Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Aşağıdaki şekilde, [BC][BC] kenarı ortak olan ABCABC ve DBCDBC üçgenleri verilmiştir.

Üçgenlere ait kenar uzunlukları ve açı bilgileri şöyledir:
* ∣AB∣=6|AB| = 6 cm, ∣AC∣=8|AC| = 8 cm
* ∣DB∣=9|DB| = 9 cm, ∣DC∣=12|DC| = 12 cm
* m(BAC^)>90∘m(\widehat{BAC}) > 90^\circ
* DBCDBC üçgeni çeşitkenar bir üçgendir.

Buna göre, ∣BC∣|BC| uzunluğunun santimetre cinsinden alabileceği tamsayı değerlerinin toplamı kaçtır?

  1. A
    13
  2. 24Cevap
  3. C
    25
  4. D
    36
  5. E
    48

Cevap

∣BC∣|BC| kenarının alabileceği değerler 11 ve 13 olup, toplamları 24'tür.
Soruda verilen iki üçgenin kısıtlamaları ortak çözülmelidir. ABCABC üçgeninde AA açısı geniş (>90∘>90^\circ) olduğundan, Pisagor teoremine referansla ∣BC∣>62+82=10|BC| > \sqrt{6^2+8^2} = 10 olmalıdır. Üçgen eşitsizliğinden ise ∣BC∣<14|BC| < 14 bulunur. DBCDBC üçgeni için ∣BC∣|BC| 3 ile 21 arasında olmalıdır. Kesişim kümesi {11,12,13}\{11, 12, 13\} tamsayılarıdır. Ancak DBCDBC çeşitkenar olduğu için ∣BC∣≠12|BC| \neq 12 (∣DC∣|DC|'ye eşit olamaz) şartı sağlanmalıdır. Kalan değerler 11 ve 13 olup toplamları 24'tür.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeni için üçgen eşitsizliğini ve geniş açı şartını uygula.
Üçgen eşitsizliğinden 8−6<∣BC∣<8+6⇒2<∣BC∣<148-6 < |BC| < 8+6 \Rightarrow 2 < |BC| < 14. Geniş açı (>90∘>90^\circ) şartından ∣BC∣2>62+82⇒∣BC∣2>100⇒∣BC∣>10|BC|^2 > 6^2 + 8^2 \Rightarrow |BC|^2 > 100 \Rightarrow |BC| > 10. Kesişim: 10<∣BC∣<1410 < |BC| < 14.
Bir üçgenin çizilebilmesi için üçgen eşitsizliği sağlanmalı, ayrıca açı şartı kenar uzunluğu alt sınırını belirler.
2
DBCDBC üçgeni için üçgen eşitsizliğini uygula.
12−9<∣BC∣<12+9⇒3<∣BC∣<2112-9 < |BC| < 12+9 \Rightarrow 3 < |BC| < 21.
İkinci üçgenin de oluşabilmesi için kenar uzunlukları bu aralıkta olmalıdır.
3
İki üçgenin şartlarını sağlayan ortak tamsayıları belirle.
Ortak aralık: (10<∣BC∣<14)∩(3<∣BC∣<21)⇒10<∣BC∣<14(10 < |BC| < 14) \cap (3 < |BC| < 21) \Rightarrow 10 < |BC| < 14. Bu aralıktaki tamsayılar: {11,12,13}\{11, 12, 13\}.
∣BC∣|BC| her iki üçgenin de ortak kenarı olduğu için her iki kısıtlamayı da sağlamalıdır.
4
DBCDBC üçgeninin çeşitkenar olma şartını kontrol et ve değerleri topla.
DBCDBC kenarları: 9, 12 ve ∣BC∣|BC|. Çeşitkenar olması için ∣BC∣≠9|BC| \neq 9 ve ∣BC∣≠12|BC| \neq 12 olmalıdır. Aday kümesinden {11,12,13}\{11, 12, 13\} 12 elenir. Kalanlar: 11 ve 13. Toplam: 11+13=2411 + 13 = 24.
Soruda DBCDBC üçgeninin çeşitkenar olduğu belirtilmiştir, bu nedenle ikizkenar yapan değerler çıkarılmalıdır.

Anahtar Kavram

Üçgen Eşitsizliği ve Açı-Kenar Bağıntıları

İpuçları

1
Önce her iki üçgen için ayrı ayrı üçgen eşitsizliğini (∣b−c∣<a<b+c|b-c| < a < b+c) yazarak ∣BC∣|BC|'nin aralığını bulun.
2
m(BAC^)>90∘m(\widehat{BAC}) > 90^\circ şartı, ∣BC∣|BC| kenarının uzunluğu için bir alt sınır belirler (a2>b2+c2a^2 > b^2 + c^2). Bunu ABCABC üçgeni için uygulayın.
3
Bulduğunuz tamsayı adayları arasından, DBCDBC üçgenini 'ikizkenar' yapacak olan değeri eleyin (soru 'çeşitkenar' diyor).

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'dar açı' şartı ile çözmeyi deneyin.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bu konudan daha fazla soru