Examkin

Soru

Zorluk: ZorFonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

A={a,b,c,d,e}A = \{a, b, c, d, e\} ve B={1,2,3,4,5,6}B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} kümeleri veriliyor. AA kümesinden BB kümesine tanımlı ff fonksiyonunun birebir (1-1) olduğu bilinmektedir.

ff fonksiyonu için aşağıdaki şartlar sağlanmaktadır:
1. f(a)+f(b)=7f(a) + f(b) = 7
2. f(c)f(c) değeri bir tek sayıdır.

Buna göre, bu şartları sağlayan kaç farklı ff fonksiyonu tanımlanabilir?

  1. A
    36
  2. B
    48
  3. 72Cevap
  4. D
    96
  5. E
    108

Cevap

Verilen şartlara uyan 72 farklı birebir fonksiyon tanımlanabilir.
İşlem adımları sırasıyla şöyledir: 1. f(a)+f(b)=7f(a)+f(b)=7 şartını sağlayan 6 farklı sıralı ikili vardır. Bu ikililerin her birinde bir tek ve bir çift sayı kullanılır. 2. f(c)f(c) tek sayı olmalıdır. Toplam 3 tek sayıdan 1 tanesi aa veya bb tarafından kullanıldığı için geriye 2 seçenek kalır. 3. Geriye kalan dd ve ee elemanları için, kullanılmayan 3 eleman kalmıştır. dd için 3, ee için 2 seçenek vardır (3×2=63 \times 2 = 6). Sonuç: 6×2×6=726 \times 2 \times 6 = 72.

Adım Adım Çözüm

1
f(a) + f(b) = 7 şartını sağlayan ve birbirinden farklı (birebir olduğu için) ikilileri belirle.
B kümesindeki elemanlardan toplamı 7 olan ikililer: (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3). Toplam 6 durum vardır.
Fonksiyon birebir olduğu için f(a) ≠ f(b) olmalıdır. Hem a hem b için değer seçilmelidir.
2
Bu seçimlerin tek/çift sayı durumunu ve f(c) için kalan seçenekleri analiz et.
Her ikilide (örneğin 1 ve 6) mutlaka 1 tek ve 1 çift sayı kullanılır. B kümesindeki tek sayılar {1, 3, 5} (3 adet), çift sayılar {2, 4, 6} (3 adet). a ve b için 1 tek sayı kesinlikle kullanıldığı için, f(c) için geriye 3 - 1 = 2 adet tek sayı kalır.
f(c)'nin tek sayı olması şartı, a ve b'nin kullandığı sayılara bağlıdır.
3
Kalan elemanlar (d ve e) için seçenek sayısını hesapla.
B kümesinde toplam 6 eleman var. f(a), f(b) ve f(c) için toplam 3 eleman kullanıldı. Geriye 6 - 3 = 3 eleman kalır. d için 3, e için 2 seçenek vardır (veya P(3,2) = 6).
Fonksiyon birebir olduğu için kullanılan değerler tekrar kullanılamaz.
4
Çarpma kuralını uygulayarak toplam fonksiyon sayısını bul.
6 (a ve b için) × 2 (c için) × 6 (d ve e için) = 72.
Olaylar bağımsız aşamalar olduğu için seçenek sayıları çarpılır.

Anahtar Kavram

Birebir Fonksiyon Sayısı ve Saymanın Temel İlkesi

İpuçları

1
Önce f(a) + f(b) = 7 eşitliğini sağlayan sayı çiftlerini listeleyin. Sıralamanın önemli olduğunu unutmayın (f(a)=1 ile f(a)=6 farklıdır).
2
f(a) ve f(b) çiftlerinin her birinde kaç tane tek sayı kullanıldığını kontrol edin. Bu, f(c) için kaç tek sayı kaldığını belirleyecektir.
3
Adım adım seçenek sayılarını çarpın: (a,b çifti sayısı) × (c için kalan tek sayılar) × (d,e için kalan tüm sayılar).

Daha Fazla Pratik

Birebir olmayan fonksiyon sayısı sorulsaydı sonuç nasıl değişirdi?

Alternatif Yöntem

Tüm birebir fonksiyonlardan şartları sağlamayanları çıkarmak yerine, doğrudan şartları sağlayan durumları saymak (yukarıdaki yöntem) bu soru için çok daha pratiktir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

Bu konudan daha fazla soru