Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKüme Örneklemesinde Oran Tahmini

Bir tekstil fabrikasında üretilen ürünlerin hatalı olma oranını tahmin etmek amacıyla, depodaki N=100N=100 adet koli arasından küme örneklemesi yöntemiyle n=5n=5 koli rastgele seçilmiştir. Seçilen kolilerdeki toplam ürün sayıları (MiM_i) ve içlerindeki kusurlu ürün sayıları (aia_i) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Koli NoÜrün Sayısı (MiM_i)Kusurlu Ürün Sayısı (aia_i)
1204
2256
3153
4202
5205

Buna göre, kitle oran tahmini (p^\hat{p}) ve bu tahminin varyansı V^(p^)\hat{V}(\hat{p}) değerleri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 0,2000,200 ve 0,00071250,0007125Cevap
  2. B
    0,1980,198 ve 0,00071250,0007125
  3. C
    0,2000,200 ve 0,00075000,0007500
  4. D
    0,1980,198 ve 0,00075000,0007500
  5. E
    0,2000,200 ve 0,00356250,0035625

Cevap

0,2000,200 oran tahmini ve 0,00071250,0007125 varyans değerini içeren seçenek doğrudur.
Küme örneklemesinde oran tahmini, örneklemdeki toplam kusurlu birim sayısının (2020) toplam birim sayısına (100100) bölünmesiyle 0,200,20 olarak bulunur. Varyans hesaplanırken küme büyüklüklerinin farklılığı dikkate alınarak sapmalar üzerinden işlem yapılır ve iadesiz seçim yapıldığı için 0,950,95 olan sonlu kitle düzeltme çarpanı kullanılır. Bu işlemler sonucunda varyans 0,00071250,0007125 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kitle oran tahmininin (p^\hat{p}) hesaplanması.
p^=∑ai∑Mi=4+6+3+2+520+25+15+20+20=20100=0,20\hat{p} = \frac{\sum a_i}{\sum M_i} = \frac{4+6+3+2+5}{20+25+15+20+20} = \frac{20}{100} = 0,20
Küme örneklemesinde oran tahmini, örneklemdeki toplam özellikli birim sayısının toplam gözlem birimi sayısına bölünmesiyle elde edilen oran tahminleyicisi (ratio estimator) ile yapılır.
2
Küme içi sapmaların karesinin hesaplanması.
∑(ai−p^Mi)2=(4−0,2⋅20)2+(6−0,2⋅25)2+(3−0,2⋅15)2+(2−0,2⋅20)2+(5−0,2⋅20)2=02+12+02+(−2)2+12=6\sum (a_i - \hat{p}M_i)^2 = (4-0,2\cdot 20)^2 + (6-0,2\cdot 25)^2 + (3-0,2\cdot 15)^2 + (2-0,2\cdot 20)^2 + (5-0,2\cdot 20)^2 = 0^2 + 1^2 + 0^2 + (-2)^2 + 1^2 = 6
Varyans formülünde kullanılan toplam kareler ifadesini elde etmek için her küme için beklenen değerden sapmalar bulunur.
3
Ortalama küme büyüklüğünün (Mˉ\bar{M}) hesaplanması.
Mˉ=∑Min=1005=20\bar{M} = \frac{\sum M_i}{n} = \frac{100}{5} = 20
Varyans formülünde paydada yer alan ortalama küme büyüklüğü değerini bulmak gerekir.
4
Tahminin varyansının (V^(p^)\hat{V}(\hat{p})) hesaplanması.
V^(p^)=1−fnMˉ2∑(ai−p^Mi)2n−1=1−0,055⋅202⋅64=0,952000⋅1,5=0,000475⋅1,5=0,0007125\hat{V}(\hat{p}) = \frac{1-f}{n \bar{M}^2} \frac{\sum (a_i - \hat{p}M_i)^2}{n-1} = \frac{1-0,05}{5 \cdot 20^2} \cdot \frac{6}{4} = \frac{0,95}{2000} \cdot 1,5 = 0,000475 \cdot 1,5 = 0,0007125
Sonlu kitle düzeltme çarpanı (1−f=1−5/100=0,951-f = 1 - 5/100 = 0,95) dahil edilerek varyans formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Küme Örneklemesinde Oran Tahminleyicisi ve Varyansı

Alternatif Yöntem

Varyans hesabında ∑(ai−p^Mi)2\sum (a_i - \hat{p}M_i)^2 yerine ∑ai2−2p^∑aiMi+p^2∑Mi2\sum a_i^2 - 2\hat{p}\sum a_i M_i + \hat{p}^2\sum M_i^2 açılımı da kullanılabilir, ancak sapmalar üzerinden gitmek genellikle işlem kolaylığı sağlar.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Küme Örneklemesinde Oran Tahmini

Bu konudan daha fazla soru