Examkin

Soru

Zorluk: ZorMoment Çıkaran Fonksiyon (MGF) Yöntemi

Bir yatırım portföyünde bulunan A ve B hisse senetlerinin günlük getiri oranları bağımsız rastgele değişkenler olup, sırasıyla XX ve YY ile gösterilmektedir. Bu değişkenlerin moment çıkaran fonksiyonları:

MX(t)=e10t+2t2M_X(t) = e^{10t + 2t^2}
MY(t)=e15t+4.5t2M_Y(t) = e^{15t + 4.5t^2}

olarak hesaplanmıştır.

Bir yatırımcının bu hisse senetlerinden oluşturduğu portföyün toplam günlük getirisi W=3X−2Y+5W = 3X - 2Y + 5 denklemi ile modellenmektedir.

Buna göre, WW portföy getirisinin moment çıkaran fonksiyonu (MW(t)M_W(t)) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    e5te^{5t}
  2. B
    e5t−3t2e^{5t - 3t^2}
  3. C
    e5t+15t2e^{5t + 15t^2}
  4. e5t+36t2e^{5t + 36t^2}Cevap
  5. E
    e36t2e^{36t^2}

Cevap

Doğru cevap e5t+36t2e^{5t + 36t^2} ifadesini içeren seçenektir.
Bağımsız değişkenlerin doğrusal fonksiyonlarının moment çıkaran fonksiyonu MaX+bY+c(t)=ect⋅MX(at)⋅MY(bt)M_{aX+bY+c}(t) = e^{ct} \cdot M_X(at) \cdot M_Y(bt) formülü ile bulunur. XX için tt yerine 3t3t, YY için tt yerine −2t-2t yazılarak elde edilen ifadeler sabit terimden gelen e5te^{5t} ile çarpıldığında, 30t30t ve −30t-30t terimleri birbirini götürürken t2t^2 katsayıları toplanarak 36t236t^2 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bağımsız rastgele değişkenlerin doğrusal kombinasyonu için moment çıkaran fonksiyon kuralını kurma.
MW(t)=e5t⋅MX(3t)⋅MY(−2t)M_W(t) = e^{5t} \cdot M_X(3t) \cdot M_Y(-2t)
Birbirinden bağımsız XX ve YY değişkenleri için W=aX+bY+cW = aX + bY + c dönüşümünde temel kural MW(t)=ectMX(at)MY(bt)M_W(t) = e^{ct}M_X(at)M_Y(bt) şeklindedir.
2
XX değişkeni için doğrusal dönüşüm olan MX(3t)M_X(3t) değerini hesaplama.
MX(3t)=e10(3t)+2(3t)2=e30t+18t2M_X(3t) = e^{10(3t) + 2(3t)^2} = e^{30t + 18t^2}
tt yerine 3t3t konulduğunda, t2t^2'li terim için katsayının karesi (32=93^2 = 9) alınarak (2 * 9 = 18) işlem yapılır.
3
YY değişkeni için doğrusal dönüşüm olan MY(−2t)M_Y(-2t) değerini hesaplama.
MY(−2t)=e15(−2t)+4.5(−2t)2=e−30t+4.5(4)t2=e−30t+18t2M_Y(-2t) = e^{15(-2t) + 4.5(-2t)^2} = e^{-30t + 4.5(4)t^2} = e^{-30t + 18t^2}
Negatif katsayı durumunda (-2), karesi alındığında pozitif değere dönüşür (4) ve varyans kısmı eksilmez, toplanmaya devam eder.
4
Elde edilen ifadeleri çarparak nihai sonuca ulaşma.
MW(t)=e5t⋅e30t+18t2⋅e−30t+18t2=e5t+(30t−30t)+(18t2+18t2)=e5t+36t2M_W(t) = e^{5t} \cdot e^{30t + 18t^2} \cdot e^{-30t + 18t^2} = e^{5t + (30t - 30t) + (18t^2 + 18t^2)} = e^{5t + 36t^2}
Üslü sayıların çarpım kuralı gereği tabanlar aynı iken (e) üsler toplanır; 30t30t ve −30t-30t birbirini götürür.

Anahtar Kavram

Bağımsız Değişkenlerin Doğrusal Dönüşümlerinde Moment Çıkaran Fonksiyon (MGF)

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, MGF yapıları incelendiğinde XX'in normal dağılıma (N(10,4)N(10, 4)) ve YY'nin normal dağılıma (N(15,9)N(15, 9)) sahip olduğu görülür. Normal dağılımlı bağımsız değişkenlerin doğrusal kombinasyonu da normal dağılır.
E[W]=3E[X]−2E[Y]+5=3(10)−2(15)+5=5E[W] = 3E[X] - 2E[Y] + 5 = 3(10) - 2(15) + 5 = 5.
Var(W)=32Var(X)+(−2)2Var(Y)=9(4)+4(9)=72Var(W) = 3^2 Var(X) + (-2)^2 Var(Y) = 9(4) + 4(9) = 72.
W∼N(5,72)W \sim N(5, 72) olduğundan, doğrudan MGF kuralı (eμt+σ2t2/2e^{\mu t + \sigma^2 t^2 / 2}) ile MW(t)=e5t+72t2/2=e5t+36t2M_W(t) = e^{5t + 72t^2/2} = e^{5t + 36t^2} yazılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Moment Çıkaran Fonksiyon (MGF) Yöntemi