Examkin

Soru

Zorluk: ZorAnalitik Geometri

Analitik düzlemde, A(5,0)A(5, 0) noktasının d:2x−y=0d: 2x - y = 0 doğrusuna göre simetriği BB noktasıdır.

Buna göre; köşeleri orijin, AA ve BB noktaları olan OABOAB üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    5
  2. 10Cevap
  3. C
    12,5
  4. D
    20
  5. E
    25

Cevap

10 birimkare
A(5,0) noktasının y=2x doğrusuna göre simetriği B(-3,4) olarak bulunur. O(0,0), A(5,0) ve B(-3,4) noktaları ile oluşturulan üçgenin tabanı x ekseni üzerinde 5 birim, yüksekliği ise B noktasının y eksenine izdüşümü olan 4 birimdir. Alan formülü uygulandığında sonuç 10 birimkare çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen doğrunun eğimi bulunur.
2x−y=0⇒y=2x2x - y = 0 \Rightarrow y = 2x olduğundan eğim md=2m_d = 2 olur.
Simetri işlemi için dik doğrunun eğimini bulmak gereklidir.
2
A noktasından geçen ve d doğrusuna dik olan doğrunun denklemi yazılır.
Dik doğruların eğimleri çarpımı -1'dir (md⋅mdik=−1m_d \cdot m_{dik} = -1). 2⋅mdik=−1⇒mdik=−1/22 \cdot m_{dik} = -1 \Rightarrow m_{dik} = -1/2. A(5,0) noktasından geçen denklem: y−0=−12(x−5)⇒2y=−x+5⇒x+2y=5y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 5) \Rightarrow 2y = -x + 5 \Rightarrow x + 2y = 5.
Simetri noktası bu dik doğru üzerinde yer alır.
3
İki doğrunun kesişim noktası (K) bulunur.
y=2xy = 2x ve x+2y=5x + 2y = 5 sisteminden: x+2(2x)=5⇒5x=5⇒x=1x + 2(2x) = 5 \Rightarrow 5x = 5 \Rightarrow x = 1. y=2(1)=2y = 2(1) = 2. Kesişim noktası K(1,2)K(1, 2)'dir.
Kesişim noktası, A noktası ile simetriği olan B noktasının orta noktasıdır.
4
Orta nokta formülü ile B noktasının koordinatları bulunur.
K(1, 2) noktası A(5, 0) ve B(x, y)'nin ortasıdır. 5+x2=1⇒x=−3\frac{5+x}{2}=1 \Rightarrow x=-3 ve 0+y2=2⇒y=4\frac{0+y}{2}=2 \Rightarrow y=4. Böylece B(−3,4)B(-3, 4) bulunur.
B noktası, A'nın K'ya göre yansımasıdır.
5
OAB üçgeninin alanı hesaplanır.
Köşeler: O(0,0)O(0,0), A(5,0)A(5,0), B(−3,4)B(-3,4). Taban ∣OA∣=5|OA| = 5 birim (x ekseni üzerinde). Yükseklik B'nin ordinatının mutlak değeri ∣4∣=4|4| = 4 birim. Alan = 5⋅42=10\frac{5 \cdot 4}{2} = 10 birimkare.
Üçgenin alanı taban ×\times yükseklik / 2 formülü ile bulunur.

Anahtar Kavram

Noktanın Doğruya Göre Simetriği

İpuçları

1
Bir noktanın bir doğruya göre simetriğini bulmak için, önce noktadan geçen ve o doğruya dik olan doğrunun denklemini bulmalısınız.
2
Verilen y=2xy=2x doğrusuna dik olan doğrunun eğimi −1/2-1/2 olmalıdır. Bu iki doğrunun kesişim noktası, A noktası ile B noktasının orta noktasıdır.
3
Orta nokta K(1,2) bulunduktan sonra, A(5,0) noktasına göre simetrik B(-3,4) noktasını bulun. Son olarak tabanı 5 ve yüksekliği 4 olan üçgenin alanını hesaplayın.

Alternatif Yöntem

Determinant (Sarrus) yöntemi ile alan hesabı: Köşeler (0,0), (5,0), (-3,4) matrise yazılır. 1/2∣(0⋅0+5⋅4+(−3)⋅0)−(0⋅5+0⋅(−3)+4⋅0)∣=1/2∣20−0∣=101/2 |(0\cdot0 + 5\cdot4 + (-3)\cdot0) - (0\cdot5 + 0\cdot(-3) + 4\cdot0)| = 1/2 |20 - 0| = 10.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Analitik Geometri

Bu konudan daha fazla soru