Bir ABC üçgeninde |AB| = 8 cm, |AC| = 15 cm ve m(\widehat{BAC}) < 90^\circ olduğu bilinmek… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 8$ cm, $|AC| = 15$ cm ve $m(\widehat{BAC}) < 90^\circ$ olduğu bilinmektedir.

Buna göre, $ABC$ üçgeninin üçüncü kenarı olan $|BC|$ uzunluğunun santimetre cinsinden alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

9 farklı tam sayı değeri vardır.

Üçgenin var olabilmesi için

|BC|

uzunluğu öncelikle üçgen eşitsizliğini (

7 < x < 23

) sağlamalıdır. Ayrıca soruda verilen

m(\widehat{A}) < 90^\circ

şartı gereği, kenar uzunluğu Pisagor teoremindeki hipotenüs değerinden küçük olmalıdır (

x < 17

). Bu iki koşulun kesişimi

7 < x < 17

aralığını verir. Bu aralıktaki tam sayılar 8'den 16'ya kadardır ve toplam 9 tanedir.

Üçgen eşitsizliğini uygula.

|15 - 8| < |BC| < 15 + 8 \Rightarrow 7 < |BC| < 23

Bir üçgenin bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyüktür.

Açı şartını (Dar Açı) uygula.

|BC|^2 < 8^2 + 15^2 \Rightarrow |BC|^2 < 64 + 225 \Rightarrow |BC|^2 < 289 \Rightarrow |BC| < 17

m(\widehat{A}) < 90^\circ

ise,

a^2 < b^2 + c^2

(Pisagor eşitsizliği) geçerlidir.

İki eşitsizliği birleştirerek ortak çözüm aralığını bul.

7 < |BC|

|BC| < 17

olduğundan ortak aralık:

7 < |BC| < 17

Kenar uzunluğu her iki koşulu da aynı anda sağlamalıdır.

Aralıktaki tam sayıları say.

Değerler:

8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16

. Toplam 9 tane.

Sonlu aralıktaki tam sayı adedi:

(Üst Sınır - Alt Sınır) - 1 = 17 - 7 - 1 = 9

Üçgende kenar uzunlukları hem temel üçgen eşitsizliğini (

|b-c| < a < b+c

) hem de açıya bağlı özel durumları (Pisagor eşitsizlikleri) sağlamalıdır.

Bir üçgende bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın toplamından küçük, farkından büyük olmalıdır.

m(\widehat{A}) = 90^\circ

olsaydı

|BC|

kaç olurdu? Açı

90^\circ

'den küçük olduğuna göre

|BC|

nasıl etkilenir?

8-15-17 özel üçgenini hatırlayın. Açı dar olduğuna göre

|BC|

kenarı 17'den küçük olmalıdır.

Benzer şekilde

m(\widehat{A}) > 90^\circ

(Geniş Açı) koşulu verildiğinde çözüm aralığının nasıl değişeceğini inceleyiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru