Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorŞekil Yeteneği ve Küp Sayma

Karşılıklı yüzlerindeki sayıların toplamı 77 olan özdeş standart zarlar kullanılarak, aralarında boşluk kalmayacak şekilde 3×3×33 \times 3 \times 3 boyutlarında büyük bir küp oluşturuluyor.

Oluşturulan bu büyük küpün dış yüzeyine denk gelen yüzlerdeki sayıların toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

  1. 90Cevap
  2. B
    96
  3. C
    98
  4. D
    102
  5. E
    108

Cevap

Dış yüzeydeki sayıların toplamının alabileceği en küçük değer 90'dır.
3x3x3'lük küpün dış yüzeyindeki toplamı en aza indirmek için zarların konumuna göre görünen yüz sayısı belirlenir: Köşeler (3 yüz), Ayrıtlar (2 yüz), Göbekler (1 yüz). Her konum için zarlar, görünen yüzlere en küçük sayılar (1, 2, 3) gelecek şekilde yerleştirilir. Hesaplama: 8 köşe x (1+2+3) + 12 ayrıt x (1+2) + 6 göbek x (1) = 90 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Büyük küpü oluşturan birim küplerin (zarların) konumlarını analiz et.
3x3x3 küpte toplam 27 zar vardır. Dış yüzeyde bulunanlar: 8 köşe, 12 ayrıt ortası ve 6 yüzey ortası zarıdır. (Merkezdeki 1 zar görünmez.)
Toplamı minimize etmek için her pozisyondaki zarın dışa bakan yüz sayısını ve bu yüzlere gelebilecek en küçük değerleri belirlememiz gerekir.
2
Köşelerdeki 8 zar için minimum toplamı hesapla.
Her köşe zarı 3 yüz gösterir. Standart bir zarda kesişen üç yüzün alabileceği en küçük değerler 1, 2 ve 3'tür. Bir köşe için toplam: 1+2+3=61+2+3=6. Tüm köşeler: 8×6=488 \times 6 = 48.
Köşeler 3 dış yüzeye sahiptir. En küçük toplam için zarların 1, 2 ve 3 numaralı yüzlerinin köşede buluşması sağlanır.
3
Ayrıt ortalarındaki 12 zar için minimum toplamı hesapla.
Her ayrıt ortası zarı 2 yüz gösterir. Komşu iki yüzün alabileceği en küçük değerler 1 ve 2'dir. Bir ayrıt için toplam: 1+2=31+2=3. Tüm ayrıtlar: 12×3=3612 \times 3 = 36.
Ayrıt ortaları 2 dış yüzeye sahiptir. En küçük komşu yüz çifti 1 ve 2'dir.
4
Yüzey ortalarındaki 6 zar için minimum toplamı hesapla.
Her yüzey ortası zarı 1 yüz gösterir. Bir yüzün alabileceği en küçük değer 1'dir. Tüm yüzey ortaları: 6×1=66 \times 1 = 6.
Yüzey ortaları sadece 1 dış yüzeye sahiptir.
5
Tüm grupların toplamını al.
Toplam = 48+36+6=9048 + 36 + 6 = 90.
Bulunan minimum değerlerin toplanmasıyla sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Küp Yüzey Analizi ve Optimizasyon
Bu soruyu puanla

Konular

Şekil Yeteneği ve Küp Sayma

Bu konudan daha fazla soru