Basit rastgele örnekleme yönteminde, kitle ortalamasını tahmin etmek amacıyla kullanılan o… — KPSS İstatistik

Basit rastgele örnekleme yönteminde, kitle ortalamasını tahmin etmek amacıyla kullanılan oran tahminleyicisinin ( $\bar{y}_R$ ), kitle ortalaması tahminleyicisinden ( $\bar{y}$ ) daha etkin ( $V(\bar{y}_R) < V(\bar{y})$ ) olabilmesi için ilgilenilen değişken ( $y$ ) ile yardımcı değişken ( $x$ ) arasındaki korelasyon katsayısı ( $\rho$ ) yaklaşık olarak aşağıdaki koşullardan hangisini sağlamalıdır? (Not: $C_x$ ve $C_y$ sırasıyla $x$ ve $y$ değişkenlerinin değişim katsayılarıdır.)

$\rho > \frac{C_x}{2C_y}$ Cevap
B
$\rho > \frac{C_y}{2C_x}$
C
$\rho < \frac{C_x}{2C_y}$
D
$\rho > \frac{C_x}{C_y}$
E
$\rho^2 > \frac{C_x}{2C_y}$

Cevap

Oran tahminleyicisinin kitle ortalaması tahminleyicisinden daha etkin olması için korelasyon katsayısının

\rho > \frac{C_x}{2C_y}

koşulunu sağlaması gerekir.

Oran tahminleyicisinin kitle ortalaması tahminleyicisinden daha küçük bir hata karesi ortalamasına sahip olması, korelasyon katsayısının yardımcı değişkenin değişim katsayısının ilgilenilen değişkenin değişim katsayısının iki katına oranından büyük olmasına (

\rho > C_x / 2C_y

) bağlıdır.

Adım Adım Çözüm

Tahminleyicilerin yaklaşık varyans ifadeleri yazılır.

V(\bar{y}) \approx \frac{1-f}{n} \bar{Y}^2 C_y^2

V(\bar{y}_R) \approx \frac{1-f}{n} \bar{Y}^2 (C_y^2 + C_x^2 - 2\rho C_y C_x)

Etkinlik karşılaştırması yapabilmek için her iki tahminleyicinin hata varyanslarının bilinmesi gerekir.

Oran tahminleyicisinin daha etkin olma koşulu olan

V(\bar{y}_R) < V(\bar{y})

eşitsizliği kurulur.

C_y^2 + C_x^2 - 2\rho C_y C_x < C_y^2

haline gelir.

Ortak çarpanlar olan

\frac{1-f}{n} \bar{Y}^2

terimleri sadeleştirilerek temel bileşenlere odaklanılır.

Eşitsizlik

\rho

parametresi için çözülür.

C_x^2 < 2\rho C_y C_x \Rightarrow C_x < 2\rho C_y \Rightarrow \rho > \frac{C_x}{2C_y}

Değişim katsayıları pozitif olduğu için sadeleştirme yapıldığında eşitsizlik yön değiştirmez ve kesin koşul elde edilir.

Anahtar Kavram

Oran tahminleyicisinin etkinliği, yardımcı değişken ile ilgilenilen değişken arasındaki korelasyonun gücüne ve bu değişkenlerin değişkenlik düzeylerine (değişim katsayılarına) bağlıdır.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular