Examkin

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

19 soru

Soru 1Soru →

Bir haberleşme mühendisi, kablosuz bir ağdaki sinyal genliklerini modellemek için Rayleigh dağılımından yararlanmaktadır. Sinyal genliklerini temsil eden X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele değişkenlerinin olasılık yoğunluk fonksiyonu, bilinmeyen θ>0\theta > 0 parametresi için aşağıdaki gibidir:

f(x;θ)=xθ2e−x22θ2,x>0f(x; \theta) = \frac{x}{\theta^2} e^{-\frac{x^2}{2\theta^2}}, \quad x > 0

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi kullanılarak elde edilecek θ\theta parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2

Cevap

∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2 ifadesi θ\theta için yeterli istatistiktir.
Olabilirlik fonksiyonu L(θ)L(\theta) hesaplandığında, üstel ifadenin içinde gözlem değerlerinin karelerinin toplamı (∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2) ve θ\theta parametresi bir arada yer almaktadır. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ndeki g(T,θ)g(T, \theta) fonksiyonu tanımlandığında TT fonksiyonunun ∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2 olduğu açıkça görülmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik fonksiyonunu (L(θ)) oluşturmak
L(θ)=∏i=1nf(xi;θ)=∏i=1n(xiθ2e−xi22θ2)L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \theta) = \prod_{i=1}^n \left( \frac{x_i}{\theta^2} e^{-\frac{x_i^2}{2\theta^2}} \right)
Yeterli istatistiği bulmanın ilk adımı örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu yazmaktır.
2
Olabilirlik fonksiyonunu düzenleyerek çarpımları ayırmak
L(θ)=(∏i=1nxi)1θ2nexp⁡(−12θ2∑i=1nxi2)L(\theta) = \left( \prod_{i=1}^n x_i \right) \frac{1}{\theta^{2n}} \exp\left(-\frac{1}{2\theta^2} \sum_{i=1}^n x_i^2\right)
Neyman çarpanlara ayırma teoremini uygulayabilmek için parametreye bağlı olan ve olmayan terimleri net bir şekilde ayırmak gereklidir.
3
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremine göre fonksiyonu eşleştirmek
Teoreme göre L(θ)=h(x)⋅g(T,θ)L(\theta) = h(x) \cdot g(T, \theta) formatına uydurulursa: h(x)=∏i=1nxih(x) = \prod_{i=1}^n x_i ve g(T,θ)=1θ2nexp⁡(−12θ2∑i=1nxi2)g(T, \theta) = \frac{1}{\theta^{2n}} \exp\left(-\frac{1}{2\theta^2} \sum_{i=1}^n x_i^2\right) olur.
Parametre θ\theta ile sadece veri kümelerinin hangi fonksiyonu (TT) üzerinden ilişkili olduğunu belirlemek içindir. Bu durum yeterli istatistiğin T=∑i=1nXi2T = \sum_{i=1}^n X_i^2 olduğunu gösterir.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi
Soru 2Soru →

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele değişkenler olmak üzere, olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x;θ)={12,θ−1≤x≤θ+10,dig˘er durumlardaf(x; \theta) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & \theta - 1 \le x \le \theta + 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

olan dağılımdan rastgele bir örneklem çekilmiştir.

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Neyman Factorization Theorem) dikkate alındığında, θ\theta parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: X(1)=min⁡(Xi)X_{(1)} = \min(X_i) ve X(n)=max⁡(Xi)X_{(n)} = \max(X_i) sıra istatistiklerini ifade etmektedir.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (X(1),X(n))(X_{(1)}, X_{(n)})

Cevap

Doğru cevap, alt ve üst sınır koşullarını birlikte barındıran (X(1),X(n))(X_{(1)}, X_{(n)}) ortak istatistiğidir.
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre, olabilirlik fonksiyonu L(θ;x)L(\theta; \mathbf{x}) yazıldığında, θ\theta'ya bağlı kısmın indikatör fonksiyonu I(x(n)−1≤θ≤x(1)+1)I(x_{(n)} - 1 \le \theta \le x_{(1)} + 1) şeklinde elde edilir. Bu durum, θ\theta parametresinin var olduğu aralığın hem örneklemin minimum değerine (X(1)X_{(1)}) hem de maksimum değerine (X(n)X_{(n)}) bağlı olarak sınırlandığını gösterir. Bu nedenle, olabilirlik fonksiyonunun θ\theta üzerinden çarpanlarına ayrılabilmesi için her iki istatistiğe de ihtiyaç vardır. Dolayısıyla, θ\theta parametresi hakkında tüm bilgiyi taşıyan yeterli istatistik (X(1),X(n))(X_{(1)}, X_{(n)}) vektörüdür.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklemin ortak olasılık yoğunluk (olabilirlik) fonksiyonunu yazın.
L(θ;x)=∏i=1nf(xi;θ)=(12)n∏i=1nI(θ−1≤xi≤θ+1)L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \theta) = \left(\frac{1}{2}\right)^n \prod_{i=1}^n I(\theta - 1 \le x_i \le \theta + 1)
Yeterli istatistiği bulmak için olabilirlik fonksiyonunun elde edilmesi ve indikatör fonksiyonlarının açıkça yazılması gerekir.
2
İndikatör fonksiyonlarının çarpımını sıra istatistikleri cinsinden tek bir eşitsizlik sistemi olarak ifade edin.
Tüm gözlemler için θ−1≤xi  ⟹  θ−1≤X(1)\theta - 1 \le x_i \implies \theta - 1 \le X_{(1)} ve xi≤θ+1  ⟹  X(n)≤θ+1x_i \le \theta + 1 \implies X_{(n)} \le \theta + 1.
Bir sınırın tüm gözlemler için geçerli olması, alt sınırın örneklem minimumundan küçük eşit, üst sınırın ise örneklem maksimumundan büyük eşit olmasını gerektirir.
3
Elde edilen eşitsizlikleri θ\theta parametresini merkeze alarak yeniden düzenleyin.
X(n)−1≤θ≤X(1)+1X_{(n)} - 1 \le \theta \le X_{(1)} + 1 elde edilir. İndikatör fonksiyonu: I(X(n)−1≤θ≤X(1)+1)I(X_{(n)} - 1 \le \theta \le X_{(1)} + 1) halini alır.
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulamak için fonksiyonun θ\theta'ya bağlı olan g(T(x);θ)g(T(\mathbf{x}); \theta) ve θ\theta'dan bağımsız h(x)h(\mathbf{x}) kısımlarını netleştirmek gerekir.
4
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulayarak yeterli istatistiği belirleyin.
L(θ;x)=(12)nI(X(n)−1≤θ≤X(1)+1)⏟g(T(x);θ)⋅1⏟h(x)L(\theta; \mathbf{x}) = \underbrace{\left(\frac{1}{2}\right)^n I(X_{(n)} - 1 \le \theta \le X_{(1)} + 1)}_{g(T(\mathbf{x}); \theta)} \cdot \underbrace{1}_{h(\mathbf{x})}. Yeterli istatistik (X(1),X(n))(X_{(1)}, X_{(n)})'dir.
Teoreme göre θ\theta'yı içeren ifade, sadece bir T(x)T(\mathbf{x}) istatistiği üzerinden örneğe bağlıysa o istatistik yeterlidir. Burada fonksiyon açıkça örneklemin hem minimumuna hem de maksimumuna ihtiyaç duymaktadır.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ve Düzgün Dağılımda Yeterli İstatistik
Soru 3Soru →

Bir araştırmacı, sıfıra göre simetrik olan ve (−θ,θ)(-\theta, \theta) aralığında sürekli üniform dağılıma sahip bir kitleden rastgele seçilen nn birimlik X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n örneklemini incelemektedir. Kitlenin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(x;θ)={12θ,−θ≤x≤θ0,dig˘er durumlardaf(x; \theta) = \begin{cases} \frac{1}{2\theta}, & -\theta \leq x \leq \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi kullanıldığında θ\theta parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: max⁡1≤i≤n∣Xi∣\max_{1 \leq i \leq n} |X_i|

Cevap

Doğru cevap max⁡1≤i≤n∣Xi∣\max_{1 \leq i \leq n} |X_i| istatistiğidir. Çarpanlara ayırma teoremi uygulandığında, tüm örneklemin [−θ,θ][-\theta, \theta] aralığına düşme şartı, mutlak değerce en büyük gözlemin θ\theta'dan küçük veya eşit olması ile ifade edilir.
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi gereği olabilirlik fonksiyonu L(θ;x)=g(T(x),θ)⋅h(x)L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x}) şeklinde yazılmalıdır. U(−θ,θ)U(-\theta, \theta) dağılımında olabilirlik fonksiyonundaki gösterge fonksiyonu −θ≤X(1)-\theta \leq X_{(1)} ve X(n)≤θX_{(n)} \leq \theta şartlarını gerektirir. Bu iki şart, tüm örneklem değerlerinin mutlak değerce θ\theta'dan küçük olmasını, yani max⁡1≤i≤n∣Xi∣≤θ\max_{1 \leq i \leq n} |X_i| \leq \theta olmasını zorunlu kılar. Olabilirlik fonksiyonundaki θ\theta parametresi sadece bu max⁡∣Xi∣\max |X_i| istatistiği üzerinden örnekleme bağlandığı için doğru istatistik budur.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklemin ortak olasılık yoğunluk (olabilirlik) fonksiyonunu yazmak.
L(θ;x)=∏i=1n(12θI[−θ,θ](xi))=(12θ)n∏i=1nI[−θ,θ](xi)L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \left( \frac{1}{2\theta} I_{[-\theta, \theta]}(x_i) \right) = \left(\frac{1}{2\theta}\right)^n \prod_{i=1}^n I_{[-\theta, \theta]}(x_i) elde edilir.
Yeterli istatistiği bulmak için Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'nin temelini oluşturan olabilirlik fonksiyonu tanımlanmalıdır.
2
Gösterge (indicator) fonksiyonlarının çarpımını tek bir koşul altında birleştirmek.
Çarpımın 11 olması için tüm ii'ler için −θ≤xi≤θ-\theta \leq x_i \leq \theta olmalıdır. Bu durum x(1)≥−θx_{(1)} \geq -\theta ve x(n)≤θx_{(n)} \leq \theta anlamına gelir.
Parametreye bağlı sınırları olan dağılımlarda yeterli istatistik daima gösterge fonksiyonunun sınırlarından (sıra istatistiklerinden) elde edilir.
3
Sınır koşullarını θ\theta parametresi için ortak bir istatistiğe dönüştürmek.
−x(1)≤θ-x_{(1)} \leq \theta ve x(n)≤θx_{(n)} \leq \theta eşitsizlikleri birleştirildiğinde max⁡(−x(1),x(n))≤θ\max(-x_{(1)}, x_{(n)}) \leq \theta olur. Bu, her bir gözlemin mutlak değerinin θ\theta'dan küçük olması, yani max⁡∣xi∣≤θ\max |x_i| \leq \theta demektir.
Olabilirlik fonksiyonunu g(T(x),θ)⋅h(x)g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x}) biçiminde yazabilmek için θ\theta'yı sınırlayan en dar (tek) istatistiksel ifade bulunmalıdır.
4
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulayarak sonucu belirlemek.
L(θ;x)=(12θ)nI[0,θ](max⁡∣xi∣)⏟g(T(x),θ)⋅1⏟h(x)L(\theta; \mathbf{x}) = \underbrace{\left(\frac{1}{2\theta}\right)^n I_{[0, \theta]}(\max |x_i|)}_{g(T(\mathbf{x}), \theta)} \cdot \underbrace{1}_{h(\mathbf{x})} formunda yazılır. Buradan T(x)=max⁡1≤i≤n∣Xi∣T(\mathbf{x}) = \max_{1 \leq i \leq n} |X_i| yeterli istatistik olarak bulunur.
Teoreme göre, örneklem verisi sadece T(x)T(\mathbf{x}) üzerinden parametre θ\theta ile ilişkiye giriyorsa, T(x)T(\mathbf{x}) parametre için yeterli istatistiktir.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ve Gösterge Fonksiyonları
Soru 4Soru →

Bir rüzgâr enerjisi santralinde, türbin kanatlarında oluşan mikro çatlakların kritik boyuta ulaşma süresi (yıl cinsinden) XX rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Bir araştırmacı, bu sürenin olasılık yoğunluk fonksiyonunun aşağıdaki gibi olduğunu belirlemiştir:

f(x;θ)=3x2θ3e−(x/θ)3,x>0f(x; \theta) = \frac{3x^2}{\theta^3} e^{-(x/\theta)^3}, \quad x > 0

Burada θ>0\theta > 0, malzemenin direncini ifade eden bilinmeyen bir parametredir.

Araştırmacı, nn adet türbinden bağımsız olarak elde edilen X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele örneklemini kullanarak θ\theta parametresi için Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Neyman Factorization Theorem) yardımıyla bir yeterli istatistik elde etmek istemektedir.

Buna göre, θ\theta parametresi için yeterli istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∑i=1nXi3\sum_{i=1}^n X_i^3

Cevap

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre θ\theta parametresi için yeterli istatistik ∑i=1nXi3\sum_{i=1}^n X_i^3 fonksiyonudur.
Olabilirlik fonksiyonu (likelihood function) oluşturulup Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uygulandığında, örneklem ile bilinmeyen θ\theta parametresinin birlikte yer aldığı tek çarpan exp⁡(−1θ3∑i=1nxi3)\exp\left( -\frac{1}{\theta^3} \sum_{i=1}^n x_i^3 \right) kısmıdır. Bu ifadede örnekleme ait veriler sadece ∑i=1nXi3\sum_{i=1}^n X_i^3 formu üzerinden parametre ile etkileşime girdiği için, θ\theta parametresine ait yeterli istatistik budur.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu (olabilirlik fonksiyonu) oluşturun.
L(θ;x)=∏i=1n(3xi2θ3e−(xi/θ)3)L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \left( \frac{3x_i^2}{\theta^3} e^{-(x_i/\theta)^3} \right)
Yeterli istatistiği bulmanın ilk adımı tüm örneklemin aynı anda gerçekleşme olasılığını gösteren ortak dağılımı yazmaktır.
2
Olabilirlik fonksiyonunu matematiksel olarak düzenleyip çarpım sembolünü dağıtın.
L(θ;x)=3n∏i=1nxi2θ3nexp⁡(−∑i=1nxi3θ3)L(\theta; \mathbf{x}) = \frac{3^n \prod_{i=1}^n x_i^2}{\theta^{3n}} \exp\left( -\sum_{i=1}^n \frac{x_i^3}{\theta^3} \right)
Teoremi uygulayabilmek için ifadeyi parametreye bağlı olan ve olmayan kısımlar şeklinde organize etmemiz gerekir.
3
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi kuralını (L(θ;x)=g(T(x),θ)⋅h(x)L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x})) uygulayın.
g(T(x),θ)=1θ3nexp⁡(−1θ3∑i=1nxi3)g(T(\mathbf{x}), \theta) = \frac{1}{\theta^{3n}} \exp\left( -\frac{1}{\theta^3} \sum_{i=1}^n x_i^3 \right) ve h(x)=3n∏i=1nxi2h(\mathbf{x}) = 3^n \prod_{i=1}^n x_i^2 olarak ayrılır.
Parametreyi (θ\theta) içeren kısım gg fonksiyonunu, sadece gözlemleri içeren ve parametreden bağımsız kısım ise hh fonksiyonunu oluşturur. (x>0x>0 şartı da parametreden bağımsız olduğu için hh'nin içindedir.)
4
g(T(x),θ)g(T(\mathbf{x}), \theta) fonksiyonu üzerinden yeterli istatistiği (T(x)T(\mathbf{x})) teşhis edin.
T(x)=∑i=1nXi3T(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n X_i^3 olarak bulunur.
gg fonksiyonu, örneklem değerlerine yalnızca ∑xi3\sum x_i^3 terimi üzerinden bağlıdır. Örneklem istatistiği bilinmeyen parametreyi içeremeyeceği için sadece bu toplam yeterli istatistiktir.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ve Yeterlilik
Soru 5Soru →
Bir finansal risk analisti, belirli bir hisse senedi portföyünün günlük getiri oranlarının standardize edilmiş değerlerini analiz etmektedir. Bu değerlerin X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n bağımsız ve aynı dağılımlı bir rastgele örneklem oluşturduğu ve olasılık yoğunluk fonksiyonunun
f(x;θ)={θxθ−1,0<x<10,dig˘er durumlardaf(x; \theta) = \begin{cases} \theta x^{\theta - 1}, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}
ile verildiği varsayılmaktadır. Burada θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametredir.

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Factorization Theorem) kullanıldığında θ\theta parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∏i=1nXi\prod_{i=1}^n X_i

Cevap

∏i=1nXi\prod_{i=1}^n X_i ifadesi Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre yeterli bir istatistiktir.
Olabilirlik fonksiyonu düzenlendiğinde L(θ)=θn(∏i=1nxi)θ−1L(\theta) = \theta^n (\prod_{i=1}^n x_i)^{\theta - 1} şeklinde elde edilir. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre bu eşitlik, parametreyi barındıran g(T,θ)=θn(∏i=1nxi)θg(T, \theta) = \theta^n (\prod_{i=1}^n x_i)^{\theta} fonksiyonu ve parametreden bağımsız h(x)=(∏i=1nxi)−1h(x) = (\prod_{i=1}^n x_i)^{-1} fonksiyonu olarak iki çarpan halinde ayrıştırılabilir. Parametre θ\theta, gözlem değerlerine sadece ∏i=1nXi\prod_{i=1}^n X_i istatistiği vasıtasıyla bağlandığı için bu ifade yeterli bir istatistiktir.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik (Likelihood) fonksiyonunu kurun.
L(θ)=∏i=1nf(xi;θ)=∏i=1n(θxiθ−1)L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \theta) = \prod_{i=1}^n (\theta x_i^{\theta - 1})
Örneklem birimleri birbirinden bağımsız ve aynı dağılımlı olduğu için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, marjinal fonksiyonların çarpımına eşittir.
2
Çarpım işlemini düzenleyin.
L(θ)=θn(∏i=1nxi)θ−1L(\theta) = \theta^n \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{\theta - 1}
Sabit θ\theta terimi nn kez çarpılarak başa alınır, tabanları aynı olan xix_i terimlerinin üsleri ortak kuvvette toplanır.
3
İfadeyi Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi yapısına (g(t,θ)⋅h(x)g(t, \theta) \cdot h(x)) uygun şekilde dönüştürün.
L(θ)=[θn(∏i=1nxi)θ]⋅[(∏i=1nxi)−1]L(\theta) = \left[ \theta^n \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{\theta} \right] \cdot \left[ \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{-1} \right]
Teoreme göre, olabilirlik fonksiyonu yalnızca parametre ve istatistiğe bağlı gg fonksiyonu ile yalnızca gözlemlere bağlı hh fonksiyonunun çarpımı olarak yazılmalıdır.
4
Yeterli istatistiği (T(X)T(X)) belirleyin.
T(X)=∏i=1nXiT(X) = \prod_{i=1}^n X_i
θ\theta parametresi ile birlikte çalışan gg fonksiyonunun içindeki veriye bağlı terim, rastgele değişkenlerin çarpımıdır.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Factorization Theorem)
Soru 6Soru →

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) veritabanında yer alan hanehalkı aylık tüketim harcamalarının, şekil parametresi α>0\alpha > 0 ve ölçek parametresi β>0\beta > 0 olan Gama dağılımına uyduğu varsayılmaktadır. Gama dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(x;α,β)=1Γ(α)βαxα−1e−x/β,x>0f(x; \alpha, \beta) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha} x^{\alpha-1} e^{-x/\beta}, \quad x > 0

Bu kitleden alınan nn birimlik bağımsız X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n örneklemi kullanılarak θ=(α,β)\boldsymbol{\theta} = (\alpha, \beta) bilinmeyen parametre vektörü tahmin edilmek istenmektedir.

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi dikkate alındığında, (α,β)(\alpha, \beta) parametre vektörü için ortak yeterli (jointly sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (∏i=1nXi,∑i=1nXi)\left( \prod_{i=1}^n X_i, \sum_{i=1}^n X_i \right)

Cevap

Ortak yeterli istatistik, gözlemlerin çarpımı ve toplamından oluşan (∏i=1nXi,∑i=1nXi)(\prod_{i=1}^n X_i, \sum_{i=1}^n X_i) vektörüdür.
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremine göre, olabilirlik fonksiyonu parametrelere ve bir istatistiğe bağlı olan g(T(x)∣θ)g(T(x)|\theta) fonksiyonu ile sadece gözlemlere bağlı olan h(x)h(x) fonksiyonunun çarpımı olarak yazılabiliyorsa, T(x)T(x) yeterli istatistiktir. Gama dağılımı için olabilirlik fonksiyonu düzenlendiğinde parametrelere bağlı kısım hem gözlemlerin çarpımını (∏Xi\prod X_i) hem de gözlemlerin toplamını (∑Xi\sum X_i) içerdiği için, bu iki değer ortak yeterli istatistik vektörünü oluşturur.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik (Likelihood) fonksiyonunu oluşturun.
L(α,β;x)=∏i=1n[1Γ(α)βαxiα−1e−xi/β]L(\alpha, \beta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \left[ \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha} x_i^{\alpha-1} e^{-x_i/\beta} \right]
Yeterli istatistikleri bulmak için gözlemlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun parametrelere göre ifade edilmesi gerekir.
2
Çarpım işlemini dağıtarak olabilirlik fonksiyonunu düzenleyin.
L(α,β;x)=(1Γ(α)βα)n(∏i=1nxi)α−1exp⁡(−1β∑i=1nxi)L(\alpha, \beta; \mathbf{x}) = \left( \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha} \right)^n \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{\alpha-1} \exp\left( -\frac{1}{\beta} \sum_{i=1}^n x_i \right)
Neyman teoremine hazırlık yapmak için parametre içeren terimler ile örneklem değerlerini gruplamak şarttır.
3
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremini (L=g(T(x)∣θ)⋅h(x)L = g(T(\mathbf{x}) | \boldsymbol{\theta}) \cdot h(\mathbf{x})) uygulayın.
g(T,θ)=(1Γ(α)βα)n(∏i=1nxi)α−1exp⁡(−1β∑i=1nxi)g(T, \boldsymbol{\theta}) = \left( \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha} \right)^n \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{\alpha-1} \exp\left( -\frac{1}{\beta} \sum_{i=1}^n x_i \right) ve h(x)=1h(\mathbf{x}) = 1 olarak ayrıştırılır.
Parametrelere (α,β\alpha, \beta) bağlı olan gg fonksiyonunun içindeki örneklem fonksiyonları, aranan ortak yeterli istatistikleri verir. Bu fonksiyonlar ∏Xi\prod X_i ve ∑Xi\sum X_i'dir.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Yeterlilik)
Soru 7Soru →

Bir nükleer fizikçi, belirli bir radyoaktif izotopun bozunma enerjisi seviyelerini (MeV cinsinden) ölçmektedir. Yapılan ölçümleri temsil eden X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele örnekleminin, beklenen değeri θ (θ>0)\theta \ (\theta > 0) ve varyansı θ2\theta^2 olan bir normal dağılımdan geldiği varsayılmaktadır.

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi dikkate alındığında, bilinmeyen θ\theta parametresi için yeterli istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (∑i=1nXi,∑i=1nXi2)\left( \sum_{i=1}^n X_i, \sum_{i=1}^n X_i^2 \right)

Cevap

Doğru cevap, beklenen değer ve varyansın her ikisinin de aynı parametreye bağlı olmasından kaynaklı her iki istatistiksel toplam ifadesini de içeren (∑i=1nXi,∑i=1nXi2)\left( \sum_{i=1}^n X_i, \sum_{i=1}^n X_i^2 \right) vektörüdür.
Olabilirlik fonksiyonu yazıldığında L(θ∣x)=(2π)−n/2θ−nexp⁡(−n2)exp⁡(−12θ2∑i=1nxi2+1θ∑i=1nxi)L(\theta|\mathbf{x}) = (2\pi)^{-n/2} \theta^{-n} \exp(-\frac{n}{2}) \exp\left(-\frac{1}{2\theta^2} \sum_{i=1}^n x_i^2 + \frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n x_i\right) elde edilir. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uyarınca bu fonksiyon g(T(x)∣θ)h(x)g(T(\mathbf{x})|\theta) h(\mathbf{x}) olarak ayrıştırıldığında, θ\theta'ya bağlı gg fonksiyonunun veriye sadece ∑i=1nxi\sum_{i=1}^n x_i ve ∑i=1nxi2\sum_{i=1}^n x_i^2 istatistikleri aracılığıyla bağlı olduğu görülür. Varyans ve beklenen değer aynı bilinmeyen parametreye bağlı olduğu için formüldeki her iki istatistik de zorunlu olarak yeterli istatistiğin birer parçasıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik fonksiyonunu (Likelihood) kurmak
L(θ∣x)=∏i=1n12πθexp⁡(−(xi−θ)22θ2)L(\theta|\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi}\theta} \exp\left( -\frac{(x_i - \theta)^2}{2\theta^2} \right)
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremini uygulayabilmek için öncelikle örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun çarpım olarak yazılması gerekir.
2
Çarpım sembolünü ifadeye dahil edip üstel içindeki kareyi açmak
L(θ∣x)=(2π)−n/2θ−nexp⁡(−12θ2∑i=1n(xi2−2θxi+θ2))L(\theta|\mathbf{x}) = (2\pi)^{-n/2} \theta^{-n} \exp\left( -\frac{1}{2\theta^2} \sum_{i=1}^n (x_i^2 - 2\theta x_i + \theta^2) \right)
Üstel kısımdaki toplamın içindeki tam kare açılımı yapılarak veriye bağlı istatistiklerin izole edilmesi sağlanır.
3
Toplam sembolünü terimlere dağıtarak ifadeyi yeniden düzenlemek
L(θ∣x)=(2π)−n/2θ−nexp⁡(−n2)exp⁡(−12θ2∑i=1nxi2+1θ∑i=1nxi)L(\theta|\mathbf{x}) = (2\pi)^{-n/2} \theta^{-n} \exp\left(-\frac{n}{2}\right) \exp\left( -\frac{1}{2\theta^2} \sum_{i=1}^n x_i^2 + \frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n x_i \right)
Parametreye (θ\theta) bağlı olan terimler ile yalnızca veriye bağlı olan terimleri ayırabilmek ve çarpan formuna getirmek için matematiksel düzenleme yapılır.
4
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi bileşenlerini belirlemek
Fonksiyon g(T(x)∣θ)⋅h(x)g(T(\mathbf{x})|\theta) \cdot h(\mathbf{x}) olarak ayrıldığında, parametreyi içeren gg fonksiyonunda θ\theta'ya eşlik eden veriye bağlı bileşenler T(X)=(∑i=1nXi,∑i=1nXi2)T(\mathbf{X}) = \left( \sum_{i=1}^n X_i, \sum_{i=1}^n X_i^2 \right) olarak tanımlanır. h(x)=(2π)−n/2h(\mathbf{x}) = (2\pi)^{-n/2} olur.
Teoreme göre, olabilirlik fonksiyonu gg (parametre ve istatistiği içeren kısım) ile hh (sadece veriyi içeren kısım) olarak ayrıldığında, gg fonksiyonunun içindeki T(X)T(\mathbf{X}) yeterli istatistik olmalıdır.

Anahtar Kavram

Yeterlilik (Sufficiency) ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 8Soru →

Bir çevre mühendisi, bir göldeki cıva konsantrasyonunu (mikrogram/litre) ölçmektedir. Cıva konsantrasyonu logaritmik olarak normal dağıldığından, rastgele seçilen nn farklı su örneğinden elde edilen ölçümler (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) Log-Normal dağılım ile modellenmiştir. Dağılımın temelini oluşturan varyans değerinin σ2=1\sigma^2 = 1 olduğu bilinmektedir. Olasılık yoğunluk fonksiyonu, bilinmeyen θ\theta parametresi (−∞<θ<∞-\infty < \theta < \infty) için aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x;θ)=1x2πexp⁡(−12(ln⁡x−θ)2),x>0f(x; \theta) = \frac{1}{x \sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{1}{2} (\ln x - \theta)^2\right), \quad x > 0

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Neyman Factorization Theorem) dikkate alındığında, bilinmeyen θ\theta parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∑i=1nln⁡Xi\sum_{i=1}^n \ln X_i

Cevap

θ\theta parametresi için yeterli istatistik ∑i=1nln⁡Xi\sum_{i=1}^n \ln X_i değeridir.
Örneklem için olabilirlik (likelihood) fonksiyonu yazıldığında L(θ;x)=∏i=1n1xi2πexp⁡(−12(ln⁡xi−θ)2)L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{x_i \sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{1}{2} (\ln x_i - \theta)^2\right) elde edilir. Üstel ifade içindeki tam kare açılımı yapılıp terimler düzenlendiğinde fonksiyon; parametreyi ve istatistiği birlikte içeren g(T(x),θ)=exp⁡(θ∑i=1nln⁡xi−nθ22)g(T(\mathbf{x}), \theta) = \exp\left(\theta \sum_{i=1}^n \ln x_i - \frac{n\theta^2}{2}\right) ile sadece gözlemlere bağlı olan h(x)=(2π)−n/2(∏i=1nxi)−1exp⁡(−12∑i=1n(ln⁡xi)2)h(\mathbf{x}) = (2\pi)^{-n/2} \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{-1} \exp\left(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n (\ln x_i)^2\right) fonksiyonlarının çarpımı şeklinde yazılır. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi gereği, gg fonksiyonunun içindeki T(x)=∑i=1nln⁡XiT(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n \ln X_i terimi θ\theta için yeterli (sufficient) istatistiktir.

Adım Adım Çözüm

1
nn çaplı örneklem için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu (olabilirlik fonksiyonunu) yazın.
L(θ;x)=∏i=1n[1xi2πexp⁡(−12(ln⁡xi−θ)2)]L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \left[ \frac{1}{x_i \sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{1}{2} (\ln x_i - \theta)^2\right) \right]
Yeterli istatistiği bulmanın ilk adımı, tüm örneklemin ortak dağılımını temsil eden olabilirlik fonksiyonunu oluşturmaktır.
2
Çarpım sembolünü üstel ifadenin içine toplam olarak geçirin ve tam kare açılımını uygulayın.
L(θ;x)=(2π)−n/2(∏i=1nxi)−1exp⁡(−12∑i=1n((ln⁡xi)2−2θln⁡xi+θ2))L(\theta; \mathbf{x}) = (2\pi)^{-n/2} \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{-1} \exp\left(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \left((\ln x_i)^2 - 2\theta\ln x_i + \theta^2\right)\right)
Neyman teoremini uygulayabilmek için üstel ifadedeki parametre ile gözlem değerlerinin ilişkisini açıkça görmek gereklidir.
3
Fonksiyonu g(T(x),θ)g(T(\mathbf{x}), \theta) ve h(x)h(\mathbf{x}) formunda iki çarpana ayırın.
L(θ;x)=exp⁡(θ∑i=1nln⁡xi−nθ22)⏟g(T(x),θ)⋅(2π)−n/2(∏i=1nxi)−1exp⁡(−12∑i=1n(ln⁡xi)2)⏟h(x)L(\theta; \mathbf{x}) = \underbrace{\exp\left(\theta \sum_{i=1}^n \ln x_i - \frac{n\theta^2}{2}\right)}_{g(T(\mathbf{x}), \theta)} \cdot \underbrace{(2\pi)^{-n/2} \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{-1} \exp\left(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n (\ln x_i)^2\right)}_{h(\mathbf{x})}
Teoreme göre, hem θ\theta'yı hem de istatistiği içeren gg fonksiyonunun içindeki T(x)T(\mathbf{x}) terimi yeterli istatistiktir.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Neyman Factorization Theorem)
Soru 9Soru →

Bir sigorta şirketinin aktüerya departmanı, poliçe sahiplerinin hasar taleplerini incelemektedir. Bir poliçe sahibinin r=4r=4 adet hasar talebinde bulunana kadar geçen ay sayısı XX rassal değişkeni ile modellenmektedir. XX'in olasılık fonksiyonu, pp (0<p<10 < p < 1) herhangi bir ayda hasar talebi gelme olasılığı olmak üzere,

P(X=x;p)=(x−13)p4(1−p)x−4,x=4,5,6,…P(X=x; p) = \binom{x-1}{3} p^4 (1-p)^{x-4}, \quad x = 4, 5, 6, \dots

şeklinde verilmiştir.

Rastgele seçilen nn adet poliçe sahibi için 4. hasar talebine kadar geçen ay sayıları X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n olarak gözlemlenmiştir.

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi dikkate alındığında, pp parametresi için yeterli (süfisan) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i

Cevap

pp parametresi için yeterli istatistik, gözlemlerin toplamı olan ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i'dir.
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre olabilirlik fonksiyonu L(p;x)=g(T(x)∣p)⋅h(x)L(p; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x})|p) \cdot h(\mathbf{x}) şeklinde iki parçaya ayrılır. Örneklem verileri için olabilirlik fonksiyonu düzenlendiğinde parametre pp'yi içeren kısım p4n(1−p)∑Xi−4np^{4n}(1-p)^{\sum X_i - 4n} olarak bulunur. Bu ifade örnekleme yalnızca ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i üzerinden bağlı olduğundan, doğru cevap gözlemlerin toplamını veren istatistiktir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen olasılık fonksiyonunu kullanarak nn birimlik örneklem için olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu yazmak.
L(p;x)=∏i=1n[(xi−13)p4(1−p)xi−4]L(p; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \left[ \binom{x_i-1}{3} p^4 (1-p)^{x_i-4} \right]
Yeterli istatistiği bulmak için öncelikle örneklemin ortak olasılık dağılımını temsil eden olabilirlik fonksiyonuna ihtiyaç vardır.
2
Olabilirlik fonksiyonundaki çarpım işlemini düzenleyerek ifadeyi sadeleştirmek ve üslü ifadeleri toplamak.
L(p;x)=p4n(1−p)∑i=1n(xi−4)∏i=1n(xi−13)=[p4n(1−p)∑i=1nxi−4n]×[∏i=1n(xi−13)]L(p; \mathbf{x}) = p^{4n} (1-p)^{\sum_{i=1}^n (x_i-4)} \prod_{i=1}^n \binom{x_i-1}{3} = \left[ p^{4n} (1-p)^{\sum_{i=1}^n x_i - 4n} \right] \times \left[ \prod_{i=1}^n \binom{x_i-1}{3} \right]
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulayabilmek için parametreyi içeren terimler ile içermeyen terimleri belirgin şekilde ayırmak gerekir.
3
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi kuralını (L=g(T(x)∣p)⋅h(x)L = g(T(\mathbf{x}) | p) \cdot h(\mathbf{x})) uygulamak.
Parametreye bağlı kısım: g(T(x)∣p)=p4n(1−p)∑i=1nxi−4ng(T(\mathbf{x}) | p) = p^{4n} (1-p)^{\sum_{i=1}^n x_i - 4n}
Parametreden bağımsız kısım: h(x)=∏i=1n(xi−13)h(\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \binom{x_i-1}{3}
Teoreme göre, pp'ye bağlı olan gg fonksiyonu, örnekleme yalnızca yeterli istatistik T(x)T(\mathbf{x}) üzerinden bağlı olmalıdır.
4
gg fonksiyonu üzerinden yeterli istatistiği teşhis etmek.
T(x)=∑i=1nXiT(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n X_i
Parametreye bağlı olan gg fonksiyonu incelendiğinde, örneklem verilerinin (gözlemlerin) fonksiyon içinde sadece toplam (∑i=1nxi\sum_{i=1}^n x_i) formunda yer aldığı görülmektedir.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ile Yeterli İstatistik Bulma
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 10Soru →

Bir yenilenebilir enerji uzmanı, belirli bir bölgedeki rüzgâr türbinlerinin arızasız çalışma sürelerini (ay cinsinden) incelemektedir. Birbirinden bağımsız nn adet türbinin arızasız çalışma süreleri X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele değişkenleri ile modellenmiş olup, bu değişkenlerin (0,θ)(0, \theta) aralığında sürekli düzgün (uniform) dağılıma sahip olduğu bilinmektedir. Burada θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametredir.

Uzman, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni (Neyman Factorization Theorem) kullanarak θ\theta parametresi için bir yeterli (sufficient) istatistik belirlemek istemektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi θ\theta parametresi için bir yeterli istatistiktir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Örneklemdeki en büyük gözlem değeri olan X(n)X_{(n)}

Cevap

θ\theta parametresi için yeterli istatistik, örneklemdeki en büyük gözlem değeri olan X(n)X_{(n)} istatistiğidir.
Düzgün dağılım gibi parametrenin tanım kümesini sınırlandırdığı durumlarda, yeterli istatistik genellikle uç değerlere (sıra istatistiklerine) bağlıdır. Olabilirlik fonksiyonu L(θ∣x)=1θnI(X(n)≤θ)I(X(1)≥0)L(\theta | \mathbf{x}) = \frac{1}{\theta^n} I(X_{(n)} \leq \theta) I(X_{(1)} \geq 0) şeklinde yazıldığında, θ\theta'yı içeren çarpan yalnızca en büyük sıra istatistiği olan X(n)X_{(n)}'i barındırdığından, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi gereği X(n)X_{(n)} yeterli istatistiktir.

Adım Adım Çözüm

1
Dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunu (pdf) yazmak.
f(x;θ)=1θI(0≤x≤θ)f(x; \theta) = \frac{1}{\theta} I(0 \leq x \leq \theta)
Olabilirlik fonksiyonunu oluşturmak için kitle dağılımının matematiksel formuna ihtiyaç vardır. II gösterge (indicator) fonksiyonudur.
2
Örneklem için ortak olasılık yoğunluk (olabilirlik) fonksiyonunu oluşturmak.
L(θ∣x)=∏i=1n1θI(0≤xi≤θ)=1θn∏i=1nI(0≤xi≤θ)L(\theta | \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta} I(0 \leq x_i \leq \theta) = \frac{1}{\theta^n} \prod_{i=1}^{n} I(0 \leq x_i \leq \theta)
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulayabilmek için nn çaplı bağımsız örneklemin ortak dağılımı yazılmalıdır.
3
Gösterge fonksiyonlarının çarpımını sıra istatistikleri cinsinden ifade etmek.
Tüm xix_i'lerin 00 ile θ\theta arasında olması, en küçük değerin 00'dan büyük veya eşit olması ve en büyük değerin θ\theta'dan küçük veya eşit olması demektir: I(0≤x(1))⋅I(x(n)≤θ)I(0 \leq x_{(1)}) \cdot I(x_{(n)} \leq \theta). Böylece L(θ∣x)=1θnI(x(n)≤θ)⋅I(x(1)≥0)L(\theta | \mathbf{x}) = \frac{1}{\theta^n} I(x_{(n)} \leq \theta) \cdot I(x_{(1)} \geq 0) elde edilir.
Parametreye (θ\theta) bağlı sınırları, örneklemin uygun istatistikleriyle (minimum ve maksimum) ayrıştırmak gerekir.
4
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulayarak g(T(x),θ)g(T(x), \theta) ve h(x)h(x) çarpanlarını belirlemek.
g(T(x),θ)=1θnI(x(n)≤θ)g(T(\mathbf{x}), \theta) = \frac{1}{\theta^n} I(x_{(n)} \leq \theta) ve h(x)=I(x(1)≥0)h(\mathbf{x}) = I(x_{(1)} \geq 0). Parametreye bağlı çarpan gg fonksiyonu X(n)X_{(n)} istatistiğini içerdiğinden yeterli istatistik T(x)=X(n)T(\mathbf{x}) = X_{(n)} olur.
Teoreme göre, L(θ∣x)=g(T(x),θ)⋅h(x)L(\theta | \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x}) şeklinde yazılabiliyorsa T(x)T(\mathbf{x}) yeterli istatistiktir.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ve Sıra İstatistikleri
Soru 11Soru →

Bir kamu laboratuvarında görevli bir gıda mühendisi, yeni geliştirilen bir gıda koruyucusunun belirli bir standart sıcaklıktaki etkinlik süresini (saat cinsinden) incelemektedir. Etkinlik süresini temsil eden rastgele değişkenin, θ\theta bilinmeyen bir parametre olmak üzere, (θ,θ+5)(\theta, \theta+5) aralığında sürekli düzgün (uniform) dağılıma sahip olduğu varsayılmaktadır. Mühendis, birbirinden bağımsız nn adet ölçüm yaparak X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele örneklemini elde etmiştir.

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi dikkate alındığında, θ\theta parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: X(1)=min⁡(X1,…,Xn)X_{(1)} = \min(X_1, \dots, X_n) ve X(n)=max⁡(X1,…,Xn)X_{(n)} = \max(X_1, \dots, X_n) olarak tanımlanmıştır.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (X(1),X(n))(X_{(1)}, X_{(n)})

Cevap

θ\theta parametresi için yeterli istatistik (X(1),X(n))(X_{(1)}, X_{(n)}) vektörüdür.
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre, olabilirlik fonksiyonu L(θ;x)=g(T(x)∣θ)⋅h(x)L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x})|\theta) \cdot h(\mathbf{x}) biçiminde yazıldığında, T(x)T(\mathbf{x}) yeterli istatistiktir. Dağılım (θ,θ+5)(\theta, \theta+5) aralığında olduğu için olabilirlik fonksiyonu ancak tüm veriler bu aralıkta olduğunda sıfırdan farklıdır. Bu koşul, örneklemin en küçük değerinin θ\theta'dan büyük veya eşit (X(1)≥θX_{(1)} \ge \theta) ve örneklemin en büyük değerinin θ+5\theta+5'ten küçük veya eşit (X(n)≤θ+5X_{(n)} \le \theta+5) olmasıyla sağlanır. Parametreye bağlı bu şart g(T(x)∣θ)g(T(\mathbf{x})|\theta) çarpanını oluşturur ve bu fonksiyon veriye yalnızca X(1)X_{(1)} ve X(n)X_{(n)} üzerinden bağlı olduğu için yeterli istatistik bu iki sıra istatistiğinin oluşturduğu vektördür.

Adım Adım Çözüm

1
Sürekli düzgün dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonunu (pdf) gösterge (indicator) fonksiyonu ile tanımlayın.
f(x;θ)=15I(θ≤x≤θ+5)f(x; \theta) = \frac{1}{5} I(\theta \le x \le \theta+5)
Tanım aralığı (destek kümesi) bilinmeyen parametreye bağlı olduğunda, yeterli istatistiği bulabilmek için sınır koşullarını matematiksel olarak ifade etmek zorunludur.
2
nn çaplı örneklem için olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu oluşturun.
L(θ;x)=∏i=1n15I(θ≤xi≤θ+5)=(15)n∏i=1nI(θ≤xi≤θ+5)L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{5} I(\theta \le x_i \le \theta+5) = (\frac{1}{5})^n \prod_{i=1}^n I(\theta \le x_i \le \theta+5)
Örneklemlerin bağımsızlığından dolayı ortak dağılım fonksiyonu, marjinal olasılık fonksiyonlarının çarpımıdır.
3
Gösterge fonksiyonlarının çarpımını, sıra istatistiklerini kullanarak tek bir ifadeye dönüştürün.
Tüm xix_i'lerin θ\theta ile θ+5\theta+5 arasında olması, en küçük değerin θ\theta'dan büyük ve en büyük değerin θ+5\theta+5'ten küçük olması demektir: L(θ;x)=(15)nI(θ≤X(1))I(X(n)≤θ+5)L(\theta; \mathbf{x}) = (\frac{1}{5})^n I(\theta \le X_{(1)}) I(X_{(n)} \le \theta+5)
Ortak gösterge bölgesini parametre ve veri ayrımı yapabilmek için basitleştirmek gereklidir.
4
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni (L(θ;x)=g(T(x)∣θ)⋅h(x)L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x})|\theta) \cdot h(\mathbf{x})) uygulayın.
g(T(x)∣θ)=I(θ≤X(1))I(X(n)≤θ+5)g(T(\mathbf{x})|\theta) = I(\theta \le X_{(1)}) I(X_{(n)} \le \theta+5) ve h(x)=(15)nh(\mathbf{x}) = (\frac{1}{5})^n olarak belirlenir. gg fonksiyonu veriye sadece (X(1),X(n))(X_{(1)}, X_{(n)}) üzerinden bağlıdır.
Teoreme göre, olabilirlik fonksiyonunun parametreye bağlı çarpanı içindeki veri fonksiyonu T(x)T(\mathbf{x}), yeterli istatistiktir.

Anahtar Kavram

Sınırları parametreye bağlı dağılımlarda (düzgün dağılım gibi) yeterli istatistik bulunurken gösterge (indicator) fonksiyonlarının çarpımından doğan sıra istatistiklerinin (minimum ve maksimum) kullanımı.
Soru 12Soru →

Bir vergi denetmeni, bir bölgedeki yüksek gelirli mükelleflerin beyan ettikleri yıllık kazançları (bin TL) incelemektedir. Kazançların (XX), bilinen bir x0x_0 (x≥x0x \geq x_0) alt sınırı için aşağıdaki Pareto olasılık yoğunluk fonksiyonuna uygun olduğu varsayılmaktadır:

f(x;θ)=θx0θxθ+1,x≥x0,θ>0f(x; \theta) = \frac{\theta x_0^\theta}{x^{\theta+1}}, \quad x \geq x_0, \theta > 0

Rastgele seçilen nn adet mükellefin kazançları X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n olduğuna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre θ\theta parametresi için yeterli istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∏i=1nXi\prod_{i=1}^{n} X_i

Cevap

Gözlemlerin çarpımı olan ∏i=1nXi\prod_{i=1}^{n} X_i ifadesi, θ\theta parametresi için yeterli istatistiktir.
Olabilirlik fonksiyonu incelendiğinde, θ\theta parametresini içeren çarpanın verilere sadece gözlemlerin çarpımı (∏Xi\prod X_i) aracılığıyla bağlı olduğu görülmektedir. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre bu durum, gözlemlerin çarpımının parametre hakkında tam bilgi sağladığını ve dolayısıyla yeterli istatistik olduğunu kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik fonksiyonunu (L(θ)L(\theta)) kurun.
L(θ;x1,…,xn)=∏i=1nθx0θxiθ+1=θn(x0θ)n(∏i=1nxi)θ+1L(\theta; x_1, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^n \frac{\theta x_0^\theta}{x_i^{\theta+1}} = \frac{\theta^n (x_0^\theta)^n}{(\prod_{i=1}^n x_i)^{\theta+1}}
Yeterli istatistiği bulmanın ilk adımı örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu yazmaktır.
2
Fonksiyonu parametreye bağlı ve bağımsız kısımlara ayırın.
L(θ;x)=[θnx0nθ(∏i=1nxi)−θ]⋅[(∏i=1nxi)−1]L(\theta; \mathbf{x}) = \left[ \theta^n x_0^{n\theta} \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{-\theta} \right] \cdot \left[ \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{-1} \right]
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi, olabilirlik fonksiyonunun g(T(x),θ)⋅h(x)g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x}) şeklinde yazılmasını gerektirir.
3
Yeterli istatistiği (T(x)T(\mathbf{x})) belirleyin.
g(T(x),θ)=θnx0nθ(∏xi)−θ  ⟹  T(x)=∏i=1nXig(T(\mathbf{x}), \theta) = \theta^n x_0^{n\theta} (\prod x_i)^{-\theta} \implies T(\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n X_i
Parametreye (θ\theta) bağlı olan kısım sadece gözlemlerin çarpımı (TT) üzerinden verilere bağlıdır.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uyarınca, olabilirlik fonksiyonu parametreye bağlı bir istatistik ve parametreden bağımsız bir gözlem fonksiyonu olarak çarpılabiliyorsa, o istatistik yeterlidir.

Alternatif Yöntem

Log-olabilirlik fonksiyonu üzerinden gidilerek ∑ln⁡(Xi)\sum \ln(X_i) ifadesinin de yeterli olduğu görülebilir; ancak şıklarda bu ifadenin karşılığı olan çarpım formu (∏Xi\prod X_i) yer almaktadır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 13Soru →

Bir belediyenin harita kadastro müdürlüğü tarafından yürütülen arazi ölçüm çalışmalarında, cihazlardan kaynaklanan ölçüm hataları (XX) ortalaması sıfır olan bir Laplace (çift üstel) dağılımı göstermektedir. Bu kitlenin olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir:

f(x;θ)=12θe−∣x∣θ,−∞<x<∞,θ>0f(x; \theta) = \frac{1}{2\theta} e^{-\frac{|x|}{\theta}}, \quad -\infty < x < \infty, \quad \theta > 0

Buna göre, rastgele seçilen nn birimlik bir örneklem (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) temelinde θ\theta parametresi için Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre yeterli istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∑i=1n∣Xi∣\sum_{i=1}^{n} |X_i|

Cevap

Verilen Laplace dağılımı için θ\theta parametresine ait yeterli istatistik, gözlemlerin mutlak değerlerinin toplamı olan ∑i=1n∣Xi∣\sum_{i=1}^{n} |X_i| ifadesidir.
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre, olabilirlik fonksiyonu g(T(x),θ)h(x)g(T(\mathbf{x}), \theta) h(\mathbf{x}) şeklinde yazılabiliyorsa T(x)T(\mathbf{x}) yeterli bir istatistiktir. Laplace dağılımının çarpım formunda, üstel terimler toplandığında ∑∣xi∣\sum |x_i| ifadesi elde edilir ve bu ifade θ\theta ile birlikte gg fonksiyonunu oluşturur.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklemin olabilirlik fonksiyonunu yazın.
L(θ;x1,…,xn)=∏i=1n(12θe−∣xi∣θ)=(12θ)ne−∑i=1n∣xi∣θL(\theta; x_1, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{2\theta} e^{-\frac{|x_i|}{\theta}} \right) = \left( \frac{1}{2\theta} \right)^n e^{-\frac{\sum_{i=1}^{n} |x_i|}{\theta}}
Neyman teoremini uygulamak için önce tüm gözlemlerin ortak olasılık fonksiyonu oluşturulmalıdır.
2
Olabilirlik fonksiyonunu Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre parçalara ayırın.
L(θ;x)=g(T(x),θ)⋅h(x)L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x}) biçiminde yazılırsa: g(T(x),θ)=1θne−∑∣xi∣θg(T(\mathbf{x}), \theta) = \frac{1}{\theta^n} e^{-\frac{\sum |x_i|}{\theta}} ve h(x)=12nh(\mathbf{x}) = \frac{1}{2^n} olur.
Teorem gereği, veriye sadece bir istatistik (TT) üzerinden bağlı olan kısım (gg) ile parametreden bağımsız olan kısım (hh) ayrıştırılmalıdır.
3
gg fonksiyonu içindeki istatistiği belirleyin.
T(X1,…,Xn)=∑i=1n∣Xi∣T(X_1, \dots, X_n) = \sum_{i=1}^{n} |X_i|
gg fonksiyonunun gözlemlere bağımlılığı sadece mutlak değerlerin toplamı üzerinden gerçekleşmektedir.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ve Laplace Dağılımı
Soru 14Soru →

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) tarafından yürütülen bir hanehalkı bilişim teknolojileri kullanım araştırmasında, rastgele seçilen nn bireyin internet kullanma durumu (kullananlar 1, kullanmayanlar 0) pp parametreli Bernoulli dağılımına uymaktadır. Bu kitle içerisinden seçilen X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n örneklemi için pp parametresinin yeterli istatistiği aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∑i=1nXi\sum_{i=1}^{n} X_i

Cevap

Bernoulli dağılımı için yeterli istatistik, gözlemlerin toplamı olan ∑i=1nXi\sum_{i=1}^{n} X_i ifadesidir.
Doğru seçenek, Bernoulli dağılımının olabilirlik fonksiyonu üzerinden Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uygulandığında, parametreye bağlı kısmın sadece gözlemlerin toplamı olan ∑Xi\sum X_i üzerinden ifade edilebilmesi nedeniyle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik fonksiyonunu (L(p)L(p)) yazın.
L(p)=∏i=1npxi(1−p)1−xi=p∑xi(1−p)n−∑xiL(p) = \prod_{i=1}^{n} p^{x_i} (1-p)^{1-x_i} = p^{\sum x_i} (1-p)^{n-\sum x_i}
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulamak için fonksiyonun çarpım formuna ihtiyaç vardır.
2
Fonksiyonu g(T(x),p)g(T(x), p) ve h(x)h(x) bileşenlerine ayırın.
L(p)=[p∑xi(1−p)n−∑xi]×[1]L(p) = [p^{\sum x_i} (1-p)^{n-\sum x_i}] \times [1] burada g(T(x),p)=p∑xi(1−p)n−∑xig(T(x), p) = p^{\sum x_i} (1-p)^{n-\sum x_i} ve h(x)=1h(x) = 1 olur.
Teoreme göre, eğer olabilirlik fonksiyonu bu şekilde ayrılabiliyorsa T(x)T(x) yeterli istatistiktir.
3
Yeterli istatistiği (T(x)T(x)) tanımlayın.
T(x)=∑i=1nXiT(x) = \sum_{i=1}^{n} X_i
Parametreyi içeren fonksiyonun sadece gözlemlerin toplamına bağlı olduğu görülmektedir.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi: Bir T(x)T(x) istatistiğinin yeterli olması için olabilirlik fonksiyonunun L(θ)=g(T(x),θ)⋅h(x)L(\theta) = g(T(x), \theta) \cdot h(x) formunda yazılabilmesi gerekir.

Daha Fazla Pratik

Poisson dağılımı için yeterli istatistiğin de benzer şekilde gözlemlerin toplamı olup olmadığını kontrol ediniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 15Soru →

Bir kamu kurumunda işlem gören günlük evrak sayısı, λ\lambda parametreli Poisson dağılımına uygunluk göstermektedir. Bu kurumda rastgele seçilen nn günlük evrak sayılarını temsil eden X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n örneklemi için Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre λ\lambda parametresi için yeterli istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∑i=1nXi\sum_{i=1}^{n} X_i

Cevap

Gözlemlerin toplamı olan ∑i=1nXi\sum_{i=1}^{n} X_i ifadesi λ\lambda parametresi için yeterli istatistiktir.
Poisson dağılımının olabilirlik fonksiyonu incelendiğinde, λ\lambda parametresini içeren terimlerin yalnızca gözlemlerin toplamı (∑Xi\sum X_i) üzerinden verilere bağlı olduğu görülür. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uyarınca, bu durum toplam istatistiğinin parametre için yeterli olduğunu kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik fonksiyonunu (likelihood function) yazın.
L(λ;x1,…,xn)=∏i=1ne−λλxixi!=e−nλλ∑i=1nxi∏i=1nxi!L(\lambda; x_1, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^{n} \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x_i}}{x_i!} = \frac{e^{-n\lambda} \lambda^{\sum_{i=1}^{n} x_i}}{\prod_{i=1}^{n} x_i!}
Yeterli istatistiği bulmak için öncelikle örneklemin ortak olasılık kütle fonksiyonu oluşturulmalıdır.
2
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni (Factorization Theorem) uygulayın.
L(λ;x)=g(T(x),λ)⋅h(x)L(\lambda; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \lambda) \cdot h(\mathbf{x}) formunda; g(∑xi,λ)=e−nλλ∑xig(\sum x_i, \lambda) = e^{-n\lambda} \lambda^{\sum x_i} ve h(x)=1∏xi!h(\mathbf{x}) = \frac{1}{\prod x_i!} olarak belirlenir.
Teorem gereği, olabilirlik fonksiyonu parametreye bağlı bir gg fonksiyonu ve sadece verilere bağlı bir hh fonksiyonu olarak ayrılabilmelidir.
3
Yeterli istatistiği (TT) tanımlayın.
T(X1,…,Xn)=∑i=1nXiT(X_1, \dots, X_n) = \sum_{i=1}^{n} X_i
gg fonksiyonu sadece λ\lambda parametresine ve gözlemlerin toplamına bağlı olduğu için bu toplam yeterli bir istatistiktir.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi, bir istatistiğin parametre hakkındaki tüm bilgiyi içerip içermediğini belirlemek için olabilirlik fonksiyonunun iki parçaya ayrılmasını sağlar.
Tahmini Süre:45s
Soru 16Soru →

Bir belediyenin kurumsal iletişim merkezine gelen ardışık iki telefon araması arasındaki süre (dakika), θ\theta parametreli ve f(x;θ)=1θe−x/θ,x>0f(x; \theta) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, x > 0 olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip üstel dağılıma uygundur. Rastgele seçilen nn birimlik bir örneklem X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n olduğuna göre, θ\theta parametresi için Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ile elde edilen yeterli istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∑i=1nXi\sum_{i=1}^{n} X_i

Cevap

Toplam gözlem değeri olan ∑i=1nXi\sum_{i=1}^{n} X_i istatistiğidir.
Üstel dağılımın olabilirlik fonksiyonu θ−nexp⁡(−1θ∑xi)\theta^{-n} \exp(-\frac{1}{\theta} \sum x_i) şeklindedir. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre bu ifade, θ\theta parametresine ve gözlemlerin toplamına bağlı bir gg fonksiyonu ile sadece gözlemlere bağlı (burada 1 olan) bir hh fonksiyonunun çarpımıdır. Dolayısıyla gözlemlerin toplamı, θ\theta için yeterli bir istatistiktir.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik fonksiyonunu (Likelihood function) yazın.
L(θ;x)=∏i=1n1θe−xi/θ=θ−ne−1θ∑i=1nxiL(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta} e^{-x_i/\theta} = \theta^{-n} e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^{n} x_i}
Yeterli istatistiği bulmak için öncelikle tüm örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu olan olabilirlik fonksiyonu oluşturulmalıdır.
2
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulayın.
L(θ;x)=g(T(x),θ)⋅h(x)L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x}) formunda g(∑xi,θ)=θ−ne−1θ∑xig(\sum x_i, \theta) = \theta^{-n} e^{-\frac{1}{\theta} \sum x_i} ve h(x)=1h(\mathbf{x}) = 1 olarak belirlenir.
Teorem gereği olabilirlik fonksiyonu, parametre ve istatistiğe bağlı bir fonksiyon ile sadece gözlemlere bağlı bir fonksiyonun çarpımı şeklinde yazılmalıdır.
3
Yeterli istatistiği (T) tanımlayın.
T(X1,…,Xn)=∑i=1nXiT(X_1, \dots, X_n) = \sum_{i=1}^{n} X_i
Fonksiyonun parametreye bağımlı olan kısmında yer alan tek örneklem bileşeni toplam sembolü olduğu için bu ifade yeterli istatistiktir.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi, bir istatistiğin parametre hakkında örneklemdeki tüm bilgiyi içerip içermediğini (yeterliliğini) belirlemek için olabilirlik fonksiyonunun çarpanlarına ayrılması yöntemidir.
Tahmini Süre:45s
Soru 17Soru →

Bir kalite kontrol mühendisi, yeni nesil bir elektronik parçanın dayanım süresini saat cinsinden incelemektedir. Bu dayanım sürelerinin, θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametre olmak üzere, (θ,2θ)(\theta, 2\theta) aralığında sürekli üniform dağılıma sahip olduğu varsayılmaktadır. Mühendis, nn adet parçayı test ederek X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele örneklem değerlerini elde etmiştir.

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi kullanıldığında θ\theta parametresi için ortak yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir? (Burada X(1)X_{(1)} en küçük sıra istatistiğini, X(n)X_{(n)} ise en büyük sıra istatistiğini göstermektedir.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (X(1),X(n))(X_{(1)}, X_{(n)})

Cevap

θ\theta parametresi için ortak yeterli istatistik (X(1),X(n))(X_{(1)}, X_{(n)}) vektörüdür.
Verilen dağılımda alt sınır θ\theta, üst sınır ise 2θ2\theta'dır. Olasılık yoğunluk fonksiyonundaki gösterge fonksiyonları çarpıldığında, parametrenin sınırladığı bölge I(θ≤X(1))I(\theta \leq X_{(1)}) ve I(X(n)≤2θ)I(X_{(n)} \leq 2\theta) olarak karşımıza çıkar. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uygulandığında olabilirlik fonksiyonu g(X(1),X(n),θ)g(X_{(1)}, X_{(n)}, \theta) ve h(x)h(\mathbf{x}) olarak ayrılır. θ\theta sadece en küçük ve en büyük sıra istatistikleri ile birlikte bulunduğu için her iki istatistik de zorunludur ve ortak yeterli istatistik (X(1),X(n))(X_{(1)}, X_{(n)}) vektörüdür.

Adım Adım Çözüm

1
Kitleden alınan tek bir gözlemin olasılık yoğunluk fonksiyonunu (pdf) gösterge (indicator) fonksiyonu yardımıyla ifade et.
f(x;θ)=12θ−θ=1θ⋅I(θ≤x≤2θ)f(x; \theta) = \frac{1}{2\theta - \theta} = \frac{1}{\theta} \cdot I(\theta \leq x \leq 2\theta)
Dağılımın sınırları bilinmeyen θ\theta parametresine bağlı olduğunda, yeterli istatistiği bulabilmek için sınırların gösterge fonksiyonu ile açıkça yazılması şarttır.
2
nn çaplı örneklem için olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu oluştur.
L(θ;x)=∏i=1nf(xi;θ)=1θn∏i=1nI(θ≤xi≤2θ)L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \theta) = \frac{1}{\theta^n} \prod_{i=1}^{n} I(\theta \leq x_i \leq 2\theta)
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi, ortak olasılık (olabilirlik) fonksiyonunun incelenmesine dayanır.
3
Gösterge fonksiyonlarının çarpımını, sıra istatistikleri cinsinden tek bir ifadeye dönüştür.
Tüm xix_i değerlerinin θ\theta ile 2θ2\theta arasında olması, en küçük değerin θ\theta'dan büyük veya eşit, en büyük değerin ise 2θ2\theta'dan küçük veya eşit olmasını gerektirir: I(θ≤X(1))⋅I(X(n)≤2θ)I(\theta \leq X_{(1)}) \cdot I(X_{(n)} \leq 2\theta). Buna göre L(θ;x)=1θn⋅I(X(n)2≤θ≤X(1))L(\theta; \mathbf{x}) = \frac{1}{\theta^n} \cdot I(\frac{X_{(n)}}{2} \leq \theta \leq X_{(1)}) elde edilir.
Çarpım durumundaki gösterge fonksiyonlarının sınır şartları, örneklemin sadece minimum ve maksimum değerlerine indirgenebilir.
4
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremini uygulayarak istatistiği belirle.
L(θ;x)=g(T(x),θ)⋅h(x)L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x}) formatında; h(x)=1h(\mathbf{x}) = 1 ve g(T(x),θ)=1θnI(X(n)2≤θ≤X(1))g(T(\mathbf{x}), \theta) = \frac{1}{\theta^n} I(\frac{X_{(n)}}{2} \leq \theta \leq X_{(1)}) olarak bulunur. Fonksiyon θ\theta'ya X(1)X_{(1)} ve X(n)X_{(n)} aracılığıyla bağlandığından ortak yeterli istatistik (X(1),X(n))(X_{(1)}, X_{(n)})'dir.
Teoreme göre θ\theta'yı ve veriyi bir arada barındıran gg fonksiyonunun veriye bağlı kısmı yeterli istatistiktir.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Neyman Factorization Theorem) ve Gösterge Fonksiyonları
Soru 18Soru →

Bir aktüerya uzmanı, belirli bir sigorta branşında hasar ihbar sürelerini (ay cinsinden) analiz etmektedir. Bu sürelerin X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele örneklemi, olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilen dağılıma sahip bir kitleden çekilmiştir:

f(x;θ)={1θe−x−θθ,x≥θ0,dig˘erf(x; \theta) = \begin{cases} \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x-\theta}{\theta}}, & x \geq \theta \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Burada θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametredir.

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Neyman Factorization Theorem) dikkate alındığında θ\theta parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: T(X)=(∑i=1nXi,X(1))T(\mathbf{X}) = \left( \sum_{i=1}^n X_i, X_{(1)} \right)

Cevap

Doğru cevap, hem veri toplamını hem de örneklem minimumunu içeren istatistik vektörüdür: T(X)=(∑i=1nXi,X(1))T(\mathbf{X}) = \left( \sum_{i=1}^n X_i, X_{(1)} \right).
Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonundan hareketle olabilirlik fonksiyonu L(θ∣x)=1θnexp⁡(−∑xi−nθθ)I(x(1)≥θ)L(\theta|\mathbf{x}) = \frac{1}{\theta^n} \exp\left(-\frac{\sum x_i - n\theta}{\theta}\right) I(x_{(1)} \geq \theta) şeklinde elde edilir. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre, bu ifade g(T(x),θ)⋅h(x)g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x}) biçiminde yazıldığında, θ\theta'yı barındıran gg fonksiyonunun içindeki tüm veriye bağlı terimler yeterli istatistiği oluşturur. Formüldeki ene^n kısmı h(x)h(\mathbf{x}) olarak ayrıldığında, geriye kalan ifadede θ\theta ile bağ kuran değişkenler ∑Xi\sum X_i ve X(1)X_{(1)}'dir. Dolayısıyla ortak yeterli istatistik bu iki terimi içeren vektördür.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem için olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu oluşturun ve tanım kümesi kısıtını gösterge (indicator) fonksiyonu I(xi≥θ)I(x_i \geq \theta) ile ifade edin.
L(θ∣x)=∏i=1n[1θe−xi−θθI(xi≥θ)]L(\theta|\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \left[ \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x_i-\theta}{\theta}} I(x_i \geq \theta) \right]
Yeterli istatistiği bulmak için öncelikle tüm örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun (olabilirlik fonksiyonu) eksiksiz yazılması gerekir.
2
Çarpım işlemini uygulayarak olabilirlik fonksiyonunu basitleştirin ve gösterge fonksiyonlarını birleştirin.
L(θ∣x)=1θnexp⁡(−∑xi−nθθ)∏i=1nI(xi≥θ)L(\theta|\mathbf{x}) = \frac{1}{\theta^n} \exp\left(-\frac{\sum x_i - n\theta}{\theta}\right) \prod_{i=1}^n I(x_i \geq \theta)
Fonksiyonu Neyman Teoremi formuna getirmek için matematiksel sadeleştirmeler yapılmalıdır.
3
Üstel terimi düzenleyin ve ∏I(xi≥θ)\prod I(x_i \geq \theta) ifadesinin I(x(1)≥θ)I(x_{(1)} \geq \theta)'ya eşit olduğunu belirleyin.
L(θ∣x)=enθnexp⁡(−∑xiθ)I(x(1)≥θ)L(\theta|\mathbf{x}) = \frac{e^n}{\theta^n} \exp\left(-\frac{\sum x_i}{\theta}\right) I(x_{(1)} \geq \theta)
Tüm xix_i değerlerinin θ\theta'dan büyük veya eşit olması, yalnızca en küçük değerin (minimumun) θ\theta'dan büyük veya eşit olması ile aynı anlama gelir.
4
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni (L(θ∣x)=g(T(x),θ)⋅h(x)L(\theta|\mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x})) uygulayın.
g(T(x),θ)=1θnexp⁡(−∑xiθ)I(x(1)≥θ)g(T(\mathbf{x}), \theta) = \frac{1}{\theta^n} \exp\left(-\frac{\sum x_i}{\theta}\right) I(x_{(1)} \geq \theta) ve h(x)=enh(\mathbf{x}) = e^n
gg fonksiyonu içinde θ\theta parametresi ile ilişkili olan örneklem istatistikleri doğrudan yeterli istatistiği (sufficient statistic) verir.
5
g(T(x),θ)g(T(\mathbf{x}), \theta) fonksiyonundaki istatistikleri tespit edin.
Fonksiyonda ∑xi\sum x_i ve x(1)x_{(1)} terimleri yer aldığından yeterli istatistik T(X)=(∑i=1nXi,X(1))T(\mathbf{X}) = \left( \sum_{i=1}^n X_i, X_{(1)} \right) olarak bulunur.
Parametre boyutunun 11 olmasına rağmen, parametrenin hem konum hem ölçek belirlediği bu tip dağılımlarda minimal yeterli istatistik 22 boyutlu bir vektör olabilir.

Anahtar Kavram

Yeterlilik (Sufficiency) ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi
Soru 19Soru →

Bir malzeme mühendisi, yeni üretilen kompozit bir malzemenin kırılma gerilimini (MPa cinsinden) incelemektedir. Kırılma gerilimini temsil eden XX rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametre olmak üzere,

f(x;θ)={2xθe−x2θ,x>00,dig˘er durumlardaf(x; \theta) = \begin{cases} \frac{2x}{\theta} e^{-\frac{x^2}{\theta}}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

şeklinde modellenmiştir.

Bu malzemeden rastgele seçilen nn birimlik X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n bağımsız örneklemi temel alındığında, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre θ\theta parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2

Cevap

∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre, olabilirlik fonksiyonu L(θ;x)=g(T(x),θ)⋅h(x)L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x}) formunda yazılabilmelidir. Verilen dağılım için olabilirlik fonksiyonu oluşturulup düzenlendiğinde, üstel ifadenin içinde ∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2 terimi ortaya çıkar ve parametre olan θ\theta'ya bağlı bileşen yalnızca bu toplam üzerinden örneklem değerlerine bağımlıdır. Çarpanlarına ayrılmış fonksiyonda, parametre bağımlılığını taşıyan tek örneklem fonksiyonu budur; bu nedenle yeterli istatistik ∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2 olur.

Adım Adım Çözüm

1
nn çaplı bağımsız örneklem için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu olan olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu oluşturmak.
L(θ;x)=∏i=1n(2xiθe−xi2θ)L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \left( \frac{2x_i}{\theta} e^{-\frac{x_i^2}{\theta}} \right)
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi, yeterli istatistiğin doğrudan olabilirlik fonksiyonunun yapısından elde edilmesine dayanır.
2
Olabilirlik fonksiyonundaki çarpım işlemlerini düzenleyerek terimleri gruplandırmak.
L(θ;x)=2nθn(∏i=1nxi)e−1θ∑i=1nxi2L(\theta; \mathbf{x}) = \frac{2^n}{\theta^n} \left( \prod_{i=1}^n x_i \right) e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n x_i^2}
Fonksiyonu, sadece gözlemlere bağlı olan bir kısım ile hem parametreyi hem de örneklem istatistiğini içeren diğer bir kısım olarak iki çarpan halinde yazmak gereklidir.
3
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'nin L(θ;x)=g(T(x),θ)⋅h(x)L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x}) formunu uygulayarak T(x)T(\mathbf{x}) yeterli istatistiğini belirlemek.
Burada h(x)=2n∏i=1nxih(\mathbf{x}) = 2^n \prod_{i=1}^n x_i (sadece örnekleme bağlı) ve g(T(x),θ)=1θne−1θ∑i=1nxi2g(T(\mathbf{x}), \theta) = \frac{1}{\theta^n} e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n x_i^2} olarak ayrılır. Parametre θ\theta'ya bağlı kısımdaki örneklem fonksiyonu T(X)=∑i=1nXi2T(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n X_i^2'dir.
Teoreme göre, parametreyi barındıran çarpan g(T(x),θ)g(T(\mathbf{x}), \theta) formunda olmalıdır. Bu durum, T(x)T(\mathbf{x}) istatistiğinin yeterli olduğunu kanıtlar.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi kullanılarak bir parametre için yeterli (sufficient) istatistiğin bulunması

Alternatif Yöntem

Olabilirlik fonksiyonunun doğrudan doğal logaritmasını alarak log-olabilirlik (lnLln L) fonksiyonunu oluşturmak ve bu fonksiyonun parametreye (θ\theta) bağlı olan terimlerindeki istatistiği incelemek de (Çarpanlara Ayırma Teoremi'nin logaritmik formu) aynı yeterli istatistiği verecektir.
Tahmini Süre:1m 30s