Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bir araştırmacı, sıfıra göre simetrik olan ve (−θ,θ)(-\theta, \theta) aralığında sürekli üniform dağılıma sahip bir kitleden rastgele seçilen nn birimlik X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n örneklemini incelemektedir. Kitlenin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(x;θ)={12θ,−θ≤x≤θ0,dig˘er durumlardaf(x; \theta) = \begin{cases} \frac{1}{2\theta}, & -\theta \leq x \leq \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi kullanıldığında θ\theta parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

  1. max⁡1≤i≤n∣Xi∣\max_{1 \leq i \leq n} |X_i|Cevap
  2. B
    X(n)X_{(n)}
  3. C
    X(n)−X(1)X_{(n)} - X_{(1)}
  4. D
    Xˉ\bar{X}
  5. E
    ∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2

Cevap

Doğru cevap max⁡1≤i≤n∣Xi∣\max_{1 \leq i \leq n} |X_i| istatistiğidir. Çarpanlara ayırma teoremi uygulandığında, tüm örneklemin [−θ,θ][-\theta, \theta] aralığına düşme şartı, mutlak değerce en büyük gözlemin θ\theta'dan küçük veya eşit olması ile ifade edilir.
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi gereği olabilirlik fonksiyonu L(θ;x)=g(T(x),θ)⋅h(x)L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x}) şeklinde yazılmalıdır. U(−θ,θ)U(-\theta, \theta) dağılımında olabilirlik fonksiyonundaki gösterge fonksiyonu −θ≤X(1)-\theta \leq X_{(1)} ve X(n)≤θX_{(n)} \leq \theta şartlarını gerektirir. Bu iki şart, tüm örneklem değerlerinin mutlak değerce θ\theta'dan küçük olmasını, yani max⁡1≤i≤n∣Xi∣≤θ\max_{1 \leq i \leq n} |X_i| \leq \theta olmasını zorunlu kılar. Olabilirlik fonksiyonundaki θ\theta parametresi sadece bu max⁡∣Xi∣\max |X_i| istatistiği üzerinden örnekleme bağlandığı için doğru istatistik budur.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklemin ortak olasılık yoğunluk (olabilirlik) fonksiyonunu yazmak.
L(θ;x)=∏i=1n(12θI[−θ,θ](xi))=(12θ)n∏i=1nI[−θ,θ](xi)L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \left( \frac{1}{2\theta} I_{[-\theta, \theta]}(x_i) \right) = \left(\frac{1}{2\theta}\right)^n \prod_{i=1}^n I_{[-\theta, \theta]}(x_i) elde edilir.
Yeterli istatistiği bulmak için Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'nin temelini oluşturan olabilirlik fonksiyonu tanımlanmalıdır.
2
Gösterge (indicator) fonksiyonlarının çarpımını tek bir koşul altında birleştirmek.
Çarpımın 11 olması için tüm ii'ler için −θ≤xi≤θ-\theta \leq x_i \leq \theta olmalıdır. Bu durum x(1)≥−θx_{(1)} \geq -\theta ve x(n)≤θx_{(n)} \leq \theta anlamına gelir.
Parametreye bağlı sınırları olan dağılımlarda yeterli istatistik daima gösterge fonksiyonunun sınırlarından (sıra istatistiklerinden) elde edilir.
3
Sınır koşullarını θ\theta parametresi için ortak bir istatistiğe dönüştürmek.
−x(1)≤θ-x_{(1)} \leq \theta ve x(n)≤θx_{(n)} \leq \theta eşitsizlikleri birleştirildiğinde max⁡(−x(1),x(n))≤θ\max(-x_{(1)}, x_{(n)}) \leq \theta olur. Bu, her bir gözlemin mutlak değerinin θ\theta'dan küçük olması, yani max⁡∣xi∣≤θ\max |x_i| \leq \theta demektir.
Olabilirlik fonksiyonunu g(T(x),θ)⋅h(x)g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x}) biçiminde yazabilmek için θ\theta'yı sınırlayan en dar (tek) istatistiksel ifade bulunmalıdır.
4
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulayarak sonucu belirlemek.
L(θ;x)=(12θ)nI[0,θ](max⁡∣xi∣)⏟g(T(x),θ)⋅1⏟h(x)L(\theta; \mathbf{x}) = \underbrace{\left(\frac{1}{2\theta}\right)^n I_{[0, \theta]}(\max |x_i|)}_{g(T(\mathbf{x}), \theta)} \cdot \underbrace{1}_{h(\mathbf{x})} formunda yazılır. Buradan T(x)=max⁡1≤i≤n∣Xi∣T(\mathbf{x}) = \max_{1 \leq i \leq n} |X_i| yeterli istatistik olarak bulunur.
Teoreme göre, örneklem verisi sadece T(x)T(\mathbf{x}) üzerinden parametre θ\theta ile ilişkiye giriyorsa, T(x)T(\mathbf{x}) parametre için yeterli istatistiktir.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ve Gösterge Fonksiyonları
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bu konudan daha fazla soru