Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Çevresi 4848 cm olan bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| ve m(BAC^)>90∘m(\widehat{BAC}) > 90^\circ olduğu bilinmektedir. Üçgenin eşit kenar uzunlukları santimetre cinsinden birer tam sayı olduğuna göre, bu uzunluğun alabileceği kaç farklı değer vardır?

  1. A
    1
  2. 2Cevap
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    5

Cevap

Eşit kenar uzunluğunun alabileceği 2 farklı tam sayı değeri vardır.
Doğru cevap, hem üçgen olma şartını (12<x<2412 < x < 24) hem de tepe açısının geniş olma şartını (x<14.04x < 14.04) sağlayan tam sayıların sayısıdır. Bu iki şartın kesişimi 12<x<14.0412 < x < 14.04 aralığını verir ve bu aralıkta sadece 13 ve 14 sayıları bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri tanımla ve çevre bağıntısını kur.
Eşit kenarlara xx, tabana yy diyelim. 2x+y=48⇒y=48−2x2x + y = 48 \Rightarrow y = 48 - 2x.
Soruda verilen çevre bilgisi ve ikizkenarlık özelliği matematiksel ifadeye dökülmelidir.
2
Üçgen olma şartını (üçgen eşitsizliği) uygula.
∣x−x∣<y<x+x⇒0<48−2x<2x|x - x| < y < x + x \Rightarrow 0 < 48 - 2x < 2x. Buradan 48<4x⇒x>1248 < 4x \Rightarrow x > 12. Ayrıca y>0⇒x<24y > 0 \Rightarrow x < 24. Yani 12<x<2412 < x < 24.
Bir üçgenin kenar uzunlukları üçgen eşitsizliğini sağlamalıdır.
3
Geniş açı şartını (m(A^)>90∘m(\widehat{A}) > 90^\circ) uygula.
Geniş açının karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyüktür: y2>x2+x2⇒y2>2x2y^2 > x^2 + x^2 \Rightarrow y^2 > 2x^2.
Soruda verilen açı bilgisi, kenar uzunlukları arasında bir eşitsizlik oluşturur.
4
Elde edilen eşitsizliği xx cinsinden çöz.
(48−2x)2>2x2⇒4(24−x)2>2x2⇒2(24−x)2>x2(48 - 2x)^2 > 2x^2 \Rightarrow 4(24-x)^2 > 2x^2 \Rightarrow 2(24-x)^2 > x^2. Her iki tarafın karekökünü alalım: 2(24−x)>x⇒242−x2>x⇒242>x(1+2)\sqrt{2}(24-x) > x \Rightarrow 24\sqrt{2} - x\sqrt{2} > x \Rightarrow 24\sqrt{2} > x(1+\sqrt{2}). Buradan x<2421+2x < \frac{24\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}.
Eşitsizlik sisteminin çözüm aralığını bulmak için cebirsel işlemler yapılır.
5
Yaklaşık değer hesapla ve tam sayıları bul.
2≈1.41\sqrt{2} \approx 1.41 alırsak, x<24×1.412.41≈33.842.41≈14.04x < \frac{24 \times 1.41}{2.41} \approx \frac{33.84}{2.41} \approx 14.04. Üçgen eşitsizliğinden x>12x > 12 bulmuştuk. Kesişim: 12<x<14.0412 < x < 14.04. Bu aralıktaki tam sayılar: 1313 ve 1414.
Bulunan aralıktaki tam sayı değerleri tespit edilerek sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bir üçgende geniş açının karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyüktür (a2>b2+c2a^2 > b^2 + c^2). Ayrıca üçgen eşitsizliği (∣b−c∣<a<b+c|b-c| < a < b+c) her zaman sağlanmalıdır.

İpuçları

1
İkizkenar üçgenin eşit kenarlarına xx, tabanına yy diyerek çevre bağıntısını yazın: 2x+y=482x + y = 48.
2
Üçgen eşitsizliğini (y<2xy < 2x) ve geniş açı şartını (y2>x2+x2y^2 > x^2 + x^2) kullanarak xx için bir aralık belirleyin.
3
yy yerine 48−2x48-2x koyduğunuzda, geniş açı şartı (48−2x)2>2x2(48-2x)^2 > 2x^2 eşitsizliğine dönüşür. Bu eşitsizliği sağlayan en büyük tam sayı xx değerini bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, 'dar açılı üçgen' şartı ile çözerek çözüm kümesinin nasıl değiştiğini inceleyin.

Alternatif Yöntem

Kosinüs teoremi ile de yaklaşılabilir: y2=x2+x2−2x2cos⁡(A)y^2 = x^2 + x^2 - 2x^2 \cos(A). A>90∘A > 90^\circ olduğu için cos⁡(A)\cos(A) negatiftir, bu da y2>2x2y^2 > 2x^2 sonucunu verir.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bu konudan daha fazla soru