Examkin

Soru

Zorluk: ZorŞekil Yeteneği ve Küp Sayma

Aşağıdaki şekilde, bir ayrıtı 4 birim olan ve birim küplerden oluşturulmuş büyük bir küp verilmiştir. Bu küpün karşılıklı yüzeylerinin tam ortasından, yüzeylere dik olacak şekilde ve kesiti 2×22 \times 2 birim kare olan boydan boya tüneller açılıyor.

Tünellerin oluşturulması sırasında yerinden çıkarılan tüm birim küpler atıldığına göre, geriye kalan cisim toplam kaç birim küpten oluşmaktadır?

  1. A
    16
  2. B
    24
  3. 32Cevap
  4. D
    40
  5. E
    48

Cevap

Geriye 32 birim küp kalır.
Büyük küp 4×4×4=644 \times 4 \times 4 = 64 birim küpten oluşur. 2×22 \times 2 boyutundaki tüneller merkezden geçer. Bu tünellerin dışında kalan (yani kesilip atılmayan) küpler şunlardır: Küpün 8 köşesi ve her bir ayrıtın ortasındaki 2'şer küp. Toplam 12 ayrıt vardır, yani 12×2=2412 \times 2 = 24 kenar küpü kalır. Köşelerle birlikte: 8+24=328 + 24 = 32 küp kalır. Diğer bir deyişle, çıkarılan kısım (tünellerin birleşimi) 32 birim küptür, geriye kalan da 32 birim küptür.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam küp sayısını hesapla.
4×4×4=644 \times 4 \times 4 = 64 birim küp.
Başlangıçtaki küpün hacmini bulmak için.
2
Açılan tünellerin özelliklerini ve kesişimlerini analiz et.
3 farklı eksenden 2×22 \times 2 boyutunda tüneller açılmaktadır. Bu tüneller küpün tam merkezinde 2×2×22 \times 2 \times 2 boyutunda ortak bir boşluk oluşturur.
Çıkarılan parçaları doğru modellemek için.
3
Kalan parçaları hesapla (Kabuk yöntemi).
Dıştaki kabuktan yüzey merkezleri çıkarılır: 64−(8 ko¨s¸e+24 kenar+24 yu¨zey merkezi+8 ic¸ merkez)64 - (8 \text{ köşe} + 24 \text{ kenar} + 24 \text{ yüzey merkezi} + 8 \text{ iç merkez}). Ancak daha basitçe: Tünellerin dışında kalanlar sadece 8 köşe küpü ve 12 ayrıtın her birindeki 2 orta küptür (Toplam 24).
Alternatif doğrulama için.
4
Kesişim kümesi formülü ile sağlamasını yap.
Bir tünel hacmi: 2×2×4=162 \times 2 \times 4 = 16. Üç tünel toplamı (ayrık varsayılırsa): 4848. Kesişim (Merkez küp bloğu): 2×2×2=82 \times 2 \times 2 = 8. Formül: Toplam Hacim - (Tünel 1 + Tünel 2 + Tünel 3 - 2 \times Kesişim). Çıkarılan = 16+16+16−2(8)−2(8)+...16 + 16 + 16 - 2(8) - 2(8) + ... Hayır, Birleşim Formülü: N(A∪B∪C)=16+16+16−(8+8+8)+8=32N(A \cup B \cup C) = 16+16+16 - (8+8+8) + 8 = 32 çıkarılan küp.
Matematiksel kesinlik için.
5
Sonucu bul.
64−32=3264 - 32 = 32 kalan küp.
Nihai cevap.

Anahtar Kavram

Hacim ve Kesişim Prensibi

İpuçları

1
Tünellerin küpün tam merkezinde kesiştiğini ve bu bölgenin boşluk olduğunu unutmayın.
2
Tünellerden etkilenmeyen (hiç dokunulmayan) küpler sadece en dıştaki köşeler ve ayrıtların orta kısımlarıdır.
3
Bir tünel 2×2×4=162 \times 2 \times 4 = 16 küp içerir. Ancak üç tünel de merkezdeki 2×2×2=82 \times 2 \times 2 = 8 küplük bloğu paylaşır. Kümelerdeki birleşim formülünü (A ∪ B ∪ C) hatırlayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 5×5×55 \times 5 \times 5 küp ve 1×11 \times 1 tüneller için deneyin.

Alternatif Yöntem

Sadece 'kurtulan' küpleri sayabilirsiniz: Küpün 8 köşesi tünellerden uzaktır. Ayrıca 12 ayrıtın her birinde, köşeler arasındaki 2 küp de tünellere denk gelmez. 8+(12×2)=328 + (12 \times 2) = 32.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Şekil Yeteneği ve Küp Sayma

Bu konudan daha fazla soru