Examkin

Soru

Zorluk: ZorFonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\} kümesi üzerinde tanımlı, birebir ve örten f:A→Af: A \rightarrow A fonksiyonları ele alınıyor. Bu fonksiyonlardan kaç tanesi ∣f(1)−f(2)∣=2|f(1) - f(2)| = 2 koşulunu sağlar?

  1. A
    24
  2. B
    30
  3. 36Cevap
  4. D
    48
  5. E
    120

Cevap

Koşulu sağlayan 36 farklı fonksiyon tanımlanabilir.
İstenen koşul ∣f(1)−f(2)∣=2|f(1) - f(2)| = 2 dir. Bu koşulu sağlayan sayı çiftleri {1,3},{2,4},{3,5}\{1,3\}, \{2,4\}, \{3,5\} kümeleridir. Her küme için elemanlar kendi arasında yer değiştirebileceğinden (örneğin f(1)=1,f(2)=3f(1)=1, f(2)=3 veya f(1)=3,f(2)=1f(1)=3, f(2)=1) toplam 3×2=63 \times 2 = 6 farklı başlangıç durumu vardır. Fonksiyon birebir ve örten olduğu için, geriye kalan 3 eleman (3,4,53, 4, 5) boşta kalan 3 görüntüye 3!=63! = 6 farklı şekilde eşleşir. Çarpma kuralı gereği toplam fonksiyon sayısı 6×6=366 \times 6 = 36 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Koşulu sağlayan görüntü ikililerini belirle
∣f(1)−f(2)∣=2|f(1) - f(2)| = 2 olması için (f(1),f(2))(f(1), f(2)) ikilisi şu değerleri alabilir: (1,3),(3,1),(2,4),(4,2),(3,5),(5,3)(1,3), (3,1), (2,4), (4,2), (3,5), (5,3).
Görüntü kümesindeki elemanlar arasındaki farkın mutlak değerce 2 olduğu tüm durumlar listelenmelidir.
2
İlk iki eleman için durum sayısını hesapla
Toplam 6 farklı (f(1),f(2))(f(1), f(2)) ikilisi vardır.
Listelenen ikililerin sayısı sayma işleminin ilk çarpanıdır.
3
Geriye kalan elemanların eşleşme sayısını hesapla
Geriye kalan 3 eleman (3,4,53, 4, 5) boşta kalan 3 değere 3!=63! = 6 farklı şekilde eşleşebilir.
Fonksiyon birebir ve örten olduğu için kalan elemanlar kendi aralarında yer değiştirebilir (permütasyon).
4
Toplam fonksiyon sayısını bul
6×6=366 \times 6 = 36.
Saymanın çarpma kuralı gereği, ilk aşamadaki durum sayısı ile ikinci aşamadaki durum sayısı çarpılır.

Anahtar Kavram

Birebir ve Örten Fonksiyon Sayısı (Permütasyon)

İpuçları

1
Önce f(1)f(1) ve f(2)f(2) değerlerinin alabileceği ikilileri listeleyerek başlayın.
2
A kümesinde aralarındaki fark mutlak değerce 2 olan kaç sayı çifti var? (Örneğin 1 ve 3 gibi). Bunların kendi aralarındaki yer değişimini de unutmayın.
3
f(1)f(1) ve f(2)f(2) belirlendikten sonra, geriye kalan 3 elemanın kaç farklı şekilde eşleşebileceğini düşünün (Permütasyon).

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu ∣f(1)−f(2)∣≥3|f(1) - f(2)| \ge 3 koşulu ile çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Tüm ikililer için bir tablo oluşturup farkı 2 olanları işaretleyerek görsel bir sayım yapılabilir, ardından kalanlar için permütasyon uygulanır.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

Bu konudan daha fazla soru