Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorŞekil Yeteneği ve Küp Sayma

Birim küplerin birleştirilmesiyle oluşturulmuş, ayrıt uzunlukları 2 birimden büyük tam sayılar olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir yapının tüm dış yüzeyi boyanıyor. Boya kuruduktan sonra yapı tekrar birim küplere ayrılıyor.

Yapılan sayım sonucunda, sadece bir yüzü boyalı olan birim küp sayısının, hiçbir yüzü boyalı olmayan birim küp sayısının 2 katına eşit olduğu görülmüştür.

Buna göre, bu yapının hacmi en az kaç birim küptür?

  1. A
    64
  2. B
    100
  3. 125Cevap
  4. D
    144
  5. E
    160

Cevap

Prizmanın hacmi en az 125 birim küptür.
Verilen koşulu sağlayan en küçük prizma 5×5×55 \times 5 \times 5 boyutlarındadır. Bu durumda içteki boyasız küp sayısı 33=273^3 = 27, sadece bir yüzü boyalı küp sayısı ise 6×32=546 \times 3^2 = 54 olur. 54=2×2754 = 2 \times 27 eşitliği sağlanır. Hacim 53=1255^3 = 125 birim küptür.

Adım Adım Çözüm

1
Prizmanın boyutlarını ve boyalı yüzey sayılarını formülize et.
Boyutlar a,b,ca, b, c olsun. Hiç boyalı olmayan (iç) küp sayısı: (a−2)(b−2)(c−2)(a-2)(b-2)(c-2). Sadece bir yüzü boyalı küp sayısı: 2[(a−2)(b−2)+(a−2)(c−2)+(b−2)(c−2)]2[(a-2)(b-2) + (a-2)(c-2) + (b-2)(c-2)].
İçteki küpler boyutlardan 2'şer birim kısılarak bulunur. Bir yüzü boyalılar ise yüzeylerin ortasındaki alanlardır.
2
Verilen eşitliği kullanarak matematiksel denklemi kur.
2[(a−2)(b−2)+(a−2)(c−2)+(b−2)(c−2)]=2×(a−2)(b−2)(c−2)2[(a-2)(b-2) + (a-2)(c-2) + (b-2)(c-2)] = 2 \times (a-2)(b-2)(c-2)
Soruda 'bir yüzü boyalı sayısının, boyasızların 2 katı' olduğu belirtilmiştir.
3
Denklemi sadeleştir ve temel bir bağıntı elde et.
Her iki tarafı 2(a−2)(b−2)(c−2)2(a-2)(b-2)(c-2) ifadesine bölersek: 1c−2+1b−2+1a−2=1\frac{1}{c-2} + \frac{1}{b-2} + \frac{1}{a-2} = 1 elde edilir.
Değişkenleri basitleştirerek çözümüamsayılar kümesinde aramak içindir.
4
x=a−2,y=b−2,z=c−2x = a-2, y = b-2, z = c-2 dönüşümü yaparak 1x+1y+1z=1\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1 denkleminin tam sayı çözümlerini bul.
Olası çözümler: (3,3,3), (2,4,4) ve (2,3,6).
Birim kesirlerin toplamının 1 olduğu durumlar sınırlıdır.
5
Her çözüm kümesi için hacmi (V=a⋅b⋅cV = a \cdot b \cdot c) hesapla ve en küçüğünü seç.
1. Durum (3,3,3): a=5,b=5,c=5⇒V=125a=5, b=5, c=5 \Rightarrow V=125. 2. Durum (2,4,4): a=4,b=6,c=6⇒V=144a=4, b=6, c=6 \Rightarrow V=144. 3. Durum (2,3,6): a=4,b=5,c=8⇒V=160a=4, b=5, c=8 \Rightarrow V=160. En küçük hacim 125'tir.
Minimum hacim sorulmuştur.

Anahtar Kavram

Küp Sayma ve Boyama Problemleri

İpuçları

1
Prizmanın boyutlarına a,b,ca, b, c diyerek, 'hiç boyası olmayan' ve 'sadece bir yüzü boyalı olan' küp sayılarını bu boyutlar cinsinden ifade etmeye çalışın.
2
Hiç boyası olmayan küpler, prizmanın en iç kısmında kalan (a−2)(b−2)(c−2)(a-2)(b-2)(c-2) adet küptür.
3
Denklem 1a−2+1b−2+1c−2=1\frac{1}{a-2} + \frac{1}{b-2} + \frac{1}{c-2} = 1 haline gelir. Bu eşitliği sağlayan en küçük tam sayıları deneyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, sadece 2 yüzü boyalı küp sayısının hiç boyalı olmayan küp sayısına eşit olduğu durumları inceleyen bir soru çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Deneme-yanılma yöntemi: En küçük küp olan 3×3×33 \times 3 \times 3 için kontrol edin (sağlamaz). Sonra 4×4×44 \times 4 \times 4 (sağlamaz). Sonra 5×5×55 \times 5 \times 5: İçeride 3×3×3=273 \times 3 \times 3=27, Yüzeylerde 6×(3×3)=546 \times (3 \times 3)=54. 54=2×2754 = 2 \times 27 tutuyor.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Şekil Yeteneği ve Küp Sayma

Bu konudan daha fazla soru