Bir sigorta şirketi, kasko poliçesi düzenlediği araçların yıllık ortalama hasar onarım mal… — KPSS İstatistik

Bir sigorta şirketi, kasko poliçesi düzenlediği araçların yıllık ortalama hasar onarım maliyetini ( $Y$ ) tahmin etmek amacıyla, araçların kasko bedellerini ( $X$ ) yardımcı değişken olarak kullanmaktadır. Şirket, kitleyi "Binek Araçlar" (Tabaka 1) ve "Ticari Araçlar" (Tabaka 2) olmak üzere iki tabakaya ayırmış ve tabakalı rastgele örnekleme yöntemiyle bir örneklem seçmiştir.

İstatistik	Tabaka 1 (Binek)	Tabaka 2 (Ticari)
Kitle Büyüklüğü ( $N_h$ )	600	400
Örneklem Ortalaması ( $\bar{x}_h$ )	40	60
Örneklem Ortalaması ( $\bar{y}_h$ )	120	200
Kitle Ortalaması ( $\bar{X}_h$ )	45	50
Tabaka Regresyon Katsayısı ( $b_h$ )	1,5	2,0

Kitle büyüklüğü $N = 1000$ ve birleşik regresyon tahminleyicisi için ortak regresyon katsayısı $b_c = 1,6$ olarak verilmiştir.

Buna göre, kitle ortalaması için ayrı regresyon tahminleyicisi ( $\bar{y}_{rs}$ ) ile birleşik regresyon tahminleyicisi ( $\bar{y}_{rc}$ ) kullanılarak elde edilen tahmin değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

148,5 ve 150,4Cevap
B
150,4 ve 148,5
C
153,75 ve 150,4
D
148,5 ve 153,6
E
155,5 ve 150,4

Cevap

Ayrı regresyon tahminleyicisi ile elde edilen kitle ortalaması tahmini 148,5; birleşik regresyon tahminleyicisi ile elde edilen kitle ortalaması tahmini ise 150,4'tür.

Ayrı regresyon tahminleyicisi hesaplanırken formül

\bar{y}_{rs} = \sum W_h [\bar{y}_h + b_h(\bar{X}_h - \bar{x}_h)]

olarak uygulanır. Veriler yerine konulduğunda;

0,6 [120 + 1,5(45-40)] + 0,4 [200 + 2,0(50-60)] = 0,6(127,5) + 0,4(180) = 148,5

bulunur. Birleşik regresyon tahminleyicisinde ise formül

\bar{y}_{rc} = \bar{y}_{st} + b_c(\bar{X} - \bar{x}_{st})

şeklindedir. İlk olarak ağırlıklı ortalamalar bulunur:

\bar{y}_{st} = 152

\bar{x}_{st} = 48

\bar{X} = 47

. Ortak katsayı (

b_c=1,6

) ile düzeltme yapıldığında

152 + 1,6(47-48) = 150,4

elde edilir. İstenen değerler sırasıyla 148,5 ve 150,4 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

Tabaka ağırlıklarının (

W_h

) hesaplanması

W_1 = 600/1000 = 0,6

W_2 = 400/1000 = 0,4

Tabakalı örneklemede genel ortalamaları hesaplayabilmek için kitle büyüklüğündeki tabaka paylarının bulunması gerekir.

Ayrı regresyon tahminleyicisi için her bir tabakanın kendi regresyon tahmininin (

\bar{y}_{rs,h}

) bulunması

Tabaka 1:

120 + 1,5(45 - 40) = 127,5

Tabaka 2:

200 + 2,0(50 - 60) = 180,0

Ayrı regresyon tahminleyicisi, her tabakanın kendi örneklem verisi ve kendi regresyon katsayısı kullanılarak elde edilir.

Ayrı regresyon tahminleyicisi (

\bar{y}_{rs}

) değerinin kitle için birleştirilmesi

\bar{y}_{rs} = 0,6 \times 127,5 + 0,4 \times 180,0 = 76,5 + 72,0 = 148,5

Kitle ortalaması tahmini, tabaka tahminlerinin ağırlıklı toplamı alınarak bulunur.

Birleşik regresyon tahminleyicisi (

\bar{y}_{rc}

) için tabakalı X ve Y ortalamalarının (

\bar{x}_{st}, \bar{y}_{st}

) ile kitle X ortalamasının (

\bar{X}

) hesaplanması

\bar{y}_{st} = 0,6(120) + 0,4(200) = 152

\bar{x}_{st} = 0,6(40) + 0,4(60) = 48

\bar{X} = 0,6(45) + 0,4(50) = 47

Birleşik regresyon tahminleyicisinde düzeltme işlemi, tabaka seviyesinde değil kitle seviyesinde tek bir adımda yapılır.

Birleşik regresyon tahminleyicisinin (

\bar{y}_{rc}

) formülünün uygulanması

\bar{y}_{rc} = \bar{y}_{st} + b_c(\bar{X} - \bar{x}_{st}) = 152 + 1,6(47 - 48) = 152 + 1,6(-1) = 150,4

Hesaplanan tabakalı ortalamalar ve ortak regresyon katsayısı

b_c

formülde yerine konularak nihai tahmin elde edilir.

Anahtar Kavram

Tabakalı örneklemede ayrı regresyon (separate regression estimator) ve birleşik regresyon (combined regression estimator) tahminleyicilerinin formülleri ve uygulama farklılıkları.

Tahmini Süre:4m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular