Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bir yenilenebilir enerji uzmanı, belirli bir bölgedeki rüzgâr türbinlerinin arızasız çalışma sürelerini (ay cinsinden) incelemektedir. Birbirinden bağımsız nn adet türbinin arızasız çalışma süreleri X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele değişkenleri ile modellenmiş olup, bu değişkenlerin (0,θ)(0, \theta) aralığında sürekli düzgün (uniform) dağılıma sahip olduğu bilinmektedir. Burada θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametredir.

Uzman, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni (Neyman Factorization Theorem) kullanarak θ\theta parametresi için bir yeterli (sufficient) istatistik belirlemek istemektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi θ\theta parametresi için bir yeterli istatistiktir?

  1. Örneklemdeki en büyük gözlem değeri olan X(n)X_{(n)}Cevap
  2. B
    Örneklem ortalaması olan Xˉ\bar{X}
  3. C
    Düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edici (UMVUE) olan n+1nX(n)\frac{n+1}{n} X_{(n)}
  4. D
    Örneklemdeki en küçük gözlem değeri olan X(1)X_{(1)}
  5. E
    Gözlem değerlerinin toplamı olan ∑i=1nXi\sum_{i=1}^{n} X_i

Cevap

θ\theta parametresi için yeterli istatistik, örneklemdeki en büyük gözlem değeri olan X(n)X_{(n)} istatistiğidir.
Düzgün dağılım gibi parametrenin tanım kümesini sınırlandırdığı durumlarda, yeterli istatistik genellikle uç değerlere (sıra istatistiklerine) bağlıdır. Olabilirlik fonksiyonu L(θ∣x)=1θnI(X(n)≤θ)I(X(1)≥0)L(\theta | \mathbf{x}) = \frac{1}{\theta^n} I(X_{(n)} \leq \theta) I(X_{(1)} \geq 0) şeklinde yazıldığında, θ\theta'yı içeren çarpan yalnızca en büyük sıra istatistiği olan X(n)X_{(n)}'i barındırdığından, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi gereği X(n)X_{(n)} yeterli istatistiktir.

Adım Adım Çözüm

1
Dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunu (pdf) yazmak.
f(x;θ)=1θI(0≤x≤θ)f(x; \theta) = \frac{1}{\theta} I(0 \leq x \leq \theta)
Olabilirlik fonksiyonunu oluşturmak için kitle dağılımının matematiksel formuna ihtiyaç vardır. II gösterge (indicator) fonksiyonudur.
2
Örneklem için ortak olasılık yoğunluk (olabilirlik) fonksiyonunu oluşturmak.
L(θ∣x)=∏i=1n1θI(0≤xi≤θ)=1θn∏i=1nI(0≤xi≤θ)L(\theta | \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta} I(0 \leq x_i \leq \theta) = \frac{1}{\theta^n} \prod_{i=1}^{n} I(0 \leq x_i \leq \theta)
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulayabilmek için nn çaplı bağımsız örneklemin ortak dağılımı yazılmalıdır.
3
Gösterge fonksiyonlarının çarpımını sıra istatistikleri cinsinden ifade etmek.
Tüm xix_i'lerin 00 ile θ\theta arasında olması, en küçük değerin 00'dan büyük veya eşit olması ve en büyük değerin θ\theta'dan küçük veya eşit olması demektir: I(0≤x(1))⋅I(x(n)≤θ)I(0 \leq x_{(1)}) \cdot I(x_{(n)} \leq \theta). Böylece L(θ∣x)=1θnI(x(n)≤θ)⋅I(x(1)≥0)L(\theta | \mathbf{x}) = \frac{1}{\theta^n} I(x_{(n)} \leq \theta) \cdot I(x_{(1)} \geq 0) elde edilir.
Parametreye (θ\theta) bağlı sınırları, örneklemin uygun istatistikleriyle (minimum ve maksimum) ayrıştırmak gerekir.
4
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulayarak g(T(x),θ)g(T(x), \theta) ve h(x)h(x) çarpanlarını belirlemek.
g(T(x),θ)=1θnI(x(n)≤θ)g(T(\mathbf{x}), \theta) = \frac{1}{\theta^n} I(x_{(n)} \leq \theta) ve h(x)=I(x(1)≥0)h(\mathbf{x}) = I(x_{(1)} \geq 0). Parametreye bağlı çarpan gg fonksiyonu X(n)X_{(n)} istatistiğini içerdiğinden yeterli istatistik T(x)=X(n)T(\mathbf{x}) = X_{(n)} olur.
Teoreme göre, L(θ∣x)=g(T(x),θ)⋅h(x)L(\theta | \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x}) şeklinde yazılabiliyorsa T(x)T(\mathbf{x}) yeterli istatistiktir.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ve Sıra İstatistikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bu konudan daha fazla soru