Examkin

Soru

Zorluk: ZorAlt Küme

A={1,2,3,4,5,6,7}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} kümesi veriliyor. Bu kümenin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir asal sayı ve en az bir çift sayı bulunur?

  1. A
    104
  2. 106Cevap
  3. C
    112
  4. D
    120
  5. E
    122

Cevap

İstenen şartları sağlayan 106 farklı alt küme vardır.
Soruda 'en az bir asal' ve 'en az bir çift' şartı arandığından, tüm durumlardan bu şartların sağlanmadığı durumları çıkarmak en pratik yoldur. İstenmeyen durumlar: 'Hiç asal sayı bulunmaması' VEYA 'Hiç çift sayı bulunmaması'dır. Bu iki kümenin birleşimini bulurken kesişimlerini (hem asal olmayan hem çift olmayanlar) çıkarmayı unutmamak gerekir. Tüm durum (128128) eksi İstenmeyen (8+16−2=228 + 16 - 2 = 22) işlemi sonucunda 106106 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeyi analiz et ve toplam alt küme sayısını bul.
A={1,2,3,4,5,6,7}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} kümesinin 7 elemanı vardır. Tüm alt kümelerin sayısı 27=1282^7 = 128'dir.
Tüm durumların sayısını belirlemek, istenmeyen durumları çıkarmak için gereklidir.
2
İstenmeyen durumları tanımla (Tümleyen Mantığı).
İstenen: (En az 1 Asal) VE (En az 1 Çift). İstenmeyen (Tümleyen): (Hiç Asal Yok) VEYA (Hiç Çift Yok).
Doğrudan hesaplamak yerine tümleyen yöntemini kullanmak bu tip sorularda daha pratiktir.
3
'Hiç Asal Yok' durumunu hesapla.
Asal sayılar: {2,3,5,7}\{2, 3, 5, 7\}. Asal olmayanlar: {1,4,6}\{1, 4, 6\} (3 eleman). Alt küme sayısı: 23=82^3 = 8.
Sadece asal olmayan elemanlardan oluşan alt kümeler, 'en az bir asal sayı' şartını sağlamaz.
4
'Hiç Çift Yok' durumunu hesapla.
Çift sayılar: {2,4,6}\{2, 4, 6\}. Çift olmayanlar (Tekler): {1,3,5,7}\{1, 3, 5, 7\} (4 eleman). Alt küme sayısı: 24=162^4 = 16.
Sadece tek sayılardan oluşan alt kümeler, 'en az bir çift sayı' şartını sağlamaz.
5
Kesişim durumunu (Hem Asal Yok Hem Çift Yok) hesapla.
Asal olmayan VE Çift olmayan elemanlar: {1}\{1\} (Sadece 1 elemanı). Alt küme sayısı: 21=22^1 = 2.
Birleşim formülünde (s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)) kesişimi iki kere çıkarmamak için bu değeri bulmalıyız.
6
İstenmeyen durumların toplam sayısını ve sonucu bul.
İstenmeyen = 8+16−2=228 + 16 - 2 = 22. Sonuç = Tüm Durumlar - İstenmeyen = 128−22=106128 - 22 = 106.
De Morgan kuralı ve küme birleşim prensibi ile doğru sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Tümleyen Yöntemi ile Alt Küme Hesabı (De Morgan Kuralı)

İpuçları

1
İstenen durumu doğrudan saymak yerine, tüm durumlardan 'istenmeyen' durumları çıkarmayı deneyin.
2
İstenmeyen durumlar şunlardır: Kümede hiç asal sayı olmaması VEYA kümede hiç çift sayı olmaması.
3
Asal olmayanların alt küme sayısı ile çift olmayanların alt küme sayısını toplayın, ancak her iki gruba da girenleri (kesişimi) bir kez çıkarmayı unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'en az bir negatif sayı ve en az bir pozitif sayı' şartıyla çözmeyi deneyin.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Alt Küme

Bu konudan daha fazla soru