Examkin

Soru

Zorluk: ZorTahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele değişkenler olmak üzere, olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x;θ)={12,θ−1≤x≤θ+10,dig˘er durumlardaf(x; \theta) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & \theta - 1 \le x \le \theta + 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

olan dağılımdan rastgele bir örneklem çekilmiştir.

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Neyman Factorization Theorem) dikkate alındığında, θ\theta parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: X(1)=min⁡(Xi)X_{(1)} = \min(X_i) ve X(n)=max⁡(Xi)X_{(n)} = \max(X_i) sıra istatistiklerini ifade etmektedir.)

  1. A
    X(n)X_{(n)}
  2. B
    Xˉ\bar{X}
  3. C
    X(1)X_{(1)}
  4. D
    X(n)−X(1)X_{(n)} - X_{(1)}
  5. (X(1),X(n))(X_{(1)}, X_{(n)})Cevap

Cevap

Doğru cevap, alt ve üst sınır koşullarını birlikte barındıran (X(1),X(n))(X_{(1)}, X_{(n)}) ortak istatistiğidir.
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre, olabilirlik fonksiyonu L(θ;x)L(\theta; \mathbf{x}) yazıldığında, θ\theta'ya bağlı kısmın indikatör fonksiyonu I(x(n)−1≤θ≤x(1)+1)I(x_{(n)} - 1 \le \theta \le x_{(1)} + 1) şeklinde elde edilir. Bu durum, θ\theta parametresinin var olduğu aralığın hem örneklemin minimum değerine (X(1)X_{(1)}) hem de maksimum değerine (X(n)X_{(n)}) bağlı olarak sınırlandığını gösterir. Bu nedenle, olabilirlik fonksiyonunun θ\theta üzerinden çarpanlarına ayrılabilmesi için her iki istatistiğe de ihtiyaç vardır. Dolayısıyla, θ\theta parametresi hakkında tüm bilgiyi taşıyan yeterli istatistik (X(1),X(n))(X_{(1)}, X_{(n)}) vektörüdür.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklemin ortak olasılık yoğunluk (olabilirlik) fonksiyonunu yazın.
L(θ;x)=∏i=1nf(xi;θ)=(12)n∏i=1nI(θ−1≤xi≤θ+1)L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \theta) = \left(\frac{1}{2}\right)^n \prod_{i=1}^n I(\theta - 1 \le x_i \le \theta + 1)
Yeterli istatistiği bulmak için olabilirlik fonksiyonunun elde edilmesi ve indikatör fonksiyonlarının açıkça yazılması gerekir.
2
İndikatör fonksiyonlarının çarpımını sıra istatistikleri cinsinden tek bir eşitsizlik sistemi olarak ifade edin.
Tüm gözlemler için θ−1≤xi  ⟹  θ−1≤X(1)\theta - 1 \le x_i \implies \theta - 1 \le X_{(1)} ve xi≤θ+1  ⟹  X(n)≤θ+1x_i \le \theta + 1 \implies X_{(n)} \le \theta + 1.
Bir sınırın tüm gözlemler için geçerli olması, alt sınırın örneklem minimumundan küçük eşit, üst sınırın ise örneklem maksimumundan büyük eşit olmasını gerektirir.
3
Elde edilen eşitsizlikleri θ\theta parametresini merkeze alarak yeniden düzenleyin.
X(n)−1≤θ≤X(1)+1X_{(n)} - 1 \le \theta \le X_{(1)} + 1 elde edilir. İndikatör fonksiyonu: I(X(n)−1≤θ≤X(1)+1)I(X_{(n)} - 1 \le \theta \le X_{(1)} + 1) halini alır.
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulamak için fonksiyonun θ\theta'ya bağlı olan g(T(x);θ)g(T(\mathbf{x}); \theta) ve θ\theta'dan bağımsız h(x)h(\mathbf{x}) kısımlarını netleştirmek gerekir.
4
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulayarak yeterli istatistiği belirleyin.
L(θ;x)=(12)nI(X(n)−1≤θ≤X(1)+1)⏟g(T(x);θ)⋅1⏟h(x)L(\theta; \mathbf{x}) = \underbrace{\left(\frac{1}{2}\right)^n I(X_{(n)} - 1 \le \theta \le X_{(1)} + 1)}_{g(T(\mathbf{x}); \theta)} \cdot \underbrace{1}_{h(\mathbf{x})}. Yeterli istatistik (X(1),X(n))(X_{(1)}, X_{(n)})'dir.
Teoreme göre θ\theta'yı içeren ifade, sadece bir T(x)T(\mathbf{x}) istatistiği üzerinden örneğe bağlıysa o istatistik yeterlidir. Burada fonksiyon açıkça örneklemin hem minimumuna hem de maksimumuna ihtiyaç duymaktadır.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ve Düzgün Dağılımda Yeterli İstatistik
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bu konudan daha fazla soru