Examkin

Soru

Zorluk: ZorMoment Çıkaran Fonksiyon (MGF) Yöntemi

Bir akıllı şehir uygulamasında, belirli bir kavşaktan sabah saatlerinde geçen otobüs sayısı XX ve kamyon sayısı YY bağımsız rastgele değişkenlerdir. Bu araç türlerine ait moment çıkaran fonksiyonlar sırasıyla MX(t)=e3(et−1)M_X(t) = e^{3(e^t - 1)} ve MY(t)=e5(et−1)M_Y(t) = e^{5(e^t - 1)} olarak verilmiştir.

Kavşaktaki trafik yoğunluğunu ölçen bir algoritma, bir yoğunluk skoru olan WW değişkenini W=4X−2Y+15W = 4X - 2Y + 15 şeklinde hesaplamaktadır.

Buna göre, WW rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu MW(t)M_W(t) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. e15t+3(e4t−1)+5(e−2t−1)e^{15t + 3(e^{4t} - 1) + 5(e^{-2t} - 1)}Cevap
  2. B
    e15t+2(et−1)e^{15t + 2(e^t - 1)}
  3. C
    e15t+68(et−1)e^{15t + 68(e^t - 1)}
  4. D
    e15t+3(e4t−1)+5(e2t−1)e^{15t + 3(e^{4t} - 1) + 5(e^{2t} - 1)}
  5. E
    e3(e4t−1)+5(e−2t−1)e^{3(e^{4t} - 1) + 5(e^{-2t} - 1)}

Cevap

WW rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu e15t+3(e4t−1)+5(e−2t−1)e^{15t + 3(e^{4t} - 1) + 5(e^{-2t} - 1)} ifadesidir.
Bağımsız rastgele değişkenlerin doğrusal kombinasyonunun moment çıkaran fonksiyonu MaX+bY+c(t)=ect⋅MX(at)⋅MY(bt)M_{aX+bY+c}(t) = e^{ct} \cdot M_X(at) \cdot M_Y(bt) kuralı ile bulunur. W=4X−2Y+15W = 4X - 2Y + 15 için bu kural uygulandığında e15t⋅MX(4t)⋅MY(−2t)e^{15t} \cdot M_X(4t) \cdot M_Y(-2t) elde edilir. MX(t)M_X(t) fonksiyonunda tt yerine 4t4t, MY(t)M_Y(t) fonksiyonunda ise tt yerine −2t-2t yazılarak ifadeler çarpıldığında ve üsler toplandığında doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
WW değişkeninin moment çıkaran fonksiyonunun tanımını yazın.
MW(t)=E[etW]=E[et(4X−2Y+15)]M_W(t) = E[e^{tW}] = E[e^{t(4X - 2Y + 15)}]
Yeni değişkenin MGF'sini bulmak için temel moment çıkaran fonksiyon tanımı kullanılır.
2
Bağımsızlık özelliğini ve üstel fonksiyon kurallarını kullanarak ifadeyi çarpanlara ayırın.
MW(t)=e15t⋅E[e4tX]⋅E[e−2tY]=e15t⋅MX(4t)⋅MY(−2t)M_W(t) = e^{15t} \cdot E[e^{4tX}] \cdot E[e^{-2tY}] = e^{15t} \cdot M_X(4t) \cdot M_Y(-2t)
XX ve YY bağımsız olduğundan, çarpımın beklenen değeri beklenen değerlerin çarpımına eşittir ve sabit terim dışarı alınabilir.
3
Verilen MX(t)M_X(t) fonksiyonunda tt yerine 4t4t yazarak MX(4t)M_X(4t) değerini hesaplayın.
MX(4t)=e3(e4t−1)M_X(4t) = e^{3(e^{4t} - 1)}
Doğrusal dönüşüm kuralı (Y=aX⇒MY(t)=MX(at)Y=aX \Rightarrow M_Y(t)=M_X(at)) gereği denklemdeki 44 katsayısı tt ile çarpılır.
4
Verilen MY(t)M_Y(t) fonksiyonunda tt yerine −2t-2t yazarak MY(−2t)M_Y(-2t) değerini hesaplayın.
MY(−2t)=e5(e−2t−1)M_Y(-2t) = e^{5(e^{-2t} - 1)}
Çıkarma işlemindeki −2-2 katsayısı, işaretiyle birlikte tt yerine yazılarak fonksiyona dahil edilir.
5
Bulunan ifadeleri birleştirerek nihai MW(t)M_W(t) fonksiyonunu oluşturun.
MW(t)=e15t⋅e3(e4t−1)⋅e5(e−2t−1)=e15t+3(e4t−1)+5(e−2t−1)M_W(t) = e^{15t} \cdot e^{3(e^{4t} - 1)} \cdot e^{5(e^{-2t} - 1)} = e^{15t + 3(e^{4t} - 1) + 5(e^{-2t} - 1)}
Üslü ifadeler çarpılırken tabanlar aynı olduğu için üsler toplanarak en sade hal elde edilir.

Anahtar Kavram

Moment Çıkaran Fonksiyonlarda Doğrusal Dönüşüm ve Bağımsızlık
Bu soruyu puanla

Konular

Moment Çıkaran Fonksiyon (MGF) Yöntemi