Examkin

Soru

Zorluk: ZorKüme Örneklemesinde Oran Tahmini

Bir İl Kültür ve Turizm Müdürlüğü, il genelinde bulunan N=40N = 40 halk kütüphanesindeki (küme) kitapların yıpranma durumunu incelemek ve onarım (ciltleme) gerektiren kitapların oranını tahmin etmek istemektedir.

Bu amaçla rastgele n=4n = 4 kütüphane seçilmiş ve bu kütüphanelerdeki toplam kitap sayıları (MiM_i) ile onarım gerektiren kitap sayıları (aia_i) aşağıdaki gibi tespit edilmiştir:

Kütüphane (ii)Toplam Kitap Sayısı (MiM_i)Onarım Gerektiren Kitap Sayısı (aia_i)
140060
260060
320060
4800120

Buna göre, il genelindeki halk kütüphanelerinde onarım gerektiren kitap oranının tahmini (P^\hat{P}) ve bu tahminin varyansı (V(P^)V(\hat{P})) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 0,1500,150 ve 0,0005400,000540Cevap
  2. B
    0,1500,150 ve 0,0006000,000600
  3. C
    0,1750,175 ve 0,0005400,000540
  4. D
    0,1750,175 ve 0,0016880,001688
  5. E
    0,1500,150 ve 0,0004050,000405

Cevap

İl genelindeki kütüphanelerdeki kitaplar için onarım gerektiren kitap oranının tahmini 0,1500,150 ve bu tahminin varyansı 0,0005400,000540'tır.
Küme örneklemesinde eleman sayıları farklı (MiM_i) olduğunda kitle oranın tahmini ağırlıklı bir şekilde P^=∑ai∑Mi\hat{P} = \frac{\sum a_i}{\sum M_i} formülüyle hesaplanır ve 300/2000=0,150300/2000 = 0,150 bulunur. Varyans hesabında ise kümeler arası değişim dikkate alınarak sc2=∑(ai−P^Mi)2n−1=18003=600s_c^2 = \frac{\sum (a_i - \hat{P}M_i)^2}{n-1} = \frac{1800}{3} = 600 bulunur ve sonlu kitle düzeltme çarpanı (1−f1-f) eklenerek V(P^)=1−fnMˉ2sc2=0,94×250000×600=0,000540V(\hat{P}) = \frac{1-f}{n\bar{M}^2} s_c^2 = \frac{0,9}{4 \times 250000} \times 600 = 0,000540 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklemdeki toplam kitap sayısını (∑Mi\sum M_i) ve toplam onarım gerektiren kitap sayısını (∑ai\sum a_i) hesaplayın.
∑Mi=400+600+200+800=2000\sum M_i = 400 + 600 + 200 + 800 = 2000
∑ai=60+60+60+120=300\sum a_i = 60 + 60 + 60 + 120 = 300
Küme örneklemesinde oran tahmini, gözlem birimlerinin toplam sayısına göre ağırlıklandırılarak bulunur.
2
Kitle oranının tahminini (P^\hat{P}) hesaplayın.
P^=∑ai∑Mi=3002000=0,150\hat{P} = \frac{\sum a_i}{\sum M_i} = \frac{300}{2000} = 0,150
Kümeler farklı büyüklükte olduğu için basit ortalama yerine yığınsal (oran) tahminleyici kullanılmalıdır.
3
Varyans hesabında kullanılacak kümeler arası değişim için ai−P^Mia_i - \hat{P}M_i sapmalarını bulun ve kareleri toplamını hesaplayın.
1. Küme: 60−0,15(400)=60−60=0  ⟹  02=060 - 0,15(400) = 60 - 60 = 0 \implies 0^2 = 0
2. Küme: 60−0,15(600)=60−90=−30  ⟹  (−30)2=90060 - 0,15(600) = 60 - 90 = -30 \implies (-30)^2 = 900
3. Küme: 60−0,15(200)=60−30=30  ⟹  302=90060 - 0,15(200) = 60 - 30 = 30 \implies 30^2 = 900
4. Küme: 120−0,15(800)=120−120=0  ⟹  02=0120 - 0,15(800) = 120 - 120 = 0 \implies 0^2 = 0
Kareler Toplamı = 0+900+900+0=18000 + 900 + 900 + 0 = 1800
Küme örneklemesinde oran varyansı, her bir kümenin hedeflenen orandan ne kadar saptığını ölçen artıklar üzerinden bulunur.
4
Sapma kareleri üzerinden sc2s_c^2 değerini hesaplayın.
sc2=∑(ai−P^Mi)2n−1=18004−1=18003=600s_c^2 = \frac{\sum (a_i - \hat{P}M_i)^2}{n - 1} = \frac{1800}{4 - 1} = \frac{1800}{3} = 600
Örneklem üzerinden hesaplanan kümeler arası varyans tahmini, serbestlik derecesine (n−1n-1) bölünerek elde edilir.
5
Sonlu kitle düzeltme çarpanını (1−f1-f) ve ortalama küme büyüklüğünü (Mˉ\bar{M}) kullanarak varyans tahminini (V(P^)V(\hat{P})) hesaplayın.
f=nN=440=0,1  ⟹  1−f=0,9f = \frac{n}{N} = \frac{4}{40} = 0,1 \implies 1 - f = 0,9
Mˉ=∑Min=20004=500\bar{M} = \frac{\sum M_i}{n} = \frac{2000}{4} = 500
V(P^)=1−fnMˉ2sc2=0,94×5002×600=0,91.000.000×600=5401.000.000=0,000540V(\hat{P}) = \frac{1-f}{n\bar{M}^2} s_c^2 = \frac{0,9}{4 \times 500^2} \times 600 = \frac{0,9}{1.000.000} \times 600 = \frac{540}{1.000.000} = 0,000540
N=40 bilindiği için fpc uygulanmalıdır ve oranın varyansı küme büyüklüklerinin karesiyle ters orantılıdır.

Anahtar Kavram

Farklı Büyüklüklü Kümelerde Oran Tahmini ve Varyansı

Alternatif Yöntem

Varyans hesabında ai−P^Mia_i - \hat{P}M_i farklarının karesini almak yerine, pi=ai/Mip_i = a_i/M_i alt oranlarını hesaplayıp formülü Mi2(pi−P^)2M_i^2 (p_i - \hat{P})^2 şeklinde dönüştürerek de aynı sc2s_c^2 sonucuna ulaşılabilir.
Bu soruyu puanla

Konular

Küme Örneklemesinde Oran Tahmini

Bu konudan daha fazla soru