV = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (3^2)(\sqrt{7}) = \frac{1}{3}\pi (9)(\sqrt{7}) = 3\sqrt{7}\pi cm3cm^3.
Dik dairesel koninin hacim formülü V=13πr2hV = \frac{1}{3}\pi r^2 h şeklindedir.

Anahtar Kavram

Daire diliminden koni oluşturma ve hacim hesabı

İpuçları

1
Bir daire dilimi koni yapıldığında, dilimin yarıçapı koninin 'ana doğrusu' (ll), dilimin yay uzunluğu ise koninin 'taban çevresi' (2πr2\pi r) olur.
2
Koninin taban yarıçapını bulmak için rl=α360\frac{r}{l} = \frac{\alpha}{360} orantısını kullanabilirsiniz. Burada α\alpha, kullanılan parçanın açısıdır (360−90360 - 90). sonra Pisagor ile yüksekliği (hh) bulunuz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 5Soru →

Ayrıtları 3,43, 4 ve 55 sayıları ile doğru orantılı olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmi 480 cm3480 \text{ cm}^3 tür. Buna göre, bu dikdörtgenler prizmasının toplam yüzey alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 376

Cevap

Dikdörtgenler prizmasının toplam yüzey alanı 376 cm2\text{cm}^2 dir.
Prizmanın ayrıtları 3k,4k,5k3k, 4k, 5k şeklinde tanımlandığında hacim 60k360k^3 olur. 60k3=48060k^3 = 480 eşitliğinden k=2k = 2 bulunur. Buradan ayrıtlar 6,8,106, 8, 10 cm olarak elde edilir. Yüzey alanı ise 2⋅(6⋅8+6⋅10+8⋅10)=376 cm22 \cdot (6\cdot 8 + 6\cdot 10 + 8\cdot 10) = 376 \text{ cm}^2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Ayrıtları orantı sabiti kk cinsinden ifade edin.
Ayrıtlar 3k,4k3k, 4k ve 5k5k olur.
Soruda ayrıtların 3,43, 4 ve 55 sayılarıyla doğru orantılı olduğu belirtilmiştir.
2
Hacim formülünü kullanarak kk değerini bulun.
3k⋅4k⋅5k=480⇒60k3=480⇒k3=8⇒k=23k \cdot 4k \cdot 5k = 480 \Rightarrow 60k^3 = 480 \Rightarrow k^3 = 8 \Rightarrow k = 2 cm.
Dikdörtgenler prizmasının hacmi üç farklı ayrıtının çarpımına eşittir.
3
Prizmanın gerçek ayrıt uzunluklarını hesaplayın.
Ayrıtlar: 3⋅2=63 \cdot 2 = 6 cm, 4⋅2=84 \cdot 2 = 8 cm ve 5⋅2=105 \cdot 2 = 10 cm.
Bulunan kk değeri orantılı sayılarla çarpılarak gerçek uzunluklar elde edilir.
4
Yüzey alanı formülünü uygulayın.
Alan =2⋅(6⋅8+6⋅10+8⋅10)=2⋅(48+60+80)=2⋅188=376 cm2= 2 \cdot (6 \cdot 8 + 6 \cdot 10 + 8 \cdot 10) = 2 \cdot (48 + 60 + 80) = 2 \cdot 188 = 376 \text{ cm}^2.
Yüzey alanı, her bir farklı yüzden ikişer tane olduğu için 2⋅(ab+ac+bc)2 \cdot (ab + ac + bc) formülüyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Dikdörtgenler prizmasında hacim (V=a⋅b⋅cV = a \cdot b \cdot c) ve yüzey alanı (S=2(ab+bc+ac)S = 2(ab+bc+ac)) bağıntıları.

İpuçları

1
Ayrıtları 3k,4k3k, 4k ve 5k5k olarak isimlendirerek işe başlayın.
2
Hacim denklemini kurarken k⋅k⋅k=k3k \cdot k \cdot k = k^3 ifadesine dikkat edin.
3
Ayrıtları 6,86, 8 ve 1010 cm bulduktan sonra yüzey alanı formülünü [2(ab+bc+ac)2(ab+bc+ac)] uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Cisim köşegeni verilen bir prizmada alan ve hacim ilişkilerini inceleyen soruları çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Orantı sabiti kk bulunduğunda, alanın k2k^2 ile orantılı olduğu bilgisi kullanılabilir. 3,4,53, 4, 5 birimlik bir prizmanın alanı 2(12+15+20)=942(12+15+20)=94 birimkaredir. Gerçek alan 94⋅k2=94⋅4=376 cm294 \cdot k^2 = 94 \cdot 4 = 376 \text{ cm}^2 olur.
Tahmini Süre:1m 40s
Soru 6Soru →

Bir ayrıtının uzunluğu 8 birim olan tahta bir küpün, karşılıklı iki yüzeyinin merkezinden geçen, taban yarıçapı 3 birim olan dik dairesel silindir biçimindeki bir parça oyulup çıkarılıyor.

Buna göre, geriye kalan cismin yüzey alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 384 + 30π

Cevap

384 + 30π
Küpün yüzey alanı hesaplanırken, silindirin giriş ve çıkış yaptığı iki dairesel alan küp yüzeyinden eksilirken, küpün içinde oluşan silindirik boşluğun yanal yüzeyi toplama eklenmelidir. Başlangıç alanı 384, eksilen alan 18π, eklenen alan 48π olduğundan sonuç 384 + 30π bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıçtaki küpün toplam yüzey alanını hesapla.
Alan = 6 · a² = 6 · 8² = 6 · 64 = 384 birimkare.
Küpün 6 eş yüzeyi vardır.
2
Oyulup çıkarılan dairesel parçaların (taban ve tavan) alanını hesapla ve çıkar.
Çıkan Alan = 2 · (π · r²) = 2 · π · 3² = 18π birimkare.
Silindir küpün bir yüzeyinden girip karşısından çıktığı için küpün yüzeyinden iki daire eksilir.
3
Küpün içinde oluşan yeni silindirik yüzeyin (yanal alan) alanını hesapla ve ekle.
Eklenen Alan = 2 · π · r · h = 2 · π · 3 · 8 = 48π birimkare.
Oymanın sonucunda cismin içinde bir silindir yüzeyi oluşur; bu yüzey toplam alana dahil edilir. Silindirin yüksekliği küpün bir kenarına (8) eşittir.
4
Toplam yüzey alanı değişimini başlangıç alanına uygula.
Toplam Alan = 384 - 18π + 48π = 384 + 30π birimkare.
Eksilen ve eklenen alanlar toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bir cisimden parça çıkarıldığında yüzey alanı, eksilen yüzeyler kadar azalırken yeni oluşan yüzeyler kadar artar.

İpuçları

1
Cismin yüzey alanı değişimi = (Eklenen Yüzeyler) - (Çıkan Yüzeyler).
2
Silindir küpün içinden geçtiği için küpün alt ve üstünde iki daire boşluk oluşur, ancak içeride yeni bir 'duvar' (silindir yanal yüzeyi) meydana gelir.
3
Silindirin yüksekliği küpün bir kenarına (8 birim) eşittir. Yanal alan 2πrh formülüyle hesaplanmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, silindirin yarısı kadar derinliğe oyulduğu (boydan boya geçmediği) durum için çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Alan Değişimi Metodu: Sadece değişime odaklanın. Eksilen: 2 daire (-2·π·3² = -18π). Eklenen: Silindir Yanal Alanı (+2·π·3·8 = +48π). Net Değişim: +30π. İlk alan (384) + Değişim (30π).
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 7Soru →

Ayrıt uzunlukları 4 cm4\text{ cm}, 5 cm5\text{ cm} ve 10 cm10\text{ cm} olan bir dikdörtgenler prizması aşağıda modellenmiştir.

Buna göre, bu dikdörtgenler prizmasının hacmi kaç cm3\text{cm}^3'tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 200

Cevap

Dikdörtgenler prizmasının hacmi, üç farklı ayrıtının çarpımıyla bulunur ve bu işlemin sonucu 200 cm3200\text{ cm}^3 olarak hesaplanır.
Dikdörtgenler prizmasının hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpılmasına dayanır. Taban ayrıtları 4 cm4\text{ cm} ve 5 cm5\text{ cm} olan prizmanın taban alanı 20 cm220\text{ cm}^2'dir. Bu alan 10 cm10\text{ cm} olan yükseklik ile çarpıldığında toplam hacim 200 cm3200\text{ cm}^3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ayrıt uzunluklarını belirleyin.
a=4 cma = 4\text{ cm}, b=5 cmb = 5\text{ cm} ve c=10 cmc = 10\text{ cm}
Hacim formülünde kullanılacak değişkenleri tanımlamak için gereklidir.
2
Dikdörtgenler prizmasının hacim formülünü uygulayın.
Hacim (VV) = a×b×ca \times b \times c
Katı cisimlerde prizmaların hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır.
3
Değerleri yerine koyarak çarpma işlemini yapın.
V=4×5×10=200 cm3V = 4 \times 5 \times 10 = 200\text{ cm}^3
Sonuca ulaşmak için matematiksel hesaplama tamamlanır.

Anahtar Kavram

Dikdörtgenler Prizmasının Hacmi

İpuçları

1
Bir kutunun içine kaç tane 1 cm31\text{ cm}^3'lük küp sığacağını düşünün.
2
Hacim bulmak için prizmanın taban alanını hesaplayıp yükseklik değeriyle çarpmanız gerekir.
3
Üç farklı ayrıt olan 44, 55 ve 1010 sayılarını birbiriyle çarpın.

Daha Fazla Pratik

Ayrıtları verilen bir küpün hacmini hesaplayarak öğrendiklerinizi pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Önce taban alanını 4×5=20 cm24 \times 5 = 20\text{ cm}^2 olarak bulun, ardından bu alanı 10 cm10\text{ cm} olan yükseklikle çarparak 200 cm3200\text{ cm}^3 sonucuna ulaşın.
Tahmini Süre:45s
Soru 8Soru →

Tepe açısı 60∘60^\circ olan ve tepe noktası aşağıya gelecek şekilde dik konumlandırılmış boş bir dik dairesel koninin içine, koninin yan yüzlerine teğet olacak şekilde demir bir küre yerleştiriliyor. Daha sonra koninin içine, su yüzeyi kürenin en üst noktasına teğet olana kadar su dolduruluyor.

Buna göre, koninin içine doldurulan suyun hacminin kürenin hacmine oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 54\frac{5}{4}

Cevap

Suyun hacminin kürenin hacmine oranı 5/4'tür.
Kürenin koni içine yerleşimi eksenel kesitte incelendiğinde, 30-60-90 üçgeni oluşur. Küre merkezi tepe noktasından 2r2r uzaklıktadır. Su seviyesi kürenin tepesine kadar (3r3r) yükselir. Bu yükseklikteki koninin hacmi 3πr33\pi r^3, kürenin hacmi ise 43πr3\frac{4}{3}\pi r^3 tür. Aradaki fark suyun hacmini verir (53πr3\frac{5}{3}\pi r^3). Oranlandığında sonuç 54\frac{5}{4} bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Problemi iki boyutlu kesit üzerinde modelle.
Eşkenar üçgen (eksenel kesit tepe açısı 60 derece) içine yerleştirilmiş bir daire ve tepe noktası aşağıda olan bir yapı elde edilir. Kürenin yarıçapına rr diyelim.
Üç boyutlu cisimlerin teğetlik durumlarını incelemek için eksenel kesit (2D) kullanmak en güvenilir yöntemdir.
2
Kürenin merkezi ile koninin tepe noktası arasındaki mesafeyi hesapla.
Koninin ekseni açıyı ikiye böler (30∘−30∘30^\circ - 30^\circ). Oluşan dik üçgende, sin⁡(30∘)=r∣TO∣\sin(30^\circ) = \frac{r}{|TO|} olduğundan, ∣TO∣=2r|TO| = 2r bulunur.
30-60-90 üçgeni özellikleri kullanılarak dikey mesafe bulunur.
3
Su seviyesinin yüksekliğini (hh) ve yüzey yarıçapını (RR) bul.
Su seviyesi kürenin tepesinde olduğundan, yükseklik h=∣TO∣+r=2r+r=3rh = |TO| + r = 2r + r = 3r olur. Koni yüzey yarıçapı için tan⁡(30∘)=Rh⇒R=3r⋅13=r3\tan(30^\circ) = \frac{R}{h} \Rightarrow R = 3r \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = r\sqrt{3} bulunur.
Koni hacmini hesaplamak için suyun oluşturduğu koninin boyutlarına ihtiyaç vardır.
4
Dolu kısmın (su + küre) toplam hacmini ve kürenin hacmini hesapla.
Toplam Hacim (VtoplamV_{toplam}) = 13πR2h=13π(r3)2(3r)=13π(3r2)(3r)=3πr3\frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi (r\sqrt{3})^2 (3r) = \frac{1}{3} \pi (3r^2) (3r) = 3\pi r^3. Küre Hacmi (Vku¨reV_{küre}) = 43πr3\frac{4}{3}\pi r^3.
Koni ve küre hacim formülleri uygulanır.
5
Suyun hacmini bul ve küre hacmine oranla.
Suyun Hacmi = Vtoplam−Vku¨re=3πr3−43πr3=53πr3V_{toplam} - V_{küre} = 3\pi r^3 - \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{5}{3}\pi r^3. Oran = (5/3)πr3(4/3)πr3=54\frac{(5/3)\pi r^3}{(4/3)\pi r^3} = \frac{5}{4}.
İstenen oran sadeleştirme ile bulunur.

Anahtar Kavram

Katı Cisimlerde Hacim ve Kesit Analizi

İpuçları

1
Problemi çözmek için şeklin tam ortasından dikey bir kesit aldığınızı hayal edin (bir üçgen ve içine yerleşmiş bir daire).
2
Tepe açısı 60∘60^\circ olduğuna göre, simetri ekseni açıyı 30∘−30∘30^\circ - 30^\circ böler. Küre merkezi ile teğet noktası arasındaki dik üçgeni kullanın.
3
Dik üçgende 30∘30^\circ'nin karşısı rr ise, hipotenüs (tepe noktasına uzaklık) 2r2r'dir. Su yüksekliği bu mesafeye rr eklenerek bulunur.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir durumu kare dik piramit içine yerleştirilen küre için sorarak 3 boyutlu düşünme becerisini pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Hacimler oranı benzerlik oranının kübüne eşittir prensibiyle, küçük koni (küreye teğet olan) ile büyük su konisi arasında benzerlik kurulabilir, ancak bu soruda küre hacmi işin içine girdiği için doğrudan formül kullanımı daha güvenlidir.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 9Soru →

Dik kenar uzunlukları 15 cm ve 20 cm olan bir dik üçgenin, hipotenüsü etrafında 360∘360^{\circ} döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmi kaç π cm3\pi \text{ cm}^3 tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1200

Cevap

Döndürme işlemi sonucunda oluşan çift koninin hacmi 1200 π\pi cm3cm^3 tür.
Dik üçgen hipotenüsü etrafında döndürüldüğünde, tabanları ortak iki adet koni oluşur. Öncelikle 15-20-25 özel üçgeninden hipotenüs 25 cm bulunur. Dönme yarıçapı (rr), üçgenin hipotenüse ait yüksekliğidir. Alandan gidilerek 15⋅20=25⋅h15 \cdot 20 = 25 \cdot h eşitliğinden h=r=12h=r=12 cm bulunur. Oluşan cismin hacmi V=13πr2(htoplam)V = \frac{1}{3}\pi r^2 (h_{toplam}) formülüyle V=13⋅π⋅122⋅25=1200πV = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 12^2 \cdot 25 = 1200\pi olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Hipotenüs uzunluğunu hesapla.
Pisagor bağıntısından (15−20−2515-20-25 üçgeni); Hipotenüs = 25 cm.
Dönme ekseninin uzunluğunu belirlemek için gereklidir.
2
Dönme yarıçapını (rr) bulmak için üçgenin alan formülünü veya Öklid bağıntısını kullan.
Alan = 15⋅202=25⋅r2⇒300=25r⇒r=12\frac{15 \cdot 20}{2} = \frac{25 \cdot r}{2} \Rightarrow 300 = 25r \Rightarrow r = 12 cm.
Oluşan cisim, tabanları çakışık iki koniden oluşur; bu konilerin yarıçapı, üçgenin hipotenüse ait yüksekliğidir.
3
Oluşan çift koninin toplam hacmini hesapla.
V=13πr2h1+13πr2h2=13πr2(h1+h2)V = \frac{1}{3} \pi r^2 h_1 + \frac{1}{3} \pi r^2 h_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 (h_1 + h_2). Burada h1+h2=25h_1 + h_2 = 25 (hipotenüs) ve r=12r=12.
İki koninin yükseklikleri toplamı hipotenüs uzunluğuna eşittir.
4
Değerleri formülde yerine koy.
V=13π(122)(25)=13π(144)(25)=48⋅25⋅π=1200πV = \frac{1}{3} \pi (12^2) (25) = \frac{1}{3} \pi (144) (25) = 48 \cdot 25 \cdot \pi = 1200\pi.
Sonuç hesaplaması.

Anahtar Kavram

Dik üçgenin hipotenüsü etrafında döndürülmesiyle tabanları çakışık iki koni (çift koni) oluşur. Bu cismin hacmi, taban yarıçapı hipotenüse ait yükseklik olan iki koninin hacimleri toplamıdır.

İpuçları

1
Bir dik üçgeni hipotenüsü etrafında döndürürseniz, tabanları birbirine yapışık iki adet koni elde edersiniz.
2
Oluşan konilerin taban yarıçapı (rr), dik üçgenin hipotenüse ait yüksekliğidir. Öklid bağıntısı veya alan formülü ile bu yüksekliği bulabilirsiniz.
3
Hipotenüs uzunluğu 25 cm, hipotenüse ait yükseklik (rr) 12 cm'dir. Toplam hacim formülünde yükseklikler toplamı olarak hipotenüsü (25) kullanabilirsiniz: V=13πr2(h1+h2)V = \frac{1}{3} \pi r^2 (h_1+h_2).
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 10Soru →

Yarıçapı 1212 cm olan içi dolu metal bir küre eritilerek, taban çapı 44 cm ve yüksekliği 66 cm olan dik dairesel silindir biçiminde parçalar elde edilecektir. Döküm işlemi sırasında erimiş metalin hacimce %25\%25'i kayba uğradığına göre, bu işlem sonunda en çok kaç adet tam silindir parça elde edilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72

Cevap

Elde edilen silindir sayısı 72'dir.
Kürenin hacmi hesaplanıp %25'lik kayıp düşüldükten sonra kalan miktar, bir silindirin hacmine bölünerek doğru sayıya ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kürenin hacmini hesapla.
Vku¨re=43πr3=43π(12)3=43π(1728)=2304πV_{küre} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (12)^3 = \frac{4}{3}\pi (1728) = 2304\pi cm³
Eritilecek toplam metal miktarını bulmak için küre hacim formülü kullanılır.
2
Kayıp sonrası kullanılabilir hacmi hesapla.
Vkullanılabilir=2304π⋅(1−0.25)=2304π⋅0.75=1728πV_{kullanılabilir} = 2304\pi \cdot (1 - 0.25) = 2304\pi \cdot 0.75 = 1728\pi cm³
Metalin %25'i kaybolduğu için kalan %75'lik kısım üretime girecektir.
3
Bir adet silindirin hacmini hesapla.
Yarıçap r=42=2r = \frac{4}{2} = 2 cm. Vsilindir=πr2h=π(22)(6)=24πV_{silindir} = \pi r^2 h = \pi (2^2)(6) = 24\pi cm³
Taban çapı 4 cm verildiği için yarıçap 2 cm alınır ve silindir hacim formülü uygulanır.
4
Toplam silindir sayısını bulmak için bölme işlemi yap.
Adet = 1728π24π=72\frac{1728\pi}{24\pi} = 72
Kullanılabilir toplam hacim, bir parça silindirin hacmine bölünerek kaç parça elde edileceği bulunur.

Anahtar Kavram

Katı Cisimlerin Hacmi ve Dönüşümü
Soru 11Soru →

Yarıçapı 1515 cm ve merkez açısının ölçüsü 216∘216^\circ olan bir daire dilimi, yarıçapları çakıştırılarak kıvrılıp bir dik dairesel koni elde ediliyor.

Buna göre, elde edilen bu koninin hacmi kaç π\pi cm3\text{cm}^3'tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 324

Cevap

Elde edilen koninin hacmi 324π324\pi cm3\text{cm}^3'tür.
Daire diliminin yarıçapı koninin ana doğrusu (l=15l=15) olur. Açının 360∘360^\circ'ye oranı, taban yarıçapının ana doğruya oranına eşittir (r/l=α/360r/l = \alpha/360). Buradan r=9r=9 bulunur. Pisagor bağıntısı ile yükseklik h=12h=12 hesaplanır. Hacim formülü uygulandığında sonuç 324π324\pi bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Daire diliminin yarıçapı (R=15R=15) koninin ana doğrusuna (ll), dilimin yay uzunluğu ise koninin taban çevresine eşitlenerek koni taban yarıçapı (rr) bulunur.
r=α360⋅l⇒r=216360⋅15=0,6⋅15=9r = \frac{\alpha}{360} \cdot l \Rightarrow r = \frac{216}{360} \cdot 15 = 0,6 \cdot 15 = 9 cm
Daire dilimi kıvrıldığında, dilimin yayı koninin taban çemberini oluşturur.
2
Koninin yüksekliğini (hh) bulmak için Pisagor bağıntısı uygulanır (h2+r2=l2h^2 + r^2 = l^2).
h2+92=152⇒h2+81=225⇒h2=144⇒h=12h^2 + 9^2 = 15^2 \Rightarrow h^2 + 81 = 225 \Rightarrow h^2 = 144 \Rightarrow h = 12 cm
Koninin yüksekliği, taban yarıçapı ve ana doğrusu bir dik üçgen oluşturur.
3
Koninin hacim formülü (V=13πr2hV = \frac{1}{3}\pi r^2 h) kullanılarak sonuç hesaplanır.
V=13⋅π⋅92⋅12=13⋅π⋅81⋅12=324πV = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 9^2 \cdot 12 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 81 \cdot 12 = 324\pi cm3\text{cm}^3
Dik dairesel koninin hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımının üçte biridir.

Anahtar Kavram

Daire diliminden koni oluşturma (rl=α360\frac{r}{l} = \frac{\alpha}{360}) ve koni hacmi.

İpuçları

1
Daire dilimi kıvrıldığında, dilimin yarıçapı (1515) koninin ana doğrusu (ll) olur.
2
Koninin taban yarıçapını (rr) bulmak için rl=α360\frac{r}{l} = \frac{\alpha}{360} orantısını kullanabilirsiniz.
3
Hacim için koninin yüksekliğine (hh) ihtiyacınız var. rr, hh ve ll arasında Pisagor bağıntısı (r2+h2=l2r^2 + h^2 = l^2) vardır.

Alternatif Yöntem

Orantı ile: 360∘360^\circ'lik tam dairenin çevresi 30π30\pi'dir. 216∘216^\circ'lik yayın uzunluğu 216360⋅30π=18π\frac{216}{360} \cdot 30\pi = 18\pi'dir. Bu yay koninin taban çevresidir (2πr=18π→r=92\pi r = 18\pi \rightarrow r=9).
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 12Soru →

Taban yarıçapı r=4r = 4 cm ve ana doğru uzunluğu (yanal ayrıtı) l=12l = 12 cm olan dik dairesel koninin taban çevresi üzerindeki AA noktasında bulunan bir karınca, koninin yanal yüzeyi üzerinden hareket ederek AA noktasının taban merkezine göre simetriği olan BB noktasına gitmek istemektedir. Buna göre, karıncanın alabileceği en kısa yol kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Karıncanın alabileceği en kısa yol 12 cm'dir.
Koninin yanal yüzeyi açıldığında, yarıçapı l=12l=12 cm olan bir daire dilimi elde edilir. Dilimin tepe açısı α=360⋅(r/l)=360⋅(4/12)=120∘\alpha = 360 \cdot (r/l) = 360 \cdot (4/12) = 120^\circ bulunur. Karınca A noktasından taban merkezine göre simetriği olan B noktasına (yani taban dairesinin tam karşı noktasına) gittiği için, açınım üzerinde taradığı açı 120∘120^\circ'nin yarısı olan 60∘60^\circ olur. Kolları 12 cm ve aradaki açısı 60∘60^\circ olan üçgen eşkenar üçgendir; bu nedenle en kısa uzaklık 12 cm'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Koninin yanal yüzeyinin açık halini (açınımını) düşün.
Koninin yanal yüzeyinin açınımı, yarıçapı ana doğru uzunluğu (l=12) olan bir daire dilimidir.
Koninin yüzeyi üzerinden en kısa yol, açınım üzerindeki doğrusal yoldur.
2
Açınımın merkez açısını (alfa) hesapla.
α=360∘⋅rl=360∘⋅412=120∘\alpha = 360^\circ \cdot \frac{r}{l} = 360^\circ \cdot \frac{4}{12} = 120^\circ.
Taban dairesinin çevresi, açınım yayının uzunluğuna eşittir (2πr=2πl⋅α3602\pi r = 2\pi l \cdot \frac{\alpha}{360}).
3
Hedef nokta B'nin açınımdaki konumunu belirle.
B noktası A'nın simetriği olduğu için, açınımda A noktasından 120∘/2=60∘120^\circ / 2 = 60^\circ ileridedir.
Taban dairesinde çapın diğer ucu yarım tura denk gelir, bu da açınım açısının yarısıdır.
4
Oluşan üçgende uzaklığı hesapla.
Tepe açısı 60∘60^\circ olan ve kenarları 12 cm olan ikizkenar üçgen bir eşkenar üçgendir. Dolayısıyla ∣AB∣=12|AB| = 12 cm.
Kenar uzunlukları eşit ve aradaki açı 60 derece ise karşı kenar da bu uzunluklara eşittir.

Anahtar Kavram

Koni Yüzeyinde En Kısa Yol (Geodezik Eğri)

İpuçları

1
Koninin yanal yüzeyini düz bir kağıda açtığınızı hayal edin. Bu şekil bir daire dilimidir.
2
Oluşan daire diliminin yarıçapı koninin ana doğrusu (12 cm), yay uzunluğu ise koninin taban çevresi kadardır. Orantı kurarak merkez açıyı bulun.
3
Merkez açı 120∘120^\circ çıkar. A ve B noktaları taban dairesinde karşılıklı olduğu için, açınımda aralarındaki açı 60∘60^\circ olacaktır. Şimdi tepe açısı 60∘60^\circ olan ikizkenar üçgenin özelliğini düşünün.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 13Soru →

Çapı 1010 cm olan bir kürenin hacmi kaç cm3\text{cm}^3 tür? (π=3\pi=3 alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 500

Cevap

500
Kürenin hacmi V=43πr3V = \frac{4}{3}\pi r^3 formülüyle hesaplanır. Çap 1010 cm olduğundan yarıçap r=5r=5 cm'dir. Değerler yerine konulduğunda V=43⋅3⋅53=4⋅125=500V = \frac{4}{3} \cdot 3 \cdot 5^3 = 4 \cdot 125 = 500 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen çap değerinden yarıçapı bul.
Çap R=10R = 10 cm ise, yarıçap r=102=5r = \frac{10}{2} = 5 cm olur.
Küre formülleri genellikle yarıçap (rr) üzerinden tanımlıdır.
2
Kürenin hacim formülünü yaz ve değerleri yerine koy.
Hacim V=43πr3V = \frac{4}{3}\pi r^3 formülü ile hesaplanır. V=43⋅3⋅53V = \frac{4}{3} \cdot 3 \cdot 5^3.
Kürenin hacmini hesaplamak için standart formül kullanılır.
3
İşlemleri yaparak sonucu bul.
V=4⋅125=500V = 4 \cdot 125 = 500 cm3\text{cm}^3.
43\frac{4}{3} ile 33 sadeleşir, geriye 4⋅534 \cdot 5^3 kalır.

Anahtar Kavram

Kürenin hacmi, yarıçapın küpü ile orantılıdır ve V=43πr3V = \frac{4}{3}\pi r^3 formülü ile bulunur.

İpuçları

1
Kürenin hacim formülünü hatırlayın: İçinde π\pi ve r3r^3 terimleri bulunur.
2
Soruda 'çap' verilmiştir, formülde kullanmak için önce 'yarıçapı' bulmalısınız.
3
Kürenin hacim formülü V=43πr3V = \frac{4}{3}\pi r^3 şeklindedir. π=3\pi=3 alındığında formül 4r34r^3 halini alır.

Daha Fazla Pratik

Yarıçapı verilen bir kürenin yüzey alanını hesaplamayı deneyin.
Tahmini Süre:45s
Soru 14Soru →

Bir ayrıtı 44 cm olan dolu bir küpün, cisim köşegeni ile belirlenen karşılıklı iki köşesinden; bu köşelerle birleşen ayrıtların orta noktalarından geçen düzlemlerle üçgen piramit biçiminde parçalar kesilip atılıyor.

Buna göre, geriye kalan cismin yüzey alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 84+4384 + 4\sqrt{3}

Cevap

Cismin yeni yüzey alanı 84+4384 + 4\sqrt{3} cm2\text{cm}^2 dir.
Doğru cevap, başlangıçtaki küp alanından (9696), kesilen iki köşedeki üçer dik üçgenin alanının (2×6=122 \times 6 = 12) çıkarılması ve yerine oluşan iki eşkenar üçgenin alanının (2×23=432 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}) eklenmesiyle bulunur. Sonuç 84+4384 + 4\sqrt{3} tür.

Adım Adım Çözüm

1
Küpün başlangıçtaki toplam yüzey alanını hesapla.
Aku¨p=6×a2=6×42=96A_{küp} = 6 \times a^2 = 6 \times 4^2 = 96 cm2\text{cm}^2
Küpün yüzey alanı 6 adet karenin alanına eşittir.
2
Bir köşeden kesilen parçanın yüzey alanından eksilttiği miktarı bul.
Eksilen alan: 3×2×22=63 \times \frac{2 \times 2}{2} = 6 cm2\text{cm}^2
Her köşede, ayrıtların orta noktalarından (2 cm) kesim yapıldığı için, küpün yüzeyinden 3 adet ikizkenar dik üçgen (dik kenarları 2 cm) eksilir.
3
Kesim sonucu oluşan yeni yüzeyin (arakesit) alanını hesapla.
Eklenen alan: (22)234=23\frac{(2\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3} cm2\text{cm}^2
Kesilen yüzey bir eşkenar üçgendir. Kenar uzunluğu, dik kenarları 2 cm olan dik üçgenin hipotenüsüdür: 222\sqrt{2} cm. Eşkenar üçgen alanı a234\frac{a^2\sqrt{3}}{4} formülüyle bulunur.
4
Toplam alan değişimini hesapla ve sonucu bul.
Yeni Alan = 96−2(6)+2(23)=96−12+43=84+4396 - 2(6) + 2(2\sqrt{3}) = 96 - 12 + 4\sqrt{3} = 84 + 4\sqrt{3}
İki karşılıklı köşe kesildiği için, eksilen ve eklenen alanlar 2 ile çarpılır. Başlangıç alanından eksilenler çıkarılır, eklenenler toplanır.

Anahtar Kavram

Cisimlerin Yüzey Alanı Değişimi
Soru 15Soru →

Bir ayrıtının uzunluğu 1010 cm olan küp şeklindeki bir tahta bloğun bir yüzeyinden, karşı yüzeyine kadar uzanan silindir biçiminde bir delik açılmıştır. Silindirin taban yarıçapı 22 cm olduğuna göre, oluşan cismin toplam yüzey alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir? (π=3\pi=3 alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 696

Cevap

Oluşan cismin toplam yüzey alanı 696696 cm2\text{cm}^2 olarak bulunur.
Cismin yüzey alanı hesaplanırken, küpün dış yüzeyinden eksilen dairesel kapaklar çıkarılmalı ve deliğin içindeki silindirik yanal yüzey eklenmelidir. Başlangıç alanı 600600 cm2\text{cm}^2, eksilen alan 2424 cm2\text{cm}^2, eklenen alan 120120 cm2\text{cm}^2 olduğundan sonuç 696696 cm2\text{cm}^2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Küpün başlangıçtaki tüm yüzey alanını hesapla.
Aku¨p=6×a2=6×102=600 cm2A_{\text{küp}} = 6 \times a^2 = 6 \times 10^2 = 600 \text{ cm}^2
Küpün 6 eş karesel yüzeyi vardır.
2
Delik nedeniyle kaybolan dairesel taban alanlarını hesapla.
Akayıp=2×(πr2)=2×(3×22)=24 cm2A_{\text{kayıp}} = 2 \times (\pi r^2) = 2 \times (3 \times 2^2) = 24 \text{ cm}^2
Silindir bloğu deldiğinde üst ve alt yüzeyden iki daire çıkar.
3
Oluşan yeni iç silindirik yüzey alanını hesapla.
Ayeni=2πrh=2×3×2×10=120 cm2A_{\text{yeni}} = 2 \pi r h = 2 \times 3 \times 2 \times 10 = 120 \text{ cm}^2
Delik açıldığında bloğun içinde silindirin yanal alanı kadar yeni bir yüzey oluşur. Yükseklik küpün ayrıtına eşittir.
4
Toplam yüzey alanını bulmak için değişimleri uygula.
Atoplam=600−24+120=696 cm2A_{\text{toplam}} = 600 - 24 + 120 = 696 \text{ cm}^2
Başlangıç alanından kayıplar çıkarılır, yeni oluşan alanlar eklenir.

Anahtar Kavram

Yüzey alanı değişim problemlerinde; çıkarılan parçanın taban alanları toplam alandan düşülürken, oluşan yeni boşluğun yanal alanları toplam alana eklenmelidir.
Soru 16Soru →

Taban yarıçapı 66 cm ve yüksekliği 1212 cm olan dik dairesel bir koni, yüksekliğinin tam orta noktasından tabana paralel bir düzlemle kesiliyor.

Buna göre, oluşan kesik koninin (alt parçanın) hacmi kaç π\pi cm3\text{cm}^3 tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 126

Cevap

126
Doğru cevap 126'dır. Başlangıçtaki koninin hacmi 144π144\pi'dir. Yükseklik yarıdan kesildiği için oluşan küçük koninin hacmi toplamın 1/8'i, yani 18π18\pi'dir. Kalan parça (kesik koni) ise 144π−18π=126π144\pi - 18\pi = 126\pi olur.

Adım Adım Çözüm

1
Büyük koninin toplam hacmini hesapla.
Vbu¨yu¨k=13πr2h=13π(62)(12)=144πV_{büyük} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (6^2)(12) = 144\pi cm3\text{cm}^3
Koninin hacim formülü V=13πr2hV = \frac{1}{3}\pi r^2 h kullanılarak başlangıç hacmi bulunur.
2
Benzerlik oranını ve kesilen küçük koninin hacmini belirle.
Benzerlik oranı k=12k = \frac{1}{2} olduğundan hacimler oranı k3=18k^3 = \frac{1}{8}'dir. Vku¨c\cu¨k=144π8=18πV_{küçük} = \frac{144\pi}{8} = 18\pi cm3\text{cm}^3.
Yükseklik tam ortadan kesildiği için benzerlik oranı 1/21/2'dir. Hacimler oranı benzerlik oranının küpüdür.
3
Kesik koninin hacmini bulmak için küçük koninin hacmini toplam hacimden çıkar.
Vkesik=Vbu¨yu¨k−Vku¨c\cu¨k=144π−18π=126πV_{kesik} = V_{büyük} - V_{küçük} = 144\pi - 18\pi = 126\pi cm3\text{cm}^3.
Kesik koni (alt parça), tüm koniden üstteki parça atılarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Kati cisimlerde benzerlik oranı kk ise, hacimler oranı k3k^3'tür.

İpuçları

1
Önce kesilmemiş büyük koninin toplam hacmini hesaplayın.
2
Konilerde yükseklikler oranı benzerlik oranını verir (kk). Hacimler oranı ise benzerlik oranının küpüdür (k3k^3).
3
Benzerlik oranı 1/21/2 olduğu için üstteki küçük koninin hacmi toplam hacmin 1/81/8'idir. Toplam hacimden bu parçayı çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranı 1/3 olan bir piramidin kesik hacmini hesaplayın.

Alternatif Yöntem

Kesik koni hacim formülü: V=13πh(R2+r2+R⋅r)V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + r^2 + R\cdot r). Burada R=6R=6, r=3r=3 ve kesik parça yüksekliği h=6h=6 alınarak doğrudan hesaplanabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 17Soru →

Taban yarıçapı rr ve yüksekliği hh olan bir dik dairesel silindirin yarıçapı ile yüksekliğinin toplamı 1010 cm'dir. Bu silindirin tüm yüzey alanı 120π120\pi cm2\text{cm}^2 olduğuna göre, silindirin hacmi kaç π\pi cm3\text{cm}^3 tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 144

Cevap

Silindirin hacmi 144 birimdir.
Silindirin toplam yüzey alanı 2πr2+2πrh=2πr(r+h)2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r(r+h) formülü ile hesaplanır. Soruda verilen r+h=10r+h=10 değeri bu formülde yerine yazıldığında 2πr(10)=120π2\pi r(10) = 120\pi eşitliği elde edilir. Buradan r=6r=6 ve dolayısıyla h=4h=4 bulunur. Hacim formülü olan πr2h\pi r^2 h uygulandığında ise sonuç 144π144\pi olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen değişkenler arasındaki ilişkiyi yazın.
r+h=10r + h = 10
Soruda yarıçap ve yüksekliğin toplamının 10 olduğu belirtilmiştir.
2
Tüm yüzey alanı formülünü kullanarak rr değerini bulun.
2πr(r+h)=120π⇒2πr(10)=120π⇒20πr=120π⇒r=62\pi r(r + h) = 120\pi \Rightarrow 2\pi r(10) = 120\pi \Rightarrow 20\pi r = 120\pi \Rightarrow r = 6 cm
Silindirin tüm yüzey alanı iki taban alanı ile yanal alanın toplamıdır.
3
hh değerini hesaplayın.
h=10−6=4h = 10 - 6 = 4 cm
r+h=10r + h = 10 eşitliğinde r=6r = 6 yerine yazılarak yükseklik bulunur.
4
Hacim formülünü uygulayın.
V=πr2h=π⋅62⋅4=144πV = \pi r^2 h = \pi \cdot 6^2 \cdot 4 = 144\pi cm3\text{cm}^3
Silindirin hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Dik Dairesel Silindirin Alan ve Hacim İlişkileri

İpuçları

1
Silindirin toplam yüzey alanı formülünü 2πr(r+h)2\pi r(r+h) olarak yazmayı deneyin.
2
Soruda verilen r+h=10r+h=10 değerini alan formülünde yerine koyarak doğrudan yarıçapı (rr) bulabilirsiniz.
3
r=6r=6 bulduktan sonra hacim formülünde r2r^2 ifadesine dikkat ederek işlemi tamamlayın.

Daha Fazla Pratik

Silindirin yanal alanı ile hacmi arasındaki sayısal ilişkiyi inceleyen benzer sorular çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 18Soru →

Yarıçapı 12 birim olan daire biçimindeki bir kağıttan, merkez açısının ölçüsü 120∘120^\circ olan bir daire dilimi kesilip çıkarılıyor. Bu dilim, kesik yarıçapları (AO ve BO) çakıştırılarak dik dairesel bir koni elde ediliyor.

Elde edilen bu koninin içine, hem tabanına hem de yan yüzeylerine teğet olacak şekilde yerleştirilebilecek en büyük kürenin hacmi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6423π\frac{64\sqrt{2}}{3}\pi

Cevap

6423π\frac{64\sqrt{2}}{3}\pi
Daire dilimi koniye dönüştürüldüğünde taban yarıçapı r=4r=4 ve yüksekliği h=82h=8\sqrt{2} bulunur. Bu koninin içine teğet olan kürenin yarıçapı, koninin dikey kesitindeki ikizkenar üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapıdır (ρ=22\rho=2\sqrt{2}). Hacim formülü uygulandığında sonuç 6423π\frac{64\sqrt{2}}{3}\pi olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Daire diliminden koniye geçiş parametrelerini belirle.
Daire diliminin yarıçapı koninin ana doğrusu olur: l=12l = 12. Daire diliminin yay uzunluğu koninin taban çevresine eşittir: 120360⋅2π(12)=8π\frac{120}{360} \cdot 2\pi(12) = 8\pi. Buradan koni taban yarıçapı 2πr=8π⇒r=42\pi r = 8\pi \Rightarrow r = 4 birim bulunur.
Koninin temel elemanlarını (yarıçap ve ana doğru) bulmak için.
2
Koninin yüksekliğini (hh) hesapla.
Pisagor bağıntısı ile (h2+r2=l2h^2 + r^2 = l^2): h2+42=122⇒h2+16=144⇒h=128=82h^2 + 4^2 = 12^2 \Rightarrow h^2 + 16 = 144 \Rightarrow h = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} birim.
Koninin içine çizilecek kürenin yarıçapını bulmak için dikey kesit yüksekliğine ihtiyaç vardır.
3
Koninin içine yerleştirilen en büyük kürenin yarıçapını (ρ\rho) bul.
Koninin dikey kesiti, tabanı 8 birim, kenarları 12 birim olan bir ikizkenar üçgendir. Küre, bu üçgenin iç teğet çemberine karşılık gelir. Alan formülü ile: Üçgen Alanı = taban⋅yu¨kseklik2=8⋅822=322\frac{taban \cdot yükseklik}{2} = \frac{8 \cdot 8\sqrt{2}}{2} = 32\sqrt{2}. Yarı çevre u=12+12+82=16u = \frac{12+12+8}{2} = 16. İç yarıçap ρ=Alanu=32216=22\rho = \frac{Alan}{u} = \frac{32\sqrt{2}}{16} = 2\sqrt{2} birim.
Küre hacmini hesaplamak için yarıçap gereklidir.
4
Kürenin hacmini hesapla.
V=43πρ3=43π(22)3=43π(162)=6423πV = \frac{4}{3}\pi \rho^3 = \frac{4}{3}\pi (2\sqrt{2})^3 = \frac{4}{3}\pi (16\sqrt{2}) = \frac{64\sqrt{2}}{3}\pi birimküp.
Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Koni Açınımı ve İç Teğet Küre

İpuçları

1
Daire diliminin yay uzunluğu, oluşturulacak koninin taban çevresine eşittir.
2
Koninin tepe noktasından taban merkezine inen dikme ve taban yarıçapı ile bir dik üçgen oluşturarak koni yüksekliğini bulun.
3
Koninin dikey kesitini (ikizkenar üçgen) çizin. Küre bu üçgenin iç teğet çemberidir. Alan=u⋅rAlan = u \cdot r formülünü kullanarak küre yarıçapını hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir koninin içine yerleştirilebilecek en büyük küpün hacmini soran bir soru çözerek katı cisimlerde iç içe geçme mantığını pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Benzerlik kullanarak da çözülebilir: Taban açısına α\alpha dersek, tan⁡(α/2)=ρ/r\tan(\alpha/2) = \rho / r bağıntısı kullanılabilir ancak yarım açı formülleri gerektireceğinden alan formülü daha pratiktir.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 19Soru →

Analitik düzlemde köşe noktaları O(0,0)O(0,0), A(3,0)A(3,0) ve B(3,3)B(3,3) olan üçgensel bölgenin, x=5x=5 doğrusu etrafında 360∘360^\circ döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi kaç π\pi birimküptür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

Dönel cismin hacmi 27π birimküptür.
Verilen noktalar O(0,0)O(0,0), A(3,0)A(3,0) ve B(3,3)B(3,3) bir dik üçgen oluşturur. Bu üçgenin alanı A=3⋅32=4,5A = \frac{3 \cdot 3}{2} = 4,5 birimkaredir. Pappus-Guldin Teoremi'ne göre, bir düzlemsel bölgenin bir eksen etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi, bölgenin alanı ile bölgenin ağırlık merkezinin dönme sırasında aldığı yolun çarpımına eşittir (V=Alan⋅2πrV = \text{Alan} \cdot 2\pi r). Üçgenin ağırlık merkezinin apsisi xG=0+3+33=2x_G = \frac{0+3+3}{3} = 2'dir. Dönme ekseni x=5x=5 olduğu için, ağırlık merkezinin eksene uzaklığı r=5−2=3r = 5 - 2 = 3 birimdir. Buradan hacim V=4,5⋅2π⋅3=27πV = 4,5 \cdot 2\pi \cdot 3 = 27\pi bulunur. Alternatif olarak, büyük bir silindir boşluğundan (iç yarıçapı 2, dış yarıçapı 5 olan) ilgili diğer parçalar çıkarılarak da bulunabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dönel cismin hacmini bulmak için Pappus-Guldin Teoremi'ni veya 'Hacimlerin Farkı' yöntemini belirle.
Yöntem: Hacim = (Oluşan Büyük Silindir Boşluğu) - (Tamamlayıcı Parçanın Hacmi) veya Pappus Teoremi: V = Alan . 2πr
Şekil karmaşık bir dönel cisimdir, doğrudan formülü yoktur; bu yüzden parça parça düşünmek veya genel teorem kullanmak gerekir.
2
Üçgensel bölgenin alanını ve ağırlık merkezinin koordinatlarını hesapla.
Alan = (3 . 3) / 2 = 4,5 br². Ağırlık merkezi G'nin apsisi: (0+3+3)/3 = 2.
Pappus teoremini uygulamak için bölgenin alanı ve kütle merkezinin dönme eksenine uzaklığı gereklidir.
3
Ağırlık merkezinin dönme ekseni olan x=5 doğrusuna uzaklığını (r) bul.
r = |5 - 2| = 3 birim.
Cismin hacmi, ağırlık merkezinin çizdiği çemberin çevresi ile alanın çarpımına eşittir.
4
Hacim formülünü uygula (V = Alan . 2πr).
V = 4,5 . 2π . 3 = 9π . 3 = 27π.
Sonuç hesaplanır.

Anahtar Kavram

Dönel Cisimlerin Hacmi (Pappus-Guldin Teoremi veya Silindirden Çıkarma Yöntemi)

İpuçları

1
Cismin hacmini bulmak için Pappus-Guldin teoremini hatırlayın: Hacim = Alan × (Ağırlık Merkezinin Aldığı Yol).
2
Üçgenin ağırlık merkezinin x koordinatını bulmak için köşe noktalarının apsislerinin aritmetik ortalamasını alın (xG=x1+x2+x33x_G = \frac{x_1+x_2+x_3}{3}).
3
Ağırlık merkezinin apsisi 2'dir. Dönme ekseni x=5 olduğuna göre, dönme yarıçapı r=3 olur. Alan ise 4,5 birimkaredir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, üçgenin y ekseni etrafında döndürülmesi durumu için çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Büyük silindir bloğundan çıkarma yöntemi: 3x3'lük karenin x=5 etrafında dönmesiyle oluşan içi boş silindirden (dış yarıçap 5, iç yarıçap 2), üstteki 'boş' üçgenin oluşturduğu hacmi çıkarabilirsiniz.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 20Soru →

Boyutları 44 cm, 66 cm ve 1010 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kutunun hacmi kaç cm3\text{cm}^3 tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 240240

Cevap

Dikdörtgenler prizmasının hacmi 240240 cm3\text{cm}^3 tür.
240240 sonucu, dikdörtgenler prizmasının üç farklı ayrıt uzunluğunun (44 cm, 66 cm ve 1010 cm) çarpılmasıyla elde edilen hacim değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Dikdörtgenler prizmasının hacim formülünü belirle.
V=a×b×cV = a \times b \times c
Bir prizmanın hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına (yani üç farklı ayrıtının çarpımına) eşittir.
2
Verilen boyutları (a=4a = 4 cm, b=6b = 6 cm, c=10c = 10 cm) formülde yerine koy.
V=4×6×10V = 4 \times 6 \times 10
Soruda verilen ayrıt uzunlukları matematiksel işleme dökülür.
3
Çarpma işlemini gerçekleştir.
240240 cm3\text{cm}^3
4×6=244 \times 6 = 24 ve 24×10=24024 \times 10 = 240 sonucu elde edilir.

Anahtar Kavram

Dikdörtgenler Prizmasının Hacmi

İpuçları

1
Bir kutunun iç hacmini bulmak için üç farklı kenar uzunluğunu kullanmalısın.
2
Dikdörtgenler prizmasının hacmi; taban ayrıtları ve yüksekliğin birbiriyle çarpılmasıyla bulunur.
3
Kutunun boyutları olan 44, 66 ve 1010 sayılarını çarparak sonuca ulaşabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Bir küpün tüm ayrıtları eşit olduğunda hacminin nasıl değişeceğini düşünerek küp hacmi konusuna geçebilirsin.

Alternatif Yöntem

Önce taban alanını bulup (4×6=244 \times 6 = 24), ardından bu alanı yükseklik (1010) ile çarparak aynı sonuca ulaşabilirsin.
Tahmini Süre:45s
Sayfa 1 / 3Sonraki
Katı Cisimler Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür | Examkin