Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bir haberleşme mühendisi, kablosuz bir ağdaki sinyal genliklerini modellemek için Rayleigh dağılımından yararlanmaktadır. Sinyal genliklerini temsil eden X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele değişkenlerinin olasılık yoğunluk fonksiyonu, bilinmeyen θ>0\theta > 0 parametresi için aşağıdaki gibidir:

f(x;θ)=xθ2e−x22θ2,x>0f(x; \theta) = \frac{x}{\theta^2} e^{-\frac{x^2}{2\theta^2}}, \quad x > 0

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi kullanılarak elde edilecek θ\theta parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

  1. ∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2Cevap
  2. B
    ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i
  3. C
    ∏i=1nXi\prod_{i=1}^n X_i
  4. D
    max⁡1≤i≤nXi\max_{1 \leq i \leq n} X_i
  5. E
    ∑i=1n(Xi−Xˉ)2\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2

Cevap

∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2 ifadesi θ\theta için yeterli istatistiktir.
Olabilirlik fonksiyonu L(θ)L(\theta) hesaplandığında, üstel ifadenin içinde gözlem değerlerinin karelerinin toplamı (∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2) ve θ\theta parametresi bir arada yer almaktadır. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ndeki g(T,θ)g(T, \theta) fonksiyonu tanımlandığında TT fonksiyonunun ∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2 olduğu açıkça görülmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik fonksiyonunu (L(θ)) oluşturmak
L(θ)=∏i=1nf(xi;θ)=∏i=1n(xiθ2e−xi22θ2)L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \theta) = \prod_{i=1}^n \left( \frac{x_i}{\theta^2} e^{-\frac{x_i^2}{2\theta^2}} \right)
Yeterli istatistiği bulmanın ilk adımı örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu yazmaktır.
2
Olabilirlik fonksiyonunu düzenleyerek çarpımları ayırmak
L(θ)=(∏i=1nxi)1θ2nexp⁡(−12θ2∑i=1nxi2)L(\theta) = \left( \prod_{i=1}^n x_i \right) \frac{1}{\theta^{2n}} \exp\left(-\frac{1}{2\theta^2} \sum_{i=1}^n x_i^2\right)
Neyman çarpanlara ayırma teoremini uygulayabilmek için parametreye bağlı olan ve olmayan terimleri net bir şekilde ayırmak gereklidir.
3
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremine göre fonksiyonu eşleştirmek
Teoreme göre L(θ)=h(x)⋅g(T,θ)L(\theta) = h(x) \cdot g(T, \theta) formatına uydurulursa: h(x)=∏i=1nxih(x) = \prod_{i=1}^n x_i ve g(T,θ)=1θ2nexp⁡(−12θ2∑i=1nxi2)g(T, \theta) = \frac{1}{\theta^{2n}} \exp\left(-\frac{1}{2\theta^2} \sum_{i=1}^n x_i^2\right) olur.
Parametre θ\theta ile sadece veri kümelerinin hangi fonksiyonu (TT) üzerinden ilişkili olduğunu belirlemek içindir. Bu durum yeterli istatistiğin T=∑i=1nXi2T = \sum_{i=1}^n X_i^2 olduğunu gösterir.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bu konudan daha fazla soru