Examkin

Soru

Zorluk: ZorDörtgenler

Aşağıda verilen ABCD yamuğunda [AB]//[DC][AB] // [DC] paralelliği bulunmaktadır.

Verilen açılar ve uzunluklar şöyledir:
- m(DAB^)=60∘m(\widehat{DAB}) = 60^\circ
- m(ABC^)=45∘m(\widehat{ABC}) = 45^\circ
- ∣AD∣=43|AD| = 4\sqrt{3} cm
- ∣DC∣=2|DC| = 2 cm

Buna göre, ABCD yamuğunun alanı kaç cm2cm^2'dir?

  1. A
    6+1036 + 10\sqrt{3}
  2. B
    24+8324 + 8\sqrt{3}
  3. 30+6330 + 6\sqrt{3}Cevap
  4. D
    36
  5. E
    60+12360 + 12\sqrt{3}

Cevap

Yamuğun alanı 30+6330 + 6\sqrt{3} cm2cm^2 olarak bulunur.
Verilen açılar kullanılarak oluşturulan dik üçgenler sayesinde yamuğun yüksekliği 6 cm ve alt tabanı 8+238 + 2\sqrt{3} cm olarak bulunur. Alan formülü uygulandığında doğru sonuç 30+6330 + 6\sqrt{3} elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Yamuğun yüksekliğini ve taban parçalarını bulmak için D ve C köşelerinden AB kenarına dikmeler indirilir.
D'den inen dikme ayağına H, C'den inen dikme ayağına K denir. Böylece ADH ve CKB dik üçgenleri oluşur.
Yamuk sorularında taban açıları biliniyorsa, yükseklik indirerek özel üçgenler oluşturmak standart çözüm yoludur.
2
ADH (30-60-90) üçgeninde kenar uzunlukları hesaplanır.
Hipotenüs ∣AD∣=43|AD|=4\sqrt{3} ise, 60∘60^\circ'nin karşısındaki dik kenar (yükseklik) h=43⋅32=6h = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 cm, taban parçası ∣AH∣=43⋅12=23|AH| = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3} cm bulunur.
30-60-90 üçgeninde 60∘60^\circ'nin karşısı hipotenüsün 32\frac{\sqrt{3}}{2} katıdır.
3
CKB (45-45-90) üçgeninde kenar uzunlukları hesaplanır.
Yükseklik ∣CK∣=h=6|CK|=h=6 cm olduğundan, 45∘45^\circ'nin karşısındaki diğer dik kenar ∣KB∣=6|KB|=6 cm olur.
İkizkenar dik üçgende dik kenarlar birbirine eşittir.
4
Alt taban uzunluğu ∣AB∣|AB| hesaplanır.
∣AB∣=∣AH∣+∣HK∣+∣KB∣=23+2+6=8+23|AB| = |AH| + |HK| + |KB| = 2\sqrt{3} + 2 + 6 = 8 + 2\sqrt{3} cm.
∣HK∣|HK| uzunluğu üst taban ∣DC∣|DC|'ye eşittir.
5
Yamuğun alanı hesaplanır.
Alan = (∣DC∣+∣AB∣)⋅h2=(2+8+23)⋅62=(10+23)⋅3=30+63\frac{(|DC| + |AB|) \cdot h}{2} = \frac{(2 + 8 + 2\sqrt{3}) \cdot 6}{2} = (10 + 2\sqrt{3}) \cdot 3 = 30 + 6\sqrt{3} cm2cm^2.
Yamuk alanı = (Alt Taban + Üst Taban) x Yükseklik / 2

Anahtar Kavram

Özel açılı yamuklarda alan hesabı için köşelerden dikme indirilerek 30-60-90 ve 45-45-90 üçgenlerinden yararlanılması.

İpuçları

1
Yamuğun alanını bulmak için alt taban uzunluğuna ve yüksekliğe ihtiyacınız var. D ve C köşelerinden tabana dikmeler indirmeyi deneyin.
2
Dikmeler indirdiğinizde oluşan üçgenlerin açılarına dikkat edin. Sol tarafta 30-60-90, sağ tarafta 45-45-90 üçgeni oluşacaktır.
3
30-60-90 üçgeninde 60 derecenin karşısı (yükseklik), hipotenüsün (434\sqrt{3}) 32\frac{\sqrt{3}}{2} katıdır. Bu yüksekliği sağdaki ikizkenar dik üçgende de kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla çözülen, ancak taban açılarının 30 ve 45 derece olduğu yamuk sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Yamuğu bir paralelkenar ve bir üçgen olarak da bölebilirsiniz (C'den AD'ye paralel çizerek), ancak dikme indirmek bu soruda daha pratik bir çözümdür.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Dörtgenler

Bu konudan daha fazla soru