Bir büyükşehir belediyesinde görevli kent plancısı, mahalle bazında 'aktif yeşil alan kull… — KPSS İstatistik

Bir büyükşehir belediyesinde görevli kent plancısı, mahalle bazında 'aktif yeşil alan kullanım oranını' ( $Y$ ) tahmin etmek amacıyla bir çoklu doğrusal regresyon modeli geliştirmektedir. Kurulan ilk modelde açıklayıcı değişken olarak yalnızca 'kişi başına düşen park alanı' ( $X_1$ ) kullanılmıştır. Plancı daha sonra, modelin performansını ve açıklayıcılık gücünü artırabileceği düşüncesiyle, bağımlı değişkenle teorik veya istatistiksel hiçbir bağı bulunmayan 'mahalledeki aydınlatma direği sayısı' ( $X_2$ ) ve 'yıllık asfalt yama sayısı' ( $X_3$ ) gibi ilgisiz değişkenleri analize dahil etmiştir.

Buna göre, yeni değişkenlerin analize entegre edilmesi sonucunda modelin standart belirleme katsayısı ( $R^2$ ) ile düzeltilmiş belirleme katsayısının ( $\bar{R}^2$ ) sergileyeceği davranışlar hakkında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Standart belirleme katsayısı matematiksel özellikleri gereği asla azalmazken; yeni değişkenler modele anlamlı bir açıklama gücü katmadığı ve serbestlik derecesini tükettiği için düzeltilmiş belirleme katsayısında düşüş görülür.Cevap
B
Modele giren her yeni bağımsız değişken toplam varyansın bir kısmını daha açıklayacağından, her iki katsayı da modele eklenen değişken sayısıyla orantılı olarak artış ivmesi gösterir.
C
İlgisiz değişkenlerin modele girmesi, hata kareler toplamını artırıcı bir etki yapacağından standart belirleme katsayısında azalmaya, düzeltilmiş katsayıda ise formül gereği bir artışa neden olur.
D
Yeni parametrelerin istatistiksel olarak anlamsız çıkması modelin genel yapısını değiştirmeyeceği için her iki açıklayıcılık ölçütünün değeri de başlangıçtaki seviyesinde sabit kalır.
E
Modele dahil edilen gereksiz parametreler bağımsız değişkenler arası korelasyonu artıracağından, hem standart hem de düzeltilmiş belirleme katsayılarında eş zamanlı bir küçülme meydana gelir.

Cevap

Standart belirleme katsayısı matematiksel özellikleri gereği asla azalmazken; yeni değişkenler modele anlamlı bir açıklama gücü katmadığı ve serbestlik derecesini tükettiği için düzeltilmiş belirleme katsayısında düşüş görülür.

Standart belirleme katsayısı (

R^2

), En Küçük Kareler (EKK) yönteminin doğası gereği modele yeni bir bağımsız değişken eklendiğinde hiçbir zaman azalmaz. Çünkü yeni değişkenin tahmine katkısı en kötü ihtimalle sıfır olur ve Hata Kareler Toplamı (HKT) sabit kalır. Ancak düzeltilmiş belirleme katsayısı (

\bar{R}^2

), hesaplamasında bağımsız değişken sayısını (

k

) göz önünde bulundurarak bir ceza mekanizması uygular. Modele dahil edilen değişkenler (örnekteki aydınlatma direği veya asfalt yaması gibi) anlamsız olduğunda, bunların modele katkısı, serbestlik derecesinde yarattıkları kaybı telafi edemez. Bunun sonucunda

\bar{R}^2

matematiksel olarak düşüş gösterir.

Adım Adım Çözüm

Standart belirleme katsayısının (

R^2

) modele yeni bağımsız değişken eklenmesi durumundaki matematiksel davranışını analiz etmek.

En Küçük Kareler (EKK) tahmin yöntemi gereği, modele eklenen her yeni değişken (tahmine katkısı hiç olmasa dahi) hata kareler toplamını ya sabit tutar ya da azaltır. Bu nedenle

R^2

formül (1 - HKT/GKT) uyarınca değeri asla düşmez.

Regresyon modelinin açıklama gücünün temel sınırlarını belirlemek için standart katsayının kısıtlarını anlamak esastır.

Düzeltilmiş belirleme katsayısının (

\bar{R}^2

) serbestlik derecesine duyarlılığını değerlendirmek.

\bar{R}^2

formülünde, bağımsız değişken sayısının (

k

) artması paydadaki (

n-k-1

) terimini küçülttüğünden, açıklanan varyans bu kaybı telafi edecek kadar artmazsa model üzerinde ceza etkisi yaratır ve

\bar{R}^2

düşer.

İki katsayı arasındaki farkı ortaya koyan temel mekanizma serbestlik derecesi üzerindeki matematiksel cezalandırmadır.

Anahtar Kavram

Standart ve Düzeltilmiş Belirleme Katsayılarının Karşılaştırmalı Davranışı

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru