y ilgilenilen değişken ve x yardımcı değişken olmak üzere; basit rastgele örnekleme tasarı… — KPSS İstatistik

$y$ ilgilenilen değişken ve $x$ yardımcı değişken olmak üzere; basit rastgele örnekleme tasarımında oran tahminleyicisinin ( $\bar{y}_R$ ), kitle ortalaması tahmini için örneklem ortalamasından ( $\bar{y}$ ) daha etkin (daha küçük varyanslı) olması aşağıdaki koşullardan hangisine bağlıdır?

( $\rho$ : $y$ ve $x$ arasındaki korelasyon katsayısı, $C_y$ : $y$ değişkeninin değişim katsayısı, $C_x$ : $x$ değişkeninin değişim katsayısıdır.)

$\rho > \frac{C_x}{2C_y}$ Cevap
B
$\rho > \frac{C_y}{2C_x}$
C
$\rho > \frac{C_x}{C_y}$
D
$\rho^2 > \frac{C_x}{2C_y}$
E
$\rho > 0,5$

Cevap

Oran tahminleyicisinin örneklem ortalamasından daha etkin olabilmesi için korelasyon katsayısı

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

koşulunu sağlamalıdır.

Basit rastgele örneklemede oran tahminleyicisinin varyansı yaklaşık olarak

V(\bar{y}_R) \approx \frac{1-f}{n} \bar{Y}^2 (C_y^2 + C_x^2 - 2\rho C_y C_x)

şeklindedir. Bu değerin örneklem ortalamasının varyansı olan

V(\bar{y}) \approx \frac{1-f}{n} \bar{Y}^2 C_y^2

değerinden küçük olması için

C_x^2 - 2\rho C_y C_x < 0

olması gerekir. Buradan sadeleştirme yapıldığında

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

koşulu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Varyans formüllerini karşılaştırın.

V(\bar{y}_R) < V(\bar{y})

eşitsizliğini kurun.

Etkinlik, daha küçük varyansa sahip olma durumuyla ölçülür.

Eşitsizliği değişim katsayıları cinsinden sadeleştirin.

C_y^2 + C_x^2 - 2\rho C_y C_x < C_y^2

ifadesini elde edin.

Oran tahminleyicisinin varyans yaklaşımında yer alan terimler sadeleştirilerek temel koşula ulaşılır.

\rho

değerini yalnız bırakın.

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

sonucuna ulaşın.

Korelasyonun, değişim katsayıları arasındaki oranın yarısından büyük olması gerektiğini gösteren nihai koşuldur.

Anahtar Kavram

Oran Tahminleyicisinin Etkinlik Koşulu

İpuçları

Oran tahminleyicisinin varyans formülünde yardımcı değişkenin etkisi olan

C_x

ve korelasyonu içeren terimleri düşünün.

Eşitsizliğin bir tarafında korelasyon katsayısı (

\rho

), diğer tarafında değişim katsayılarının oranı yer almalıdır.

Daha Fazla Pratik

Değişim katsayılarının eşit olduğu durumda bu koşulun nasıl değiştiğini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Konular