Examkin

Soru

Zorluk: ZorAsal Sayılar
a,ba, b ve cc birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere,
a+b⋅c=102a + b \cdot c = 102
a⋅b+c=138a \cdot b + c = 138
eşitlikleri verilmektedir. Buna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?
  1. A
    27
  2. B
    29
  3. 31Cevap
  4. D
    33
  5. E
    35

Cevap

Verilen denklemlerden a,b,ca, b, c asal sayıları sırasıyla 7, 19 ve 5 olarak bulunur ve bu sayıların toplamı 31 eder.
Verilen iki denklem taraf tarafa çıkarıldığında (b−1)(a−c)=36(b-1)(a-c) = 36 ifadesi elde edilir. bb bir asal sayı olduğundan, b−1b-1 değeri 36'nın bir böleni olmalıdır. b=19b=19 alındığında b−1=18b-1=18 ve a−c=2a-c=2 çıkar. a=c+2a = c+2 eşitliği ilk denklemde yerine yazıldığında c=5c=5 ve a=7a=7 bulunur. 7,19,57, 19, 5 sayılarının tamamı asal ve birbirinden farklıdır. Bu sayıların toplamı 7+19+5=317+19+5=31 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemleri taraf tarafa çıkarın.
ab+c−(a+bc)=138−102⇒ab−bc−a+c=36ab + c - (a + bc) = 138 - 102 \Rightarrow ab - bc - a + c = 36
Değişkenler arasındaki ilişkiyi çarpanlara ayırma yöntemiyle basitleştirmek için.
2
İfadeyi çarpanlara ayırın.
b(a−c)−(a−c)=36⇒(b−1)(a−c)=36b(a - c) - (a - c) = 36 \Rightarrow (b - 1)(a - c) = 36
Ortak çarpan parantezine alarak bb asal sayısı için olası değerleri sınırlandırmak için.
3
bb asal sayısı için uygun değerleri deneyin.
b=19b = 19 için b−1=18b - 1 = 18 ve a−c=2a - c = 2 olur.
Asal sayı olma koşulunu sağlayan çarpanları tespit etmek için.
4
a=c+2a = c + 2 bağıntısını ilk denklemde yerine yazın.
(c+2)+19c=102⇒20c=100⇒c=5(c + 2) + 19c = 102 \Rightarrow 20c = 100 \Rightarrow c = 5
Tek bilinmeyenli bir denklem elde ederek sayıları bulmak için.
5
Diğer değişkenleri ve toplamı bulun.
c=5c = 5 ise a=7a = 7 olur. a+b+c=7+19+5=31a+b+c = 7 + 19 + 5 = 31.
İstenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Asal sayılar ve iki bilinmeyenli denklemlerin çarpanlara ayırma yoluyla çözümü.

Alternatif Yöntem

Denklemlerde a,b,ca, b, c yerine küçük asal sayıları (2, 3, 5, 7...) deneyerek de sonuca gidilebilir, ancak denklemleri taraf tarafa çıkarıp çarpanlara ayırmak çok daha garantili ve hızlı bir yöntemdir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Asal Sayılar

Bu konudan daha fazla soru