Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÇarpanlara Ayırma
20263+120262−2025 \frac{2026^3 + 1}{2026^2 - 2025}
işleminin sonucu kaçtır?
  1. A
    1
  2. B
    2025
  3. C
    2026
  4. 2027Cevap
  5. E
    4052

Cevap

İşlemin sonucu 2027'dir.
Verilen ifade, iki küp toplamı özdeşliğinin sayısal bir uygulamasıdır. 20262026 sayısına xx denildiğinde, pay x3+1x^3+1, payda ise x2−(x−1)=x2−x+1x^2-(x-1) = x^2-x+1 olur. İki küp toplamı formülü (x+1)(x2−x+1)(x+1)(x^2-x+1) şeklinde açıldığında, paydadaki ifade ile sadeleşir ve geriye sadece x+1x+1 kalır. 2026+1=20272026+1 = 2027 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sayısal ifadeyi cebirsel bir yapıya dönüştürmek için x=2026x = 2026 değişken ataması yapılır.
x3+1x2−(x−1) \frac{x^3 + 1}{x^2 - (x - 1)}
Büyük sayılarla doğrudan işlem yapmak yerine özdeşliklerden yararlanmak için değişken kullanmak kolaylık sağlar. Paydadaki 20252025 sayısı, 2026−12026 - 1 yani x−1x - 1 olarak ifade edilir.
2
Paydadaki parantez açılır ve ifade düzenlenir.
x2−x+1 x^2 - x + 1
x2−(x−1)=x2−x+1x^2 - (x - 1) = x^2 - x + 1 olur.
3
Pay kısmındaki iki küp toplamı özdeşliği (a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)) uygulanır.
x3+1=(x+1)(x2−x+1) x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)
Burada 11 sayısı 131^3 olarak düşünülür.
4
Elde edilen ifadeler kesirde yerine yazılır ve sadeleştirme yapılır.
(x+1)(x2−x+1)x2−x+1=x+1 \frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{x^2 - x + 1} = x + 1
Pay ve paydadaki (x2−x+1)(x^2 - x + 1) çarpanları birbirini götürür.
5
Sonuçta xx değeri yerine yazılır.
2026+1=20272026 + 1 = 2027
Değişken geriye dönüştürülerek sayısal sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

İki Küp Toplamı Özdeşliği

İpuçları

1
Büyük sayıların kuvvetlerini hesaplamaya çalışmak yerine, 20262026 sayısına bir değişken (örneğin xx) atamayı deneyin.
2
Paydadaki 20252025 sayısını, xx türünden (x−1x-1) olarak yazın ve paydayı düzenleyin.
3
Pay kısmında x3+1=x3+13x^3 + 1 = x^3 + 1^3 eşitliğini kullanarak iki küp toplamı özdeşliğini uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıdaki x3−1x^3 - 1 özdeşliğini kullanan sorular çözülmelidir.

Alternatif Yöntem

Polinom bölmesi yöntemi ile x3+1x^3+1 ifadesi x2−x+1x^2-x+1 ifadesine bölünerek bölümün x+1x+1 olduğu da görülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Çarpanlara Ayırma

Bu konudan daha fazla soru