Examkin

Soru

Zorluk: ZorFonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\} ve B={0,1,2,3,4,5}B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} kümeleri veriliyor.

AA'dan BB'ye tanımlı ff fonksiyonunun birebir olduğu bilinmektedir.

Buna göre, f(1)⋅f(2)f(1) \cdot f(2) çarpımının tek sayı olduğu kaç farklı ff fonksiyonu tanımlanabilir?

  1. A
    18
  2. 24Cevap
  3. C
    36
  4. D
    96
  5. E
    120

Cevap

Şartı sağlayan 24 farklı birebir fonksiyon vardır.
Birebir fonksiyon tanımı gereği her eleman farklı bir yere gitmelidir. Çarpımın tek olması için f(1)f(1) ve f(2)f(2)'nin her ikisi de tek sayı olmalıdır (BB kümesindeki {1,3,5}\{1, 3, 5\} elemanlarından seçilmelidir). Bu iki değer için 3×2=63 \times 2 = 6 farklı durum vardır. Geriye kalan f(3)f(3) değeri için, BB kümesindeki kullanılmayan 4 elemandan biri seçilebilir. Toplamda 6×4=246 \times 4 = 24 farklı fonksiyon tanımlanabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpım koşulunu analiz et
f(1)⋅f(2)f(1) \cdot f(2) çarpımının tek sayı olması için, hem f(1)f(1) hem de f(2)f(2) tek sayı olmalıdır.
İki tam sayının çarpımı yalnızca her iki çarpan da tek ise tek sayıdır.
2
Görüntü kümesindeki uygun elemanları belirle
B={0,1,2,3,4,5}B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} kümesindeki tek sayılar {1,3,5}\{1, 3, 5\} kümesidir (3 eleman).
Fonksiyonun alabileceği tek sayı değerleri bunlardır.
3
f(1)f(1) ve f(2)f(2) için seçim sayısını hesapla
ff birebir olduğu için f(1)f(1) ve f(2)f(2) farklı olmalıdır. 3 tek sayıdan 2'si seçilip sıralanır: P(3,2)=3×2=6P(3, 2) = 3 \times 2 = 6 farklı seçim.
Permütasyon kuralı uygulanır.
4
f(3)f(3) için kalan seçenekleri hesapla
BB kümesinde toplam 6 eleman vardır. 2 tanesi f(1)f(1) ve f(2)f(2) için kullanıldı. Geriye 6−2=46 - 2 = 4 eleman kalır.
Birebir fonksiyon tanımı gereği, kullanılan elemanlar tekrar kullanılamaz.
5
Toplam fonksiyon sayısını bul
6×4=246 \times 4 = 24 fonksiyon.
Çarpma kuralı (saymanın temel ilkesi) uygulanır.

Anahtar Kavram

Birebir fonksiyonlarda her tanım kümesi elemanı farklı bir görüntüye gitmelidir. Belirli koşullar (tek/çift gibi) alt kümeler üzerinde permütasyon hesabı gerektirir.

İpuçları

1
İki sayının çarpımının tek sayı olması için, bu sayıların her ikisinin de tek sayı olması gerekir.
2
BB kümesindeki tek sayıları belirleyin ve f(1)f(1) ile f(2)f(2)'nin sadece bu değerleri alabileceğini düşünün. Fonksiyon birebir olduğu için bu değerler birbirinden farklı olmalıdır.
3
f(1)f(1) ve f(2)f(2) için BB'deki 3 tek sayıdan 2'sini seçip sıralayın (3×23 \times 2). Ardından f(3)f(3) için BB'de kalan (tek veya çift fark etmez) 4 elemandan birini seçin.

Daha Fazla Pratik

Benzer kümelerle, f(1)<f(2)f(1) < f(2) şartını sağlayan kaç fonksiyon olduğunu sorarak sıralama mantığını pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Tüm durumlar üzerinden gitmek yerine kombinasyon ile düşünün: f(1)f(1) ve f(2)f(2) için 3 tek sayıdan 2'si seçilir (C(3,2)=3C(3,2)=3). Bu iki sayı kendi arasında yer değiştirir (2!2!). f(3)f(3) için kalan 4 sayıdan 1'i seçilir (C(4,1)=4C(4,1)=4). Sonuç: 3×2×4=243 \times 2 \times 4 = 24.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

Bu konudan daha fazla soru