Examkin

Soru

Zorluk: ZorDörtgenler

ABCD bir paralelkenardır. E noktası [DC] kenarının orta noktasıdır. F noktası [BC] kenarı üzerinde olup ∣BF∣=2∣FC∣|BF| = 2|FC| eşitliğini sağlamaktadır. [AF] ve [BE] doğru parçaları K noktasında kesişmektedir.

Alan(ABCD) = 120 cm2\text{cm}^2 olduğuna göre, Alan(ABK) kaç cm2\text{cm}^2 dir?

  1. A
    20
  2. B
    24
  3. 30Cevap
  4. D
    40
  5. E
    60

Cevap

Alan(ABK) 30 cm2\text{cm}^2 olarak bulunur.
Doğru cevap, kelebek benzerliği kurularak K noktasının [BE] doğru parçasının orta noktası olduğunun ispatlanmasıyla bulunur. Paralelkenarın toplam alanı 120 ise, tabanı [AB] ve tepe noktası [DC] üzerinde olan ABE üçgeninin alanı 60'tır. K noktası bu üçgenin kenarortayı üzerinde olduğundan ve benzerlikten dolayı orta nokta olduğu anlaşıldığından, ABK üçgeninin alanı 60'ın yarısı olan 30 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Paralelkenar özelliklerinden Alan(ABE) değerini belirle.
Alan(ABE) = Alan(ABCD) / 2 = 120 / 2 = 60 cm2\text{cm}^2. (Tabanı paralelkenarla aynı doğrultuda, tepe noktası karşı kenarda olduğu için)
Paralelkenarda tabanı bir kenar, tepe noktası karşı kenar üzerinde olan üçgenin alanı tüm alanın yarısıdır.
2
Benzerlik oranını bulmak için [AF] doğrusunu uzatıp [DC] doğrusunun uzantısı ile G noktasında kesiştir.
Oluşan "Kelebek" (Kum saati) benzerliklerini incele.
K noktasının [BE] üzerindeki konumunu belirlemek için kelebek benzerliğine ihtiyaç vardır.
3
ΔABF∼ΔGCF\Delta ABF \sim \Delta GCF benzerliğini kullan.
∣BF∣/∣FC∣=2|BF|/|FC| = 2 olduğundan ∣AB∣/∣CG∣=2|AB|/|CG| = 2 bulunur. Yani ∣CG∣=∣AB∣/2|CG| = |AB|/2. EE orta nokta olduğundan ∣DE∣=∣EC∣=∣AB∣/2|DE|=|EC|=|AB|/2. Böylece ∣EG∣=∣EC∣+∣CG∣=∣AB∣/2+∣AB∣/2=∣AB∣|EG| = |EC| + |CG| = |AB|/2 + |AB|/2 = |AB| olur.
Benzerlik oranı kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi verir.
4
ΔABK∼ΔGEK\Delta ABK \sim \Delta GEK benzerliğini kullanarak K noktasının konumunu bul.
∣AB∣=∣EG∣|AB| = |EG| olduğu için benzerlik oranı 1'dir. Bu durumda K noktası [BE]'nin orta noktasıdır (∣BK∣=∣KE∣|BK|=|KE|).
Tabanları eşit olan benzer üçgenlerin benzerlik oranı 1'dir, yani eş üçgenlerdir.
5
Alan(ABK) değerini hesapla.
K orta nokta olduğuna göre Alan(ABK) = Alan(ABE) / 2 = 60 / 2 = 30 cm2\text{cm}^2.
Kenarortay üçgenin alanını iki eşit parçaya böler.

Anahtar Kavram

Paralelkenarda Alan Paylaşımı ve Kelebek Benzerliği
Bu soruyu puanla

Konular

Dörtgenler

Bu konudan daha fazla soru