Examkin

Soru

Zorluk: ZorDağılımda Yakınsama

Bir endüstriyel kalite kontrol sürecinde, üretilen yeni nesil bataryaların performansını değerlendirmek amacıyla ardışık test prosedürleri uygulanmaktadır. Birinci test aşamasından elde edilen hata sapma istatistikleri dizisi {Un}\{U_n\}, ikinci test aşamasından hesaplanan kalibrasyon faktörü dizisi ise {Vn}\{V_n\} ile gösterilmektedir.

Yapılan istatistiksel analizler neticesinde; {Un}\{U_n\} dizisinin standart normal dağılıma sahip bir ZZ rastgele değişkenine dağılımda yakınsadığı (Un→dZU_n \xrightarrow{d} Z) ve {Vn}\{V_n\} dizisinin ise cc (c>0c > 0) gibi sabit bir gerçel sayıya olasılıkta yakınsadığı (Vn→pcV_n \xrightarrow{p} c) tespit edilmiştir.

Bu bilgilere ve asimptotik limit teoremlerine göre, Wn=UnVnW_n = \frac{U_n}{V_n} olarak tanımlanan ağırlıklandırılmış test istatistiği dizisinin limit davranışı hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. Slutsky Teoremi gereğince {Wn}\{W_n\} dizisi Zc\frac{Z}{c} rastgele değişkenine dağılımda yakınsar ve bu dizinin birikimli dağılım fonksiyonu, limit dağılım fonksiyonunun her süreklilik noktasında asimptotik olarak yakınsama özelliğini sağlar.Cevap
  2. B
    Dağılımda yakınsama hiyerarşik olarak olasılıkta yakınsamayı zorunlu kıldığından, {Un}\{U_n\} dizisi olasılıkta da yakınsar ve {Wn}\{W_n\}'nin Zc\frac{Z}{c}'ye olan yakınsaması olasılıkta yakınsamaya dönüşür.
  3. C
    Sabit bir sayıya olasılıkta yakınsama, hemen hemen kesin (almost sure) yakınsamayı da doğrudan içerdiğinden, {Wn}\{W_n\} dizisi Zc\frac{Z}{c} değerine hemen hemen kesin olarak yakınsar.
  4. D
    {Wn}\{W_n\} dizisi dağılımda yakınsadığı için, limit dağılımının birikimli dağılım fonksiyonu yalnızca pozitif destek kümesinde ∫0wf(t)dt\int_0^w f(t) dt şeklinde hesaplanarak tüm gerçel sayılarda yakınsama garanti edilir.
  5. E
    {Wn}\{W_n\} dizisinin dağılımda yakınsaması, aynı zamanda rr-inci mertebeden ortalamada (r-th mean) yakınsamayı ifade eder; bu durum limit varyansının her zaman sonlu olmasını gerektirir.

Cevap

Doğru yanıt, Slutsky Teoremi uyarınca bölme işleminin asimptotik dağılımının korunarak birikimli dağılım fonksiyonunun süreklilik noktalarında limit fonksiyona yakınsadığını belirten ifadedir.
Verilen iki dizinin özellikleri Slutsky Teoremi'nin kullanımını zorunlu kılar. Teoreme göre, eğer Un→dZU_n \xrightarrow{d} Z ve Vn→pcV_n \xrightarrow{p} c ise oranları olan WnW_n dizisi Z/cZ/c'ye dağılımda yakınsar. Dağılımda yakınsamanın formal ve tam matematiksel tanımı gereği, {Wn}\{W_n\}'nin birikimli dağılım fonksiyonu olan FWn(w)F_{W_n}(w), limit dağılım fonksiyonunun tüm süreklilik noktalarında FZ/c(w)F_{Z/c}(w) değerine yakınsamak zorundadır.

Adım Adım Çözüm

1
Öncüllerde verilen {Un}→dZ\{U_n\} \xrightarrow{d} Z ve {Vn}→pc\{V_n\} \xrightarrow{p} c ifadelerini Slutsky Teoremi kapsamında değerlendirmek.
Wn=UnVn→dZcW_n = \frac{U_n}{V_n} \xrightarrow{d} \frac{Z}{c} elde edilir.
Slutsky Teoremi, bir dizinin dağılımda, diğerinin sıfırdan farklı sabit bir sayıya olasılıkta yakınsadığı durumlarda bölme işleminin asimptotik limit özelliklerini koruduğunu gösterir.
2
Dağılımda yakınsamanın birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) bazındaki formal matematiksel tanımını uygulamak.
FWn(w)→FZ/c(w)F_{W_n}(w) \to F_{Z/c}(w) yakınsaması FZ/cF_{Z/c} fonksiyonunun her süreklilik noktasında geçerli olur.
Dağılımda yakınsamanın temel tanımı, dizinin CDF'sinin limit rastgele değişkenin CDF'sine sadece süreklilik noktalarında asimptotik olarak eşitlenmesini gerektirir.
3
Yakınsama türleri arasındaki hiyerarşik ilişkileri (olasılıkta, hemen hemen kesin, r-inci mertebeden) kontrol ederek çeldiricileri elemek.
Dağılımda yakınsama en zayıf yakınsama türü olduğundan, diğer yakınsama biçimlerini zorunlu kılmaz.
Yakınsama hiyerarşisinde a.s.  ⟹  p  ⟹  da.s. \implies p \implies d kuralı geçerlidir, ancak yön geriye doğru (dağılımdan olasılığa veya kesin yakınsamaya) çalışmaz.

Anahtar Kavram

Dağılımda Yakınsama ve Slutsky Teoremi
Bu soruyu puanla

Konular

Dağılımda Yakınsama

Bu konudan daha fazla soru