Examkin

Soru

Zorluk: ZorAnalitik Geometri

Dik koordinat düzleminde; y=xy = x ve y=−2xy = -2x doğruları ile x+y−6=0x + y - 6 = 0 doğrusu arasında kalan sınırlı üçgensel bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    18
  2. B
    24
  3. 27Cevap
  4. D
    36
  5. E
    54

Cevap

Doğruların kesişim noktaları bulunarak hesaplanan üçgenin alanı 27 birimkaredir.
Doğruların kesişim noktaları (0,0)(0,0), (3,3)(3,3) ve (−6,12)(-6,12) olarak bulunur. Bu noktalarla oluşturulan üçgenin alanı determinant formülü veya taban-yükseklik çarpımının yarısı ile hesaplandığında sonuç 27 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Doğruların ikişerli kesişim noktalarını (üçgenin köşelerini) belirle.
1. Köşe: y=xy=x ve y=−2xy=-2x orijinde kesişir: O(0,0)O(0,0).
2. Köşe: y=xy=x ve x+y−6=0x+y-6=0 kesişimi: x+x−6=0⇒2x=6⇒x=3,y=3x+x-6=0 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3, y=3. Nokta A(3,3)A(3,3).
3. Köşe: y=−2xy=-2x ve x+y−6=0x+y-6=0 kesişimi: x+(−2x)−6=0⇒−x=6⇒x=−6,y=12x+(-2x)-6=0 \Rightarrow -x=6 \Rightarrow x=-6, y=12. Nokta B(−6,12)B(-6,12).
Üçgenin alanını hesaplamak için köşe koordinatlarına ihtiyaç vardır.
2
Köşe koordinatlarını kullanarak determinant yöntemi veya taban-yükseklik formülü ile alanı hesapla.
Determinant Yöntemi:
12∣x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)∣\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|
=12∣0(3−12)+3(12−0)+(−6)(0−3)∣= \frac{1}{2} |0(3-12) + 3(12-0) + (-6)(0-3)|
=12∣0+36+18∣= \frac{1}{2} |0 + 36 + 18|
=12∣54∣=27= \frac{1}{2} |54| = 27 birimkare.
Koordinatları bilinen bir üçgenin alanı en pratik şekilde determinant yöntemiyle bulunur.
3
Alternatif Yöntem (Taban x Yükseklik) ile sağlama yap.
Taban ∣AB∣=(3−(−6))2+(3−12)2=92+(−9)2=92|AB| = \sqrt{(3-(-6))^2 + (3-12)^2} = \sqrt{9^2 + (-9)^2} = 9\sqrt{2} birim.
Yükseklik (OO'dan x+y−6=0x+y-6=0'a uzaklık) h=∣0+0−6∣12+12=62=32h = \frac{|0+0-6|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} birim.
Alan =12⋅(92)⋅(32)=12⋅27⋅2=27= \frac{1}{2} \cdot (9\sqrt{2}) \cdot (3\sqrt{2}) = \frac{1}{2} \cdot 27 \cdot 2 = 27 birimkare.
Sonucun doğruluğunu geometrik formüllerle teyit etmek.

Anahtar Kavram

Analitik düzlemde doğruların kesişim noktaları ve köşe koordinatları bilinen üçgenin alanı.

İpuçları

1
Önce verilen doğruların ikişer ikişer kesişim noktalarını bularak üçgenin köşe koordinatlarını belirleyin.
2
y=xy=x ve y=−2xy=-2x doğruları orijinden geçer. Diğer köşeleri bulmak için bu denklemleri sırayla x+y−6=0x+y-6=0 denkleminde yerine yazın.
3
Köşe koordinatları (0,0)(0,0), (3,3)(3,3) ve (−6,12)(-6,12) olan üçgenin alanını hesaplamak için 12∣x1y2−y1x2+...∣\frac{1}{2} |x_1y_2 - y_1x_2 + ...| determinant formülünü kullanabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, köşe koordinatları verilen bir dörtgenin alanını iki üçgene ayırarak hesaplama sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Taban-Yükseklik Yöntemi: Taban olarak A(3,3)A(3,3) ve B(−6,12)B(-6,12) arasındaki uzaklığı, yükseklik olarak ise orijinin x+y−6=0x+y-6=0 doğrusuna olan uzaklığını hesaplayıp Alan = (Taban x Yükseklik)/2 formülünü kullanabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Analitik Geometri

Bu konudan daha fazla soru