Bir otomobil fabrikasındaki boyahane bölümünde, iki farklı robot kolunun bir saat içinde y… — KPSS İstatistik

Bir otomobil fabrikasındaki boyahane bölümünde, iki farklı robot kolunun bir saat içinde yaptığı boya hatası sayıları bağımsız $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri ile modellenmektedir.

Bu değişkenlere ait moment çıkaran fonksiyonlar sırasıyla;

M_X(t) = e^{2(e^t - 1)}

M_Y(t) = e^{3(e^t - 1)}

olarak verilmiştir.

Bu bölümdeki hataların neden olduğu bir saatlik toplam düzeltme maliyeti (TL cinsinden) $W = 4X + 4Y + 10$ fonksiyonu ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, düzeltme maliyetini gösteren $W$ rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu $M_W(t)$ ve varyansı $Var(W)$ aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

$M_W(t) = e^{10t + 5(e^{4t}-1)}$ ve $Var(W) = 80$ Cevap
B
$M_W(t) = e^{10t + 20(e^t-1)}$ ve $Var(W) = 20$
C
$M_W(t) = e^{10t + 5(e^{4t}-1)}$ ve $Var(W) = 20$
D
$M_W(t) = e^{10t + 5(e^{4t}-1)}$ ve $Var(W) = 90$
E
$M_W(t) = e^{5(e^{4t}-1)}$ ve $Var(W) = 80$

Cevap

Doğru MGF

M_W(t) = e^{10t + 5(e^{4t}-1)}

ve varyans değeri

Var(W) = 80

olmalıdır.

Verilen

M_X(t)

M_Y(t)

fonksiyonları, sırasıyla ortalaması 2 ve 3 olan Poisson dağılımlarına aittir. Değişkenler bağımsız olduğundan, toplamları olan

Z = X+Y

değişkeni parametresi

\lambda = 5

olan bir Poisson dağılımına sahip olur. Bu durumda

Var(Z) = 5

M_Z(t) = e^{5(e^t-1)}

'dir. Maliyet fonksiyonu

W = 4Z + 10

şeklinde doğrusal bir dönüşümdür. Moment çıkaran fonksiyon kuralına göre

M_{aZ+b}(t) = e^{bt}M_Z(at)

uygulanarak

M_W(t) = e^{10t}e^{5(e^{4t}-1)}

elde edilir. Varyans özelliklerinden

Var(aZ+b) = a^2Var(Z)

kullanılarak

Var(W) = 16 \cdot 5 = 80

bulunur.

Adım Adım Çözüm

X

Y

değişkenlerinin dağılımlarını belirleme.

X \sim Poisson(\lambda=2)

Y \sim Poisson(\lambda=3)

dağılımına sahiptir.

MGF teklik teoremine (uniqueness theorem) göre,

e^{\lambda(e^t-1)}

formu Poisson dağılımına aittir.

Toplam hatayı temsil eden

Z = X + Y

değişkeninin dağılımını ve moment çıkaran fonksiyonunu bulma.

Bağımsız iki Poisson değişkeninin toplamı da Poisson dağılır:

Z \sim Poisson(5)

. Bu nedenle

M_Z(t) = e^{5(e^t - 1)}

Var(Z) = 5

olur.

Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının MGF'si, bireysel MGF'lerin çarpımına eşittir:

M_Z(t) = M_X(t) \cdot M_Y(t)

W = 4Z + 10

doğrusal dönüşümü için MGF hesaplama.

M_W(t) = e^{10t} \cdot M_Z(4t) = e^{10t} \cdot e^{5(e^{4t}-1)} = e^{10t + 5(e^{4t}-1)}

bulunur.

W = aZ + b

doğrusal dönüşüm kuralına göre

M_{aZ+b}(t) = e^{bt} M_Z(at)

formülü uygulanır.

W

değişkeninin varyansını hesaplama.

Var(W) = Var(4Z + 10) = 4^2 \cdot Var(Z) = 16 \cdot 5 = 80

elde edilir.

Varyans özelliklerine göre, bir değişkenin bir sabitle çarpımının varyansı o katsayının karesi ile çarpılır; toplama halindeki sabitler varyansı etkilemez.

Anahtar Kavram

Moment Çıkaran Fonksiyon ile Doğrusal Dönüşümler ve Dağılım Belirleme

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular