Examkin

Soru

Zorluk: ZorDağılımda Yakınsama

Gelişmiş bir istatistiksel modelin asimptotik özelliklerini inceleyen bir araştırmacı, modeldeki hata bileşenini temsil eden {Wn}\{W_n\} rastgele değişken dizisi ile ölçekleme faktörünü temsil eden {Kn}\{K_n\} dizisini analiz etmektedir. Bu diziler için aşağıdaki limit özellikleri kanıtlanmıştır:

- {Wn}\{W_n\} dizisinin birikimli dağılım fonksiyonu olan Gn(w)G_n(w), n→∞n \to \infty durumunda varyansı sıfırdan farklı olan WW rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonu G(w)G(w)'ye, G(w)G(w)'nin tüm süreklilik noktalarında yakınsamaktadır.
- {Kn}\{K_n\} dizisi, sıfırdan farklı sabit bir β\beta popülasyon parametresine olasılıkta yakınsamaktadır.

Stokastik yakınsama türleri arasındaki hiyerarşik yapı ve limit teoremleri dikkate alındığında, bu model dizileri için aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle yanlıştır?

  1. A
    {Wn+Kn}\{W_n + K_n\} toplam dizisi, n→∞n \to \infty iken W+βW + \beta rastgele değişkenine dağılımda yakınsar.
  2. B
    {Kn}\{K_n\} dizisinin β\beta sabitine olasılıkta yakınsaması, bu dizinin β\beta sabitine dağılımda da yakınsadığını doğrular.
  3. {Wn⋅Kn}\{W_n \cdot K_n\} çarpım dizisi, n→∞n \to \infty iken W⋅βW \cdot \beta rastgele değişkenine olasılıkta yakınsar.Cevap
  4. D
    Eğer {Wn}\{W_n\} dizisi WW rastgele değişkenine olasılıkta yakınsayan bir dizi olsaydı, WW'ye dağılımda da yakınsıyor kabul edilirdi.
  5. E
    Gn(w)G_n(w)'nin G(w)G(w)'ye noktasal yakınsaması, G(w)G(w)'nin süreksiz olduğu varsayımsal noktalarda tanım gereği zorunlu tutulmaz.

Cevap

Çarpım dizisinin olasılıkta W⋅βW \cdot \beta rastgele değişkenine yakınsadığını belirten ifade kesinlikle yanlıştır; çünkü bu durum yalnızca dağılımda yakınsamayı garanti eder.
Verilen bilgilerden {Wn}\{W_n\} dizisinin dağılımda WW'ye, {Kn}\{K_n\} dizisinin olasılıkta β\beta sabitine yakınsadığı anlaşılmaktadır. Slutsky Teoremine göre, bu iki dizinin çarpımı {Wn⋅Kn}\{W_n \cdot K_n\} yalnızca dağılımda W⋅βW \cdot \beta rastgele değişkenine yakınsar. Yakınsama hiyerarşisinde dağılımda yakınsama (en zayıf yakınsama), limit bir sabit değer olmadığı sürece olasılıkta yakınsamayı garanti etmez. WW değişkeninin varyansı sıfırdan farklı olduğundan sonuç bir sabit olamaz; dolayısıyla bu dizinin olasılıkta yakınsadığını söylemek matematiksel olarak yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen öncülleri asimptotik tanımlarla eşleştir.
İlk öncül {Wn}\{W_n\} dizisinin WW'ye 'dağılımda yakınsadığını' (Wn→dWW_n \xrightarrow{d} W), ikinci öncül ise {Kn}\{K_n\} dizisinin β\beta sabitine 'olasılıkta yakınsadığını' (Kn→pβK_n \xrightarrow{p} \beta) göstermektedir.
Dağılımda yakınsamanın temel tanımı CDF'lerin süreklilik noktalarında yakınsamasıdır.
2
Slutsky Teoremini işlemlere uygula.
Slutsky Teoremi gereği, Wn→dWW_n \xrightarrow{d} W ve Kn→pβK_n \xrightarrow{p} \beta olduğunda çarpım dizisi dağılımda yakınsar: Wn⋅Kn→dW⋅βW_n \cdot K_n \xrightarrow{d} W \cdot \beta.
Teorem, sabite yakınsayan dizilerle dağılımda yakınsayan dizilerin cebirsel işlemlerinin limit davranışını belirler.
3
Yakınsama hiyerarşisini test et.
Dağılımda yakınsamanın olasılıkta yakınsamayı garanti etmesi için limit değerinin bir sabit (dejenere değişken) olması gerekir. Soruda WW'nin varyansının sıfırdan farklı olduğu belirtilmiştir, bu nedenle W⋅βW \cdot \beta bir sabit değildir.
Olasılıkta yakınsama, dağılımda yakınsamadan daha güçlü bir koşuldur. Sadece dejenere (sabit) limitler için bu iki yakınsama türü birbirini çift yönlü gerektirir.

Anahtar Kavram

Dağılımda Yakınsama, Slutsky Teoremi ve Yakınsama Hiyerarşisi
Bu soruyu puanla

Konular

Dağılımda Yakınsama

Bu konudan daha fazla soru