Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDağılımda Yakınsama

Olasılık teorisinde rastgele değişken dizilerinin yakınsama türleri arasındaki ilişkiler ve asimptotik özellikleri istatistiksel çıkarsama için büyük önem taşır.

Aynı olasılık uzayında tanımlı {Xn}\{X_n\} ve {Yn}\{Y_n\} rastgele değişken dizileri verilmiş olsun. n→∞n \to \infty iken XnX_n dizisinin XX rastgele değişkenine dağılımda yakınsadığı (Xn→dXX_n \xrightarrow{d} X), YnY_n dizisinin ise sıfırdan farklı sabit bir cc sayısına olasılıkta yakınsadığı (Yn→pcY_n \xrightarrow{p} c) bilinmektedir.

Buna göre, bu dizilerin asimptotik davranışları hakkında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. Xn⋅YnX_n \cdot Y_n çarpımı, c⋅Xc \cdot X rastgele değişkenine dağılımda yakınsar.Cevap
  2. B
    Xn+YnX_n + Y_n toplamı, X+cX + c rastgele değişkenine olasılıkta yakınsar.
  3. C
    XnX_n dizisi XX'e dağılımda yakınsadığından, XnX_n dizisi XX'e hemen hemen kesin (almost sure) yakınsar.
  4. D
    YnY_n dizisi sabit bir cc değerine olasılıkta yakınsadığı için, YnY_n dizisi cc'ye karesel ortalamada (in mean square) her zaman yakınsar.
  5. E
    XnX_n dizisinin birikimli dağılım fonksiyonu FXn(x)F_{X_n}(x), limit değişkeni XX'in birikimli dağılım fonksiyonu FX(x)F_X(x)'e tüm gerçel sayılar kümesindeki her xx noktası için yakınsar.

Cevap

Dizilerin çarpımı olan X_n * Y_n dizisinin c * X rastgele değişkenine dağılımda yakınsadığını ifade eden seçenek doğrudur.
Slutsky Teoremi, asimptotik teoride rastgele değişken dizileri üzerinde yapılan cebirsel işlemlerin limit dağılımlarını belirlemek için temel bir araçtır. Eğer bir {Xn}\{X_n\} dizisi XX'e dağılımda yakınsıyor (Xn→dXX_n \xrightarrow{d} X) ve bir {Yn}\{Y_n\} dizisi sabit bir cc sayısına olasılıkta yakınsıyorsa (Yn→pcY_n \xrightarrow{p} c), Slutsky Teoremi gereğince bu dizilerin çarpımı olan Xn⋅YnX_n \cdot Y_n, c⋅Xc \cdot X rastgele değişkenine dağılımda yakınsar (Xn⋅Yn→dc⋅XX_n \cdot Y_n \xrightarrow{d} c \cdot X). Aynı kural toplamlar için de geçerlidir (Xn+Yn→dX+cX_n + Y_n \xrightarrow{d} X + c).

Adım Adım Çözüm

1
Soruda verilen yakınsama türlerini ve özelliklerini tanımlama.
Xn→dXX_n \xrightarrow{d} X (Dağılımda yakınsama) ve Yn→pcY_n \xrightarrow{p} c (Sabite olasılıkta yakınsama) koşulları belirlenir.
Uygulanacak limit teoremini seçebilmek için mevcut dizilerin asimptotik davranışlarının tespit edilmesi gerekir.
2
Diziler arasındaki işlemlerde kullanılması gereken uygun asimptotik teoremi belirleme.
Bir dizi dağılımda, diğer dizi ise bir sabite olasılıkta yakınsadığı için bu senaryonun Slutsky Teoremi'nin temel tanımına uyduğu saptanır.
Slutsky Teoremi, farklı türde yakınsayan iki dizinin toplam, fark, çarpım ve bölümlerinin asimptotik özelliklerini açıklar.
3
Slutsky Teoremi'nin sonuçlarını değerlendirip seçeneklerle eşleştirme.
Teoreme göre Xn⋅Yn→dc⋅XX_n \cdot Y_n \xrightarrow{d} c \cdot X ve Xn+Yn→dX+cX_n + Y_n \xrightarrow{d} X + c olmalıdır. Sadece çarpımın dağılımda yakınsadığı ifade doğrudur.
Teorem, sonuçların en zayıf yakınsama türü olan 'dağılımda yakınsama' formatında olacağını garanti eder, olasılıkta yakınsamaya yükseltmez.

Anahtar Kavram

Slutsky Teoremi ve Yakınsama Hiyerarşisi
Bu soruyu puanla

Konular

Dağılımda Yakınsama

Bu konudan daha fazla soru