Examkin

Soru

Zorluk: OrtaRastgele Değişkenlerin Dönüşümleri (Fonksiyonlarının Dağılımı)

Bir XX sürekli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

fX(x)={2x,0<x<10,dig˘er durumlardaf_X(x) = \begin{cases} 2x, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, Y=−2ln⁡(X)Y = -2\ln(X) dönüşümü ile elde edilen YY rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu fY(y)f_Y(y) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. fY(y)=e−y,y>0f_Y(y) = e^{-y}, \quad y > 0Cevap
  2. B
    fY(y)=2e−y/2,y>0f_Y(y) = 2e^{-y/2}, \quad y > 0
  3. C
    fY(y)=e−y,0<y<1f_Y(y) = e^{-y}, \quad 0 < y < 1
  4. D
    fY(y)=12e−y/2,y>0f_Y(y) = \frac{1}{2}e^{-y/2}, \quad y > 0
  5. E
    fY(y)=4e−y,y>0f_Y(y) = 4e^{-y}, \quad y > 0

Cevap

YY rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu fY(y)=e−y,y>0f_Y(y) = e^{-y}, \quad y > 0 olarak bulunur. Bu fonksiyon, üstel dağılıma işaret etmektedir.
Doğru seçenekte, tek değişkenli sürekli rastgele değişken dönüşüm kuralı eksiksiz uygulanmıştır. Öncelikle x=e−y/2x = e^{-y/2} olarak bulunmuş, bu ifadenin yy'ye göre türevinin mutlak değeri ∣dx/dy∣=12e−y/2|dx/dy| = \frac{1}{2}e^{-y/2} hesaplanmıştır. Verilen fX(x)=2xf_X(x) = 2x fonksiyonunda yerine yazıldığında fY(y)=2(e−y/2)⋅12e−y/2=e−yf_Y(y) = 2(e^{-y/2}) \cdot \frac{1}{2}e^{-y/2} = e^{-y} elde edilmiştir. 0<X<10 < X < 1 sınırları da y>0y > 0 olarak doğru güncellenmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Y=−2ln⁡(X)Y = -2\ln(X) denkleminden XX değişkenini yalnız bırakma.
−y/2=ln⁡(X)  ⟹  X=e−y/2-y/2 = \ln(X) \implies X = e^{-y/2} elde edilir.
Tek değişkenli dönüşüm kuralını (veya CDF yöntemini) uygulamak için ters fonksiyonun bulunması gerekir.
2
Türev alma ve mutlak değerini hesaplama.
dx/dy=−12e−y/2dx/dy = -\frac{1}{2}e^{-y/2} olur. Mutlak değeri ise ∣dx/dy∣=12e−y/2|dx/dy| = \frac{1}{2}e^{-y/2} olarak bulunur.
Sürekli rastgele değişkenlerde dönüşüm yaparken alanın/olasılığın korunması için türevin mutlak değeri ile çarpılması kuralı vardır.
3
YY rastgele değişkeninin tanım aralığını (sınırlarını) belirleme.
0<X<10 < X < 1 eşitsizliğinde XX yerine e−y/2e^{-y/2} yazılırsa: 0<e−y/2<1  ⟹  y>00 < e^{-y/2} < 1 \implies y > 0 bulunur.
Yeni değişkenin hangi aralıkta olasılık taşıdığını (support) doğru tespit etmek zorunludur.
4
Dönüşüm formülünü (fY(y)=fX(v(y))⋅∣v′(y)∣f_Y(y) = f_X(v(y)) \cdot |v'(y)|) uygulama.
fY(y)=2(e−y/2)⋅(12e−y/2)=e−yf_Y(y) = 2(e^{-y/2}) \cdot (\frac{1}{2}e^{-y/2}) = e^{-y} elde edilir. Tanım aralığı ile birleşince fY(y)=e−y,  y>0f_Y(y) = e^{-y}, \; y > 0 olur.
Tüm bileşenleri bir araya getirerek YY'nin olasılık yoğunluk fonksiyonuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sürekli Rastgele Değişkenlerde Tek Değişkenli Dönüşüm (Değişken Değiştirme Yöntemi)
Bu soruyu puanla

Konular

Rastgele Değişkenlerin Dönüşümleri (Fonksiyonlarının Dağılımı)