Examkin

Soru

Zorluk: OrtaOran ve Regresyon Tahminleyicilerinin Karşılaştırılması

Basit rastgele örnekleme yönteminde, kitle ortalamasını tahmin etmek amacıyla yardımcı değişken (XX) kullanılarak geliştirilen oran (yˉR\bar{y}_R) ve doğrusal regresyon (yˉlr\bar{y}_{lr}) tahminleyicilerinin etkinliği ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. Doğrusal regresyon tahminleyicisinin varyansı, oran tahminleyicisinin varyansına her zaman eşit veya ondan küçüktür.Cevap
  2. B
    ρ<Cx2Cy\rho < \frac{C_x}{2C_y} koşulu sağlandığında oran tahminleyicisi, basit aritmetik ortalama tahminleyicisinden (yˉ\bar{y}) daha etkindir.
  3. C
    Oran tahminleyicisi, yardımcı değişken ile ilgilenilen değişken arasındaki ilişkinin orijinden geçmediği durumlarda regresyon tahminleyicisinden daha etkindir.
  4. D
    Regresyon tahminleyicisinin varyansı, yardımcı değişken ile ilgilenilen değişken arasındaki korelasyon (ρ\rho) negatif olduğunda basit aritmetik ortalamanın varyansından daha büyüktür.
  5. E
    ρ=Cy2Cx\rho = \frac{C_y}{2C_x} olduğunda oran tahminleyicisi ve regresyon tahminleyicisi aynı varyansa sahiptir.

Cevap

Doğrusal regresyon tahminleyicisinin varyansı, oran tahminleyicisinin varyansına her zaman eşit veya ondan küçüktür.
Doğrusal regresyon tahminleyicisi, ilgilenilen değişken ile yardımcı değişken arasındaki doğrusal ilişkiyi en iyi açıklayan katsayıyı kullandığı için, bu ilişkiyi sabit bir oran (R) üzerinden modelleyen oran tahminleyicisinden her zaman daha etkin (veya eşit) sonuç verir. Matematiksel fark her zaman pozitif bir kare ifadedir.

Adım Adım Çözüm

1
Tahminleyicilerin varyans (hata kareler ortalaması) formüllerini karşılaştırın.
Var(yˉlr)≈1−fnSy2(1−ρ2)\text{Var}(\bar{y}_{lr}) \approx \frac{1-f}{n} S_y^2 (1 - \rho^2) ve Var(yˉR)≈1−fn(Sy2+R2Sx2−2RρSxSy)\text{Var}(\bar{y}_R) \approx \frac{1-f}{n} (S_y^2 + R^2 S_x^2 - 2R \rho S_x S_y) olduğu bilinmektedir.
Etkinlik kıyaslaması yapmak için tahminleyicilerin varyans değerlerinin matematiksel yapısını anlamak gerekir.
2
Varyanslar arasındaki farkı inceleyin.
Var(yˉR)−Var(yˉlr)≈1−fn(RSx−ρSy)2\text{Var}(\bar{y}_R) - \text{Var}(\bar{y}_{lr}) \approx \frac{1-f}{n} (R S_x - \rho S_y)^2
İki tahminleyici arasındaki varyans farkının tam kare bir ifadeye (her zaman ≥0\geq 0) dönüştürülebilmesi, birinin diğerinden her zaman daha etkin olduğunu gösterir.
3
Kesinlik sonucuna ulaşın.
Tam kare ifade sıfıra eşit veya büyük olduğundan, regresyon tahminleyicisinin varyansı her zaman oran tahminleyicisinden küçük veya eşittir.
Matematiksel olarak (RSx−ρSy)2≥0(R S_x - \rho S_y)^2 \geq 0 olması, doğrusal regresyonun oran tahminleyicisinden daha az varyansa sahip olduğunu ispatlar.

Anahtar Kavram

Tahminleyicilerin Etkinlik Hiyerarşisi
Bu soruyu puanla

Konular

Oran ve Regresyon Tahminleyicilerinin Karşılaştırılması