Sürekli bir X rastgele değişkeni [0, 4] aralığında düzgün (uniform) dağılıma sahiptir. Y =… — KPSS İstatistik

Sürekli bir $X$ rastgele değişkeni $[0, 4]$ aralığında düzgün (uniform) dağılıma sahiptir. $Y = 2X + 3$ şeklinde tanımlanan yeni bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

$f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{8}, & 3 \leq y \leq 11 \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}$ Cevap
B
$f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{4}, & 3 \leq y \leq 11 \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}$
C
$f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{8}, & 0 \leq y \leq 8 \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}$
D
$f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & 3 \leq y \leq 11 \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}$
E
$f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{4}, & 0 \leq y \leq 4 \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}$

Cevap

Olasılık yoğunluk fonksiyonu

3 \leq y \leq 11

aralığında

1/8

değerini alan seçenektir.

Düzgün dağılan bir

X

değişkeninin

Y = aX + b

şeklindeki lineer dönüşümü de düzgün dağılır. Burada

1/4

olan olasılık yoğunluğu, lineer genişleme katsayısının tersi olan

1/2

ile çarpılarak

1/8

değerine düşer. Aynı zamanda

[0, 4]

aralığı,

2(0)+3=3

2(4)+3=11

işlemleriyle

[3, 11]

aralığına taşınır.

Adım Adım Çözüm

Orijinal değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonunu (PDF) belirleyin.

f_X(x) = \frac{1}{4-0} = \frac{1}{4}, \quad 0 \leq x \leq 4

Düzgün dağılımın PDF'i

\frac{1}{b-a}

formülüyle bulunur.

Ters dönüşümü ve Jakobiyen değerini hesaplayın.

x = \frac{y-3}{2} \implies \left| \frac{dx}{dy} \right| = \frac{1}{2}

Y = g(X)

ise

X = g^{-1}(Y)

bulunur ve türevi alınır.

Dönüşüm formülünü uygulayarak

f_Y(y)

fonksiyonunu bulun.

f_Y(y) = f_X(x) \cdot \left| \frac{dx}{dy} \right| = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}

Sürekli rastgele değişkenlerin fonksiyonları için temel PDF dönüşüm kuralıdır.

Yeni değişkenin tanım aralığını (destek kümesini) hesaplayın.

0 \leq x \leq 4 \implies 0 \leq \frac{y-3}{2} \leq 4 \implies 3 \leq y \leq 11

Orijinal

x

sınırları dönüşüm denkleminde yerine konularak yeni

y

sınırları elde edilir.

Anahtar Kavram

Sürekli Rastgele Değişkenlerin Lineer Dönüşümleri

Alternatif Yöntem

Birikimli Dağılım Fonksiyonu (CDF) yöntemi de kullanılabilir:

F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(2X + 3 \leq y) = P(X \leq \frac{y-3}{2}) = F_X(\frac{y-3}{2})

. Bu ifadenin

y

'ye göre türevi alındığında

f_Y(y) = f_X(\frac{y-3}{2}) \cdot \frac{1}{2}

sonucuna ulaşılır.

Tahmini Süre:45s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru