Bir üretim bandında üretilen A ve B tipi iki farklı parçanın ağırlıkları birbirinden bağım… — KPSS İstatistik

Bir üretim bandında üretilen $A$ ve $B$ tipi iki farklı parçanın ağırlıkları birbirinden bağımsız ve normal dağılıma sahiptir.

$A$ tipi parçanın ağırlığı $X_1 \sim N(10, 4)$ ve $B$ tipi parçanın ağırlığı $X_2 \sim N(15, 5)$ olarak verilmektedir (Burada normal dağılım $N(\mu, \sigma^2)$ şeklinde gösterilmektedir).

Bu üretim sürecinde, parçalardan rastgele seçilen bir $A$ tipi parçanın ağırlığının $3$ katı ile bir $B$ tipi parçanın ağırlığının $2$ katı arasındaki farka $5$ birim eklenerek yeni bir $Y$ rastgele değişkeni elde edilmektedir. Yani, $Y = 3X_1 - 2X_2 + 5$ dönüşümü tanımlanmıştır.

Verilen bilgilere göre, $Y$ rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu (MGF) olan $M_Y(t)$ aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$e^{5t + 28t^2}$ Cevap
B
$e^{5t + 8t^2}$
C
$e^{28t^2}$
D
$e^{5t + 11t^2}$
E
$e^{5t + t^2}$

Cevap

Doğru moment çıkaran fonksiyon

e^{5t + 28t^2}

ifadesidir.

Y

rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonunu bulmak için ya doğrusal dönüşümün temel özellikleri (

E[Y]

Var(Y)

) hesaplanıp doğrudan normal dağılımın MGF formülüne geçiş yapılır ya da

M_{aX+b}(t) = e^{bt} M_X(at)

kuralı uygulanır. İkinci yöntemle:

M_Y(t) = e^{5t} M_{X_1}(3t) M_{X_2}(-2t)

. Burada

M_{X_1}(t) = e^{10t+2t^2}

M_{X_2}(t) = e^{15t+2.5t^2}

olduğundan,

M_{X_1}(3t) = e^{30t+18t^2}

M_{X_2}(-2t) = e^{-30t+10t^2}

olur. Bunların çarpımı

e^{5t} e^{30t+18t^2} e^{-30t+10t^2} = e^{5t+28t^2}

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

Y

rastgele değişkeninin beklenen değerini (ortalamasını) hesaplamak.

\mu_Y = E[3X_1 - 2X_2 + 5] = 3E[X_1] - 2E[X_2] + 5 = 3(10) - 2(15) + 5 = 5

MGF formülünde kullanmak üzere yeni değişkenin ortalamasına ihtiyaç vardır.

Y

rastgele değişkeninin varyansını hesaplamak.

\sigma_Y^2 = Var(3X_1 - 2X_2 + 5) = 3^2 Var(X_1) + (-2)^2 Var(X_2) = 9(4) + 4(5) = 36 + 20 = 56

Normal dağılımın parametrelerini tamamlamak için varyansın, katsayıların karesi alınarak toplanması gerekir.

Bulunan parametreleri normal dağılımın moment çıkaran fonksiyonu formülünde yerine koymak.

M_Y(t) = e^{\mu_Y t + \frac{1}{2}\sigma_Y^2 t^2} = e^{5t + \frac{1}{2}(56)t^2} = e^{5t + 28t^2}

Normal dağılıma sahip bağımsız değişkenlerin doğrusal kombinasyonu da normal dağılır; elde edilen yeni

\mu

\sigma^2

değerleri ile MGF belirlenir.

Anahtar Kavram

Moment Çıkaran Fonksiyonlar (MGF) ve Beklenen Değer/Varyans Özellikleri

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular