Examkin

Soru

Zorluk: ZorTahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bir kamu laboratuvarında görevli bir gıda mühendisi, yeni geliştirilen bir gıda koruyucusunun belirli bir standart sıcaklıktaki etkinlik süresini (saat cinsinden) incelemektedir. Etkinlik süresini temsil eden rastgele değişkenin, θ\theta bilinmeyen bir parametre olmak üzere, (θ,θ+5)(\theta, \theta+5) aralığında sürekli düzgün (uniform) dağılıma sahip olduğu varsayılmaktadır. Mühendis, birbirinden bağımsız nn adet ölçüm yaparak X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele örneklemini elde etmiştir.

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi dikkate alındığında, θ\theta parametresi için yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: X(1)=min⁡(X1,…,Xn)X_{(1)} = \min(X_1, \dots, X_n) ve X(n)=max⁡(X1,…,Xn)X_{(n)} = \max(X_1, \dots, X_n) olarak tanımlanmıştır.)

  1. (X(1),X(n))(X_{(1)}, X_{(n)})Cevap
  2. B
    Yalnızca X(n)X_{(n)}
  3. C
    Yalnızca X(1)X_{(1)}
  4. D
    ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i
  5. E
    Xˉ\bar{X}

Cevap

θ\theta parametresi için yeterli istatistik (X(1),X(n))(X_{(1)}, X_{(n)}) vektörüdür.
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre, olabilirlik fonksiyonu L(θ;x)=g(T(x)∣θ)⋅h(x)L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x})|\theta) \cdot h(\mathbf{x}) biçiminde yazıldığında, T(x)T(\mathbf{x}) yeterli istatistiktir. Dağılım (θ,θ+5)(\theta, \theta+5) aralığında olduğu için olabilirlik fonksiyonu ancak tüm veriler bu aralıkta olduğunda sıfırdan farklıdır. Bu koşul, örneklemin en küçük değerinin θ\theta'dan büyük veya eşit (X(1)≥θX_{(1)} \ge \theta) ve örneklemin en büyük değerinin θ+5\theta+5'ten küçük veya eşit (X(n)≤θ+5X_{(n)} \le \theta+5) olmasıyla sağlanır. Parametreye bağlı bu şart g(T(x)∣θ)g(T(\mathbf{x})|\theta) çarpanını oluşturur ve bu fonksiyon veriye yalnızca X(1)X_{(1)} ve X(n)X_{(n)} üzerinden bağlı olduğu için yeterli istatistik bu iki sıra istatistiğinin oluşturduğu vektördür.

Adım Adım Çözüm

1
Sürekli düzgün dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonunu (pdf) gösterge (indicator) fonksiyonu ile tanımlayın.
f(x;θ)=15I(θ≤x≤θ+5)f(x; \theta) = \frac{1}{5} I(\theta \le x \le \theta+5)
Tanım aralığı (destek kümesi) bilinmeyen parametreye bağlı olduğunda, yeterli istatistiği bulabilmek için sınır koşullarını matematiksel olarak ifade etmek zorunludur.
2
nn çaplı örneklem için olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu oluşturun.
L(θ;x)=∏i=1n15I(θ≤xi≤θ+5)=(15)n∏i=1nI(θ≤xi≤θ+5)L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{5} I(\theta \le x_i \le \theta+5) = (\frac{1}{5})^n \prod_{i=1}^n I(\theta \le x_i \le \theta+5)
Örneklemlerin bağımsızlığından dolayı ortak dağılım fonksiyonu, marjinal olasılık fonksiyonlarının çarpımıdır.
3
Gösterge fonksiyonlarının çarpımını, sıra istatistiklerini kullanarak tek bir ifadeye dönüştürün.
Tüm xix_i'lerin θ\theta ile θ+5\theta+5 arasında olması, en küçük değerin θ\theta'dan büyük ve en büyük değerin θ+5\theta+5'ten küçük olması demektir: L(θ;x)=(15)nI(θ≤X(1))I(X(n)≤θ+5)L(\theta; \mathbf{x}) = (\frac{1}{5})^n I(\theta \le X_{(1)}) I(X_{(n)} \le \theta+5)
Ortak gösterge bölgesini parametre ve veri ayrımı yapabilmek için basitleştirmek gereklidir.
4
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni (L(θ;x)=g(T(x)∣θ)⋅h(x)L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x})|\theta) \cdot h(\mathbf{x})) uygulayın.
g(T(x)∣θ)=I(θ≤X(1))I(X(n)≤θ+5)g(T(\mathbf{x})|\theta) = I(\theta \le X_{(1)}) I(X_{(n)} \le \theta+5) ve h(x)=(15)nh(\mathbf{x}) = (\frac{1}{5})^n olarak belirlenir. gg fonksiyonu veriye sadece (X(1),X(n))(X_{(1)}, X_{(n)}) üzerinden bağlıdır.
Teoreme göre, olabilirlik fonksiyonunun parametreye bağlı çarpanı içindeki veri fonksiyonu T(x)T(\mathbf{x}), yeterli istatistiktir.

Anahtar Kavram

Sınırları parametreye bağlı dağılımlarda (düzgün dağılım gibi) yeterli istatistik bulunurken gösterge (indicator) fonksiyonlarının çarpımından doğan sıra istatistiklerinin (minimum ve maksimum) kullanımı.
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bu konudan daha fazla soru