Examkin

Soru

Zorluk: ZorAnalitik Geometri

Analitik düzlemde bir karenin bir köşesi A(2,−3)A(2, -3) noktasıdır. Bu karenin bir köşegeni 3x−4y−8=03x - 4y - 8 = 0 doğrusu üzerindedir.

Buna göre, bu karenin alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    4
  2. 8Cevap
  3. C
    16
  4. D
    32
  5. E
    64

Cevap

Karenin alanı 8 birimkaredir.
Verilen nokta doğru üzerinde olmadığından, bu doğru karenin A noktasından geçmeyen diğer köşegenini taşımaktadır. A noktasının bu doğruya olan uzaklığı (2 birim), karenin köşegenlerinin kesişim noktasına olan uzaklığıdır; yani köşegenin yarısıdır. Köşegen uzunluğu 4 birim olur. Alan formülü (Köşegen² / 2) kullanılarak 8 birimkare bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A noktasının verilen doğruya olan uzaklığını hesapla.
d=∣3(2)−4(−3)−8∣32+(−4)2=∣6+12−8∣5=105=2d = \frac{|3(2) - 4(-3) - 8|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|6 + 12 - 8|}{5} = \frac{10}{5} = 2 birim.
Karenin bir köşegeni doğru üzerindedir, A noktası ise bu doğru üzerinde değildir. Bu durumda A noktasının doğruya uzaklığı, karenin yarım köşegen uzunluğuna eşittir.
2
Karenin köşegen uzunluğunu bul.
Yarım köşegen (dd) 2 birim olduğuna göre, tam köşegen uzunluğu (DD) 2×2=42 \times 2 = 4 birimdir.
Karede köşegenler birbirini dik ortalar.
3
Karenin alanını köşegen uzunluğunu kullanarak hesapla.
Alan = D22=422=162=8\frac{D^2}{2} = \frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8 birimkare.
Karenin alanı, köşegen uzunluğunun karesinin yarısına eşittir.

Anahtar Kavram

Noktanın doğruya olan uzaklığı ve karede köşegen-alan ilişkisi.

İpuçları

1
Öncelikle A noktasının verilen doğru üzerinde olup olmadığını kontrol edin. Değilse, noktanın doğruya olan uzaklığını hesaplayın.
2
Karede köşegenler birbirini dik ortalar. Bulduğunuz uzaklık, karenin merkezi ile bir köşesi arasındaki mesafedir.
3
Noktanın doğruya uzaklığı (d) yarım köşegendir. Tam köşegen (D) 2d olur. Karenin alanı D²/2 formülüyle bulunur.

Alternatif Yöntem

Bulunan yarım köşegen uzunluğu h=2h=2 ise, Pisagor bağıntısından karenin bir kenarı aa için (a/2)2+(a/2)2(a/2)^2 + (a/2)^2 değil, merkezdeki dik üçgenler kullanılır: 22+22=a2⇒a2=82^2 + 2^2 = a^2 \Rightarrow a^2 = 8. Doğrudan a2a^2 zaten alandır.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Analitik Geometri

Bu konudan daha fazla soru