İstatistiksel bir modelleme çalışmasında, bir X rastgele değişkeninin moment çıkaran fonks… — KPSS İstatistik

İstatistiksel bir modelleme çalışmasında, bir $X$ rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu $M_X(t)$ olarak belirlenmiştir. Bu değişken üzerinde $Y = 3X + 5$ şeklinde bir doğrusal dönüşüm yapıldığında, yeni elde edilen $Y$ rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu ( $M_Y(t)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

$e^{5t} M_X(3t)$ Cevap
B
$e^{3t} M_X(5t)$
C
$3 M_X(t) + 5$
D
$M_X(3t + 5)$
E
$5 e^{3t} M_X(t)$

Cevap

Yeni rastgele değişkenin moment çıkaran fonksiyonu

e^{5t} M_X(3t)

ifadesidir.

Doğru seçenek olan ifade, moment çıkaran fonksiyonların temel özelliklerinden biri olan doğrusal dönüşüm kuralını (

M_{aX+b}(t) = e^{bt} M_X(at)

) tam olarak yansıtmaktadır. Verilen

Y = 3X + 5

dönüşümünde eğim katsayısı

a=3

ve sabit terim

b=5

olduğundan, kural uygulandığında sonuç

e^{5t} M_X(3t)

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

Moment çıkaran fonksiyonun (MGF) tanımını yazın.

M_Y(t) = E[e^{tY}]

MGF, değişkenin üstel fonksiyonunun beklenen değeri olarak tanımlanır.

Y = 3X + 5

dönüşümünü tanımda yerine koyun.

M_Y(t) = E[e^{t(3X + 5)}]

Y

değişkeninin

X

cinsinden ifadesini beklenen değer içine yerleştirerek

X

üzerinden bir ifade elde etmek gerekir.

Üstel ifadeyi parçalara ayırın.

E[e^{3tX} \cdot e^{5t}]

Üslü sayıların çarpma kuralı (

e^{A+B} = e^A \cdot e^B

) kullanılarak sabit ve değişken kısımlar ayrılır.

Beklenen değerin doğrusal özelliğini kullanarak sabiti dışarı çıkarın.

e^{5t} E[e^{(3t)X}]

e^{5t}

ifadesi

X

değişkenine bağlı olmadığı için beklenen değer operatörünün dışına çarpan olarak alınabilir.

Elde edilen ifadeyi

X

'in moment çıkaran fonksiyonu cinsinden tanımlayın.

M_Y(t) = e^{5t} M_X(3t)

E[e^{(at)X}]

ifadesi

M_X(at)

tanımına karşılık gelir; burada

a=3

olarak görülmektedir.

Anahtar Kavram

Moment çıkaran fonksiyonların doğrusal dönüşüm özelliği:

Y = aX + b ⇒ M_Y(t) = e^{bt} M_X(at)

Tahmini Süre:45s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular