Sürekli X ve Y rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi … — KPSS İstatistik

Sürekli $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} 8xy, & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

$U = \frac{X}{Y}$ ve $V = XY$ dönüşümleri tanımlanıyor.

Buna göre, $V$ rastgele değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_V(v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

$f_V(v) = -4v \ln(v), \quad 0 < v < 1$ Cevap
B
$f_V(v) = 8v(1-v), \quad 0 < v < 1$
C
$f_V(v) = -8v \ln(v), \quad 0 < v < 1$
D
$f_V(v) = 2v, \quad 0 < v < 1$
E
$f_V(v) = 8v, \quad 0 < v < 1$

Cevap

Doğru seçenek,

V

'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunun

f_V(v) = -4v \ln(v)

olduğunu belirten seçenektir.

Verilen iki değişkenli dönüşümde marjinal yoğunluk fonksiyonu bulmak için önce ters dönüşümler (

x = \sqrt{uv}, y = \sqrt{v/u}

) elde edilip Jakobiyen (

|J| = 1/(2u)

) hesaplanmalıdır. Orijinal eşitsizliklerden (

0 < x < y < 1

) yeni sınırlar (

0 < v < u < 1

) türetildiğinde ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

4v/u

çıkar.

V

'nin marjinal dağılımını bulmak için bu fonksiyon

u

'ya göre

v

'den

1

'e kadar integre edildiğinde

-4v \ln(v)

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

U

V

dönüşümleri için ters dönüşümleri elde etme

x = \sqrt{uv}

y = \sqrt{v/u}

Jakobiyen determinantını hesaplamak ve

f_{X,Y}

fonksiyonunu

u,v

cinsinden yazmak için

x

y

'nin yalnız bırakılması gerekir.

Jakobiyen determinantını (

|J|

) hesaplama

|J| = \frac{1}{2u}

J = \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}

formülü ile çok değişkenli dönüşümlerde alan/hacim düzeltme faktörü bulunur.

U

V

'nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu (

f_{U,V}(u,v)

) yazma

f_{U,V}(u,v) = 8(\sqrt{uv})(\sqrt{v/u}) \times \frac{1}{2u} = \frac{4v}{u}

f_{X,Y}(x,y)

fonksiyonunda değişkenler yerine yazılır ve elde edilen ifade

|J|

ile çarpılır.

U

V

için yeni tanım sınırlarını bulma

0 < v < u < 1

Orijinal

0 < x < y < 1

kısıtlarına dönüşümler uygulandığında:

\sqrt{uv} < 1 \implies u < 1/v

\sqrt{v/u} < 1 \implies v < u

, ve

\sqrt{uv} < \sqrt{v/u} \implies u < 1

bulunur. Bunların kesişimi

0 < v < u < 1

aralığıdır.

V

'nin marjinal dağılımı için ortak yoğunluk fonksiyonunu

u

üzerinden integre etme

f_V(v) = \int_v^1 \frac{4v}{u} du = -4v \ln(v)

Marjinal dağılımı bulmak için istenmeyen değişken (

u

), kendi sınırları olan

v

'den

1

'e kadar integre edilir.

Anahtar Kavram

İki Değişkenli Sürekli Dağılımlarda Jakobiyen Yöntemi ile Değişken Dönüşümü

Tahmini Süre:4m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular