Examkin

Soru

Zorluk: ZorDağılımda Yakınsama

İstatistiksel asimptotik teori kapsamında incelenen {Xn}\{X_n\} ve {Yn}\{Y_n\} rastgele değişken dizileri tanımlanmıştır. {Xn}\{X_n\} dizisinin bir XX rastgele değişkenine dağılımda yakınsadığı (Xn→dXX_n \xrightarrow{d} X) ve {Yn}\{Y_n\} dizisinin ise sıfır olmayan sabit bir θ\theta değerine olasılıkta yakınsadığı (Yn→pθY_n \xrightarrow{p} \theta) varsayılmaktadır. Ayrıca XnX_n ve XX değişkenlerine ait birikimli dağılım fonksiyonları sırasıyla Fn(x)F_n(x) ve F(x)F(x) ile gösterilmektedir.

Limit teoremleri ve yakınsama türleri arasındaki ilişkiler göz önüne alındığında, aşağıdaki yargılardan hangisi teorik olarak kesinlikle doğrudur?

  1. A
    Hiyerarşik olarak en katı yakınsama türü dağılımda yakınsamadır; dolayısıyla Xn→dXX_n \xrightarrow{d} X olması durumunda Xn+YnX_n + Y_n toplamı X+θX + \theta sonucuna olasılıkta yakınsar.
  2. B
    Dağılımda yakınsama, dizinin XX'e hemen hemen kesin (almost sure) yakınsadığının yeterli bir koşuludur; bu sebeple XnYnX_n Y_n ifadesi θX\theta X değişkenine olasılıkta yakınsar.
  3. C
    Yn→pθY_n \xrightarrow{p} \theta ifadesi, {Yn}\{Y_n\} dizisinin θ\theta'ya rr-yinci mertebeden ortalamada (in rr-th mean) yakınsadığını kanıtlar ve Xn−YnX_n - Y_n farkı X−θX - \theta değerine hemen hemen kesin yakınsar.
  4. Fn(x)F_n(x) dizisi, F(x)F(x) fonksiyonunun sürekli olduğu tüm noktalarda F(x)F(x)'e yakınsar ve Slutsky kuralı uyarınca Xn/YnX_n / Y_n oranı dağılımda X/θX / \theta değişkenine yakınsama gösterir.Cevap
  5. E
    Birikimli dağılım fonksiyonlarının limit değerleri hesaplanırken alt sınır sıfır alındığı için, Fn(x)F_n(x) fonksiyonel dizisi yalnızca pozitif xx değerleri için F(x)F(x)'e yaklaşır.

Cevap

Fn(x)F_n(x) dizisi, F(x)F(x) fonksiyonunun sürekli olduğu tüm noktalarda F(x)F(x)'e yakınsar ve Slutsky kuralı uyarınca Xn/YnX_n / Y_n oranı dağılımda X/θX / \theta değişkenine yakınsama gösterir.
Dağılımda yakınsamanın matematiksel tanımı gereği, dizinin birikimli dağılım fonksiyonu olan Fn(x)F_n(x), limit fonksiyonu F(x)F(x)'in sürekli olduğu her xx reel sayısında ona yakınsamak zorundadır. Ek olarak, Slutsky Teoremi koşulları tam olarak sağlanmaktadır: {Xn}\{X_n\} dağılımsal olarak bir rastgele değişkene, {Yn}\{Y_n\} ise olasılıksal olarak sıfırdan farklı sabit bir değere (θ\theta) yakınsadığından, Xn/YnX_n / Y_n oranı da kurallar gereği dağılımsal olarak X/θX/\theta'ya yakınsar.

Adım Adım Çözüm

1
Dağılımda yakınsamanın (convergence in distribution) formel tanımını analiz etmek.
Xn→dXX_n \xrightarrow{d} X ise, Fn(x)→F(x)F_n(x) \to F(x) kuralı yalnızca F(x)F(x)'in sürekli olduğu xx noktalarında geçerlidir.
Birikimli dağılım fonksiyonunun asimptotik davranışı, sıçrama noktaları (süreksizlikler) dışındaki tüm reel değerleri kapsar.
2
Asimptotik limit türleri arasındaki hiyerarşik ilişkileri incelemek.
Hemen hemen kesin   ⟹  \implies Olasılıkta   ⟹  \implies Dağılımda şeklinde zayıflayan bir hiyerarşi mevcuttur. Tersi yönde geçişler genel olarak hatalıdır.
Yakınsama türlerinin gereklilik ve yeterlilik şartlarını ayırt ederek çeldiricilerdeki zıt mantıkları (örneğin olasılıkta yakınsamanın r. mertebeden yakınsamayı garantilediği sanrısı) elemek.
3
Slutsky Teoremini tanımlanan diziler üzerine uygulamak.
Xn→dXX_n \xrightarrow{d} X ve Yn→pθY_n \xrightarrow{p} \theta (θ≠0\theta \neq 0) bilindiğinde, cebirsel işlemler (çarpım, bölüm, toplam) limit dağılımı korunarak elde edilir. XnYn→dXθ\frac{X_n}{Y_n} \xrightarrow{d} \frac{X}{\theta} sonucuna ulaşılır.
Sabite olasılıkta yakınsayan bir dizi ile dağılımda yakınsayan bir dizinin oranının asimptotik dağılımını kesin olarak bulmak.

Anahtar Kavram

Dağılımda Yakınsama ve Slutsky Teoremi
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Dağılımda Yakınsama

Bu konudan daha fazla soru