Examkin

Soru

Zorluk: ZorGini Katsayısı ve Hesaplanması

Bir ekonomideki kişisel gelir dağılımını temsil eden Lorenz eğrisi, kümülatif nüfus payı xx (0≤x≤10 \leq x \leq 1) olmak üzere L(x)=12(x2+x3)L(x) = \frac{1}{2}(x^2 + x^3) fonksiyonu ile ifade edilmektedir. Bu bilgilere göre, söz konusu ekonomideki gelir dağılımı eşitsizliğini ölçen Gini katsayısı kaçtır?

  1. A
    524\frac{5}{24}
  2. 512\frac{5}{12}Cevap
  3. C
    712\frac{7}{12}
  4. D
    13\frac{1}{3}
  5. E
    16\frac{1}{6}

Cevap

Verilen Lorenz eğrisi fonksiyonu kullanılarak hesaplanan Gini katsayısı 5/125/12'dir.
Doğru yanıt olan 5/12 değeri, Lorenz eğrisi fonksiyonunun integralinin alınıp G=1−2∫L(x)dxG = 1 - 2\int L(x) dx formülünde yerine konulmasıyla elde edilir. Yapılan işlemde 1/2(x2+x3)1/2(x^2 + x^3) ifadesinin integrali 7/247/24 bulunmuş, bu değerin iki katı olan 7/127/12 ise tam eşitlikten çıkarılarak eşitsizlik katsayısına ulaşılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Gini katsayısı formülünü belirle.
G=2∫01(x−L(x))dxG = 2 \int_{0}^{1} (x - L(x)) dx veya G=1−2∫01L(x)dxG = 1 - 2 \int_{0}^{1} L(x) dx
Gini katsayısı, mutlak eşitlik doğrusu ile Lorenz eğrisi arasındaki alanın toplam üçgen alanına (0,5) oranıdır; bu da 2 ile çarpıma karşılık gelir.
2
Lorenz eğrisi altında kalan alanı (B alanı) hesapla.
∫0112(x2+x3)dx=12[x33+x44]01=12(13+14)=12(712)=724\int_{0}^{1} \frac{1}{2}(x^2 + x^3) dx = \frac{1}{2} [\frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4}]_0^1 = \frac{1}{2} (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} (\frac{7}{12}) = \frac{7}{24}
Fonksiyonun integralini alarak Lorenz eğrisinin altındaki alanı buluruz.
3
Gini katsayısı değerini hesapla.
G=1−2×(724)=1−712=512G = 1 - 2 \times (\frac{7}{24}) = 1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}
B alanının iki katını 1'den çıkararak Gini katsayısına ulaşırız.

Anahtar Kavram

Gini katsayısı, Lorenz eğrisi ile mutlak eşitlik doğrusu arasındaki alanın matematiksel olarak integrali alınarak hesaplanmasıdır.

İpuçları

1
Gini katsayısını hesaplamak için Lorenz eğrisi ile y=xy=x doğrusu arasındaki alanı bulup ikiyle çarpmanız gerektiğini hatırlayın.
2
İntegrali alırken katsayı olan 1/21/2 değerini parantez dışına alarak x2x^2 ve x3x^3 ifadelerinin integrallerini ayrı ayrı hesaplayabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Farklı Lorenz eğrisi fonksiyonları (örneğin L(x)=xnL(x) = x^n) için nn değeri büyüdükçe Gini katsayısının nasıl değiştiğini analiz edebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Gini Katsayısı ve Hesaplanması

Bu konudan daha fazla soru