x \neq \pm 2 ve x \neq 0 olmak üzere, \frac{x^3 - 8}{x^2 + 2x + 4} : \frac{x^2 - 4}{x^2 + … — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

x \neq \pm 2

x \neq 0

olmak üzere,

\frac{x^3 - 8}{x^2 + 2x + 4} : \frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x}

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

İfadenin en sade hali x'tir.

Verilen rasyonel ifadede öncelikle özdeşlikler kullanılarak çarpanlara ayırma işlemi yapılır. İlk kesirde iki küp farkı (

x^3-2^3

) açılarak paydadaki ifadeyle sadeleştirilir ve

(x-2)

elde edilir. İkinci kesirde iki kare farkı ve ortak çarpan parantezi kullanılarak sadeleştirme yapılır ve

\frac{x-2}{x}

elde edilir. Son olarak, bölme işlemi çarpma işlemine dönüştürülür:

(x-2) \cdot \frac{x}{x-2}

. Buradan

(x-2)

terimleri sadeleşir ve geriye sadece

x

kalır.

İlk kesrin payındaki

x^3 - 8

ifadesi iki küp farkı özdeşliği (

a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)

) kullanılarak çarpanlarına ayrılır.

x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)

Küp açılımı özdeşliğinin uygulanması.

İlk kesirdeki sadeleştirme işlemi yapılır.

\frac{(x-2)(x^2 + 2x + 4)}{x^2 + 2x + 4} = x - 2

Pay ve paydadaki ortak çarpan olan

(x^2 + 2x + 4)

ifadeleri sadeleşir.

İkinci kesrin payı iki kare farkı (

x^2 - 4 = (x-2)(x+2)

), paydası ise ortak çarpan parantezi (

x^2 + 2x = x(x+2)

) ile çarpanlarına ayrılır.

\frac{(x-2)(x+2)}{x(x+2)} = \frac{x-2}{x}

İki kare farkı ve ortak çarpan parantezine alma yöntemleri uygulanır ve

(x+2)

çarpanları sadeleşir.

Elde edilen sonuçlarla bölme işlemi yapılır. Bölme işlemi, ikinci ifadenin çarpmaya göre tersi ile çarpılması anlamına gelir.

(x - 2) : \frac{x-2}{x} = (x - 2) \cdot \frac{x}{x - 2}

Rasyonel ifadelerde bölme işlemi kuralı.

Son sadeleştirme yapılarak sonuç bulunur.

x

(x-2)

çarpanları birbirini götürür.

Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi ve Özdeşlikler (İki Küp Farkı, İki Kare Farkı)

Soru