Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorHareket Problemleri

Sabit VkV_k hızıyla doğrusal bir yolda ilerleyen ve uzunluğu LL metre olan bir konvoyun en arkasında bulunan bir haberci aracı, sabit VaV_a hızıyla (Va>VkV_a > V_k) hareket ederek konvoyun en önüne kadar gitmiş ve hiç durmadan aynı hızla geri dönerek tekrar konvoyun en arkasındaki başlangıç konumuna gelmiştir. Haberci aracı bu tüm hareketi tamamladığında, konvoyun toplamda kendi uzunluğu kadar (LL metre) yol aldığı tespit edilmiştir. Buna göre, haberci aracının hızı konvoyun hızının kaç katıdır?

  1. A
    2\sqrt{2}
  2. B
    22
  3. 1+21 + \sqrt{2}Cevap
  4. D
    2+22 + \sqrt{2}
  5. E
    33

Cevap

Haberci aracının hızı konvoyun hızının 1+21 + \sqrt{2} katıdır.
Soruda aracın hareketi iki aşamadan oluşur: konvoyun önüne gitme ve arkasına dönme. Bu süreçte konvoy da hareket halindedir. Bağıl hız prensibine göre, araç ileri giderken konvoya göre hızı (Va−Vk)(V_a - V_k), geri dönerken (Va+Vk)(V_a + V_k) olur. Her iki durumda da konvoya göre katedilen mesafe konvoyun boyu (LL) kadardır. Bu sürelerin toplamı, konvoyun LL mesafesini gitme süresine (L/VkL/V_k) eşittir. Kurulan 1x−1+1x+1=1\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = 1 denkleminin çözümü, hız oranının 1+21 + \sqrt{2} olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Problemi matematiksel modele dök
Konvoy hızı VkV_k, araç hızı VaV_a olsun. Konvoyun aldığı yol LL olduğuna göre geçen toplam süre t=LVkt = \frac{L}{V_k}'dır.
Hız, yol ve zaman arasındaki temel ilişkiyi kurmak.
2
Aracın gidiş (öne yetişme) süresini hesapla
Araç konvoyla aynı yönde gittiği için bağıl hız (Va−Vk)(V_a - V_k) olur. Alması gereken bağıl yol LL'dir. Süre t1=LVa−Vkt_1 = \frac{L}{V_a - V_k}.
Bağıl hız kavramını kullanarak yakalama süresini bulmak.
3
Aracın dönüş (arkaya kavuşma) süresini hesapla
Araç geri dönerken konvoya zıt yönde gider, bağıl hız (Va+Vk)(V_a + V_k) olur. Alması gereken bağıl yol yine LL'dir. Süre t2=LVa+Vkt_2 = \frac{L}{V_a + V_k}.
Karşılaşma/zıt yön hareketinde hızların toplandığı ilkesini uygulamak.
4
Toplam süre denklemini kur ve çöz
Toplam süre eşitliğinden: LVa−Vk+LVa+Vk=LVk\frac{L}{V_a - V_k} + \frac{L}{V_a + V_k} = \frac{L}{V_k}. LL'ler sadeleşir ve VaVk=x\frac{V_a}{V_k} = x dönüşümü yapılırsa: 1x−1+1x+1=1\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = 1 elde edilir.
Süreleri eşitleyerek hızlar arası oranı bulmak için denklem oluşturmak.
5
İkinci dereceden denklemi çöz
2xx2−1=1⇒x2−2x−1=0\frac{2x}{x^2-1} = 1 \Rightarrow x^2 - 2x - 1 = 0. Kökler x=2±4+42=1±2x = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}. Hız oranı pozitif ve araç konvoydan hızlı (x>1x>1) olduğu için cevap 1+21 + \sqrt{2}'dir.
Cebirsel çözümle sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Bağıl Hareket ve Denklem Kurma

İpuçları

1
Aracın konvoya göre hızını düşünün. Konvoya yetişirken hız farkını, geri dönerken hız toplamını kullanmalısınız.
2
Aracın konvoyun önüne gitme süresi t1=L/(Va−Vk)t_1 = L / (V_a - V_k) ve arkaya dönme süresi t2=L/(Va+Vk)t_2 = L / (V_a + V_k) şeklindedir.
3
Toplam süre (t1+t2t_1 + t_2), konvoyun LL yolunu alma süresine (L/VkL/V_k) eşittir. Bu eşitliği kurup Va/VkV_a/V_k oranını çekin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, akıntıya karşı ve akıntı yönünde yüzme sorularını inceleyebilirsiniz; matematiksel model birebir aynıdır.

Alternatif Yöntem

Yere göre hızlarla çözüm: Araç öne giderken aldığı yol x1x_1, konvoyun aldığı yol y1y_1. x1=y1+Lx_1 = y_1 + L. Dönüşte araç x2x_2, konvoy y2y_2 yol alır. x2=L−y2x_2 = L - y_2. Bu denklemler karmaşık olacağı için bağıl hız yöntemi çok daha pratiktir.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Hareket Problemleri

Bu konudan daha fazla soru