Limit Teoremleri ve Eşitsizlikler Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Bir vergi dairesinde, günlük incelenen beyanname sayısı negatif olmayan bir $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir ve bu değişkenin beklenen değeri $E[X] = 60$ 'tır.

Vergi dairesinin günlük toplam işlem hacmi (işlem puanı cinsinden), incelenen beyanname sayısına bağlı olarak $H = 40X + 1600$ denklemi ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, rastgele seçilen bir günde toplam işlem hacminin $6400$ puan veya daha fazla olma olasılığı için Markov eşitsizliği kullanılarak elde edilebilecek en kesin (en dar) üst sınır aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{3}{8}

\frac{1}{2}

\frac{5}{8}

\frac{3}{4}

\frac{5}{6}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{2}$

Cevap

Rastgele seçilen bir günde toplam işlem hacminin 6400 puan veya daha fazla olma olasılığı için elde edilebilecek en kesin üst sınır 1/2'dir.

Markov eşitsizliği, sabit değerler içeren bir değişkene uygulandığında (doğrusal dönüşümlerde) her zaman en dar sınırı vermez. En kesin (en dar) üst sınırı bulmak için, eşitsizlik içerisindeki sabit değerleri karşı tarafa geçirerek eşitsizliği temel rastgele değişkene (

X

) indirgemek gerekir. İstenen durum

P(40X + 1600 \ge 6400)

eşitsizliğidir. Düzenleme yapıldığında bu olasılık

P(X \ge 120)

şeklini alır. X negatif olmayan bir değişken olduğu için Markov eşitsizliği doğrudan uygulanabilir:

P(X \ge 120) \le E[X]/120 = 60/120 = 1/2

. Bu değer, H üzerinden doğrudan hesaplanan 5/8'lik sınırdan daha kesindir.

Adım Adım Çözüm

1

İstenen olasılık ifadesini yalın X rastgele değişkeni cinsinden yeniden yazın.

P(H \ge 6400) = P(40X + 1600 \ge 6400) \implies P(40X \ge 4800) \implies P(X \ge 120)

Markov eşitsizliği, rastgele değişkenin üzerindeki doğrusal dönüşümler (özellikle sabit eklemeler) arındırıldığında, yani değişkenin minimum değerinin

0

'a daha yakın olduğu durumda çok daha dar ve kesin bir üst sınır verir.

2

Elde edilen yeni ifadeye (

X

) Markov eşitsizliğini uygulayın.

X \ge 0

olduğu bilindiğine göre,

P(X \ge 120) \le \frac{E[X]}{120}

yazılır.

Markov eşitsizliğinin temel kuralı, eşitsizliğin uygulandığı rastgele değişkenin sadece negatif olmayan değerler almasıdır.

3

Verilen beklenen değeri formülde yerine koyarak sonucu hesaplayın.

P(X \ge 120) \le \frac{60}{120} = \frac{1}{2}

Soruda

E[X] = 60

olarak verilmiştir. Bu durumda elde edilebilecek en kesin üst sınır 1/2 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Markov Eşitsizliği ve Değişken Dönüşümü Yoluyla Sınır Optimizasyonu

Soru 2Soru →

İstatistiksel limit teoremleri ve rastgele değişken dizilerinin yakınsaması (özellikle olasılıkta yakınsama) dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

Bir

\{X_n\}

rastgele değişken dizisi bir

X

rastgele değişkenine olasılıkta yakınsıyorsa, aynı zamanda dağılımda da yakınsar.

Bir

\{X_n\}

rastgele değişken dizisi bir

c

sabitine dağılımda yakınsıyorsa, bu dizi aynı zamanda

c

sabitine olasılıkta da yakınsar.

Markov eşitsizliği yalnızca negatif olmayan rastgele değişkenler (

X \ge 0

) için geçerli olduğundan, negatif değerler de alabilen rastgele değişkenlerin olasılıkta yakınsamasını incelemek için doğrudan uygulanamaz.

Bir

\{X_n\}

rastgele değişken dizisi bir

X

rastgele değişkenine olasılıkta yakınsıyorsa, bu durum her zaman beklenen değerlerin de yakınsadığını gösterir ve

\lim_{n \to \infty} E[X_n] = E[X]

eşitliği istisnasız sağlanır.

Varyansı sonlu (

\sigma^2 < \infty

) olan bir kitleye ait örneklem ortalaması

\bar{X}_n

için

Var(\bar{X}_n) = \frac{\sigma^2}{n}

eşitliği ve Chebyshev eşitsizliği kullanılarak Zayıf Büyük Sayılar Yasası (

\bar{X}_n \xrightarrow{p} \mu

) ispatlanabilir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Bir $\{X_n\}$ rastgele değişken dizisi bir $X$ rastgele değişkenine olasılıkta yakınsıyorsa, bu durum her zaman beklenen değerlerin de yakınsadığını gösterir ve $\lim_{n \to \infty} E[X_n] = E[X]$ eşitliği istisnasız sağlanır.

Cevap

Olasılıkta yakınsamanın beklenen değerde yakınsamayı da istisnasız garanti ettiğini belirten ifade kesinlikle yanlıştır.

Olasılıkta yakınsama (

X_n \xrightarrow{p} X

),

n \to \infty

iken değişkenin limit değerinden sapma olasılığının sıfıra gitmesini ifade eder. Ancak bu, rastgele değişkenin olasılığı çok küçük olsa bile son derece büyük değerler alarak beklenen değerini (ağırlıklı ortalamasını) dramatik biçimde değiştirmesini engellemez. Başka bir deyişle,

\lim_{n \to \infty} E[X_n] = E[X]

olabilmesi için olasılıkta yakınsamaya ek olarak dizinin düzgün integrallenebilir olması (uniform integrability) veya sınırlı yakınsama teoremi (bounded convergence) şartlarını sağlaması gerekir. Dolayısıyla olasılıkta yakınsama her zaman beklenen değerde yakınsamayı garanti etmez, bu nedenle bu ifade yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Olasılıkta ve dağılımda yakınsama hiyerarşisini değerlendir.

Olasılıkta yakınsama her zaman dağılımda yakınsamayı gerektirirken, dağılımda yakınsamanın olasılıkta yakınsamayı gerektirmesi için limitin rastgele bir değişken değil, sabit bir sayı olması şarttır. Bu hiyerarşi kurallarına göre ilk iki ifade doğrudur.

Yakınsama türleri arasındaki geçişkenlik istatistik teorisinin temelidir.

2

Eşitsizliklerin özelliklerini ve kullanım alanlarını kontrol et.

Markov eşitsizliği yalnızca

X \ge 0

için tanımlıdır. Chebyshev eşitsizliği ise örneklem ortalamasının varyansının

n

arttıkça sıfıra gitmesi prensibiyle

\bar{X}_n \xrightarrow{p} \mu

sonucunu (Zayıf Büyük Sayılar Yasası) ispatlar. Bu eşitsizlik ifadeleri de tamamen doğrudur.

Limit teoremlerinin ispatlarında hangi eşitsizliğin hangi ön şartla kullanıldığı kritik bir bilgidir.

3

Olasılıkta yakınsamanın beklenen değer üzerindeki etkisini incele.

Olasılıkta yakınsama, dizinin limit değerinden büyük sapmalar yapma ihtimalinin

n \to \infty

iken sıfıra gitmesidir. Ancak dizi, sıfıra yaklaşan olasılıklarla asimptotik olarak çok büyük değerler alabilir ve bu durum

E[X_n]

değerini patlatabilir. Beklenen değerin yakınsaması için düzgün integrallenebilirlik (uniform integrability) veya değişkenin sınırlı olması gibi ek koşullar gerekir.

Limiti alma işleminin beklenen değer (integral) içine doğrudan geçebilmesi her zaman mümkün değildir.

Anahtar Kavram

Olasılıkta Yakınsama ve Limit Hiyerarşisi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 3Soru →

İstatistiksel limit teoremleri ve asimptotik teori üzerine çalışan bir araştırmacı, $\{X_n\}$ ve $\{Y_n\}$ rastgele değişken dizileri ile bir $X$ rastgele değişkeni için aşağıdaki özellikleri tespit etmiştir:

I. $X_n$ dizisinin birikimli dağılım fonksiyonu $F_n(t)$ , $X$ 'in birikimli dağılım fonksiyonu olan $F(t)$ 'ye yalnızca $F(t)$ 'nin sürekli olduğu noktalarda yakınsamaktadır.
II. Sıfırdan farklı bir $c$ sabiti için, $n \to \infty$ iken $E[(Y_n - c)^2] \to 0$ olmaktadır.

Bu asimptotik özellikler dikkate alındığında, yakınsama türleri ve limit teoremleri ile ilgili aşağıdaki çıkarımlardan hangisi kesinlikle doğrudur?

I. koşul, her

\epsilon > 0

için

\lim_{n \to \infty} P(|X_n - X| > \epsilon) = 0

olmasını garanti eder; dolayısıyla

X_n

dizisi

X

'e her zaman olasılıkta yakınsar.

II. koşul

Y_n

dizisinin

c

sabitine karesel ortalamada yakınsadığını gösterir ve bu yakınsama türü, dizinin hemen hemen kesin (almost sure) yakınsamasını da doğrudan gerektirir.

F(t)

fonksiyonunun süreksizlik noktalarında

\lim_{n \to \infty} F_n(t)

değeri her zaman sıfıra eşit olmalıdır; aksi takdirde birikimli dağılım fonksiyonunun alt sınır koşulu ihlal edilmiş olur.

II. koşul gereği

Y_n

dizisi

c

sabitine olasılıkta yakınsar; Slutsky Teoremi uyarınca

X_n \cdot Y_n \xrightarrow{d} cX

olur ve bu yeni çarpım dizisinin dağılım fonksiyonu,

cX

'in dağılım fonksiyonunun sürekli olduğu her noktada limit değerine ulaşır.

X_n

dizisi

X

'e dağılımda yakınsadığı için

X_n

'nin varyansı da asimptotik olarak

X

'in varyansına eşitlenir; bu durum Chebyshev eşitsizliğinin her zaman kullanılabilmesini sağlar.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II. koşul gereği $Y_n$ dizisi $c$ sabitine olasılıkta yakınsar; Slutsky Teoremi uyarınca $X_n \cdot Y_n \xrightarrow{d} cX$ olur ve bu yeni çarpım dizisinin dağılım fonksiyonu, $cX$ 'in dağılım fonksiyonunun sürekli olduğu her noktada limit değerine ulaşır.

Cevap

İkinci koşuldan elde edilen olasılıkta yakınsama ve birinci koşuldan elde edilen dağılımda yakınsama özelliklerinin Slutsky Teoremi ile birleştirilip, elde edilen çarpımın dağılım fonksiyonunun sürekli noktalarda limite ulaşacağını belirten ifade kesinlikle doğrudur.

Verilen II. koşul, dizinin karesel (2.) ortalamada sabit bir değere yakınsadığını ifade eder ve yakınsama hiyerarşisi gereği bu durum olasılıkta yakınsamayı da (

Y_n \xrightarrow{p} c

) sağlar. I. koşul ise

X_n \xrightarrow{d} X

dağılımda yakınsamasının doğrudan tanımıdır. Slutsky Teoremi'ne göre, bir dizi dağılımda bir değişkene, diğer dizi olasılıkta bir sabite yakınsıyorsa, çarpımları dağılımda bu ikisinin çarpımına (

cX

) yakınsar. Son olarak, bu çarpım dizisinin dağılım fonksiyonu, dağılımda yakınsamanın temel tanımı gereği hedef dağılımın sürekli olduğu her noktada limit değerine eşit olacaktır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen asimptotik koşulların matematiksel tanımlarını çözümleme

I. koşul

X_n \xrightarrow{d} X

(dağılımda yakınsama) tanımıdır. II. koşul ise

Y_n \xrightarrow{L^2} c

(2. ortalamada yakınsama) tanımıdır.

Teoremleri uygulayabilmek için metin tabanlı özellikleri standart yakınsama gösterimlerine dönüştürmek gerekir.

2

Yakınsama hiyerarşisini kullanarak özellikleri daha zayıf türlere indirgeme

Karesel (2.) ortalamada yakınsama, olasılıkta yakınsamayı gerektirdiğinden

Y_n \xrightarrow{p} c

olduğu kesinleşir.

Slutsky Teoremi'ni kullanabilmek için dizilerden birinin olasılıkta sabit bir değere yakınsaması şartı aranır.

3

Slutsky Teoremi'ni uygulama

X_n \xrightarrow{d} X

ve

Y_n \xrightarrow{p} c

özellikleri bir arada kullanıldığında

X_n \cdot Y_n \xrightarrow{d} cX

sonucuna ulaşılır.

Dağılımda yakınsayan bir dizi ile olasılıkta sabit bir sayıya yakınsayan dizinin cebirsel işlemleri (toplam, çarpım) Slutsky Teoremi ile asimptotik olarak belirlenir.

4

Dağılımda yakınsamanın tanımını çarpım sonucuna uyarlama

Elde edilen

X_n \cdot Y_n

dizisinin birikimli dağılım fonksiyonu, hedef değişken olan

cX

'in birikimli dağılım fonksiyonunun sürekli olduğu tüm noktalarda kendi limitine ulaşır.

Dağılımda yakınsama kavramının en temel tanımı, dizinin dağılım fonksiyonunun asimptotik limitine yalnızca sürekli noktalarda erişmesidir.

Anahtar Kavram

Yakınsama Hiyerarşisi ve Slutsky Teoremi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 4Soru →

Olasılık teorisinde rastgele değişken dizilerinin asimptotik davranışları incelenirken farklı yakınsama türleri (olasılıkta, dağılımda, hemen hemen kesin vb.) arasındaki hiyerarşik ilişkiler ve temel özellikler büyük önem taşır.

Buna göre, rastgele değişken dizilerinde olasılıkta yakınsama ve ilişkili kavramlar hakkında aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Asimptotik hiyerarşi kuralları gereği, herhangi bir dizinin rastgele bir

Y

hedefine dağılımda yakınsaması, aynı zamanda söz konusu hedefe olasılıkta da yakınsadığını istisnasız olarak gösterir.

Varyansı

n \to \infty

iken sıfıra yaklaşan (

Var(X_n) \to 0

) tüm rastgele değişken dizileri, beklenen değerlerinin ne olduğuna veya nereye yakınsadığına bakılmaksızın her zaman olasılıkta

0

değerine yakınsamak zorundadır.

Hedef limitin rastgele bir değişken değil de bir sabit (

c

) olduğu durumlarda, rastgele değişken dizisinin bu sabite dağılımda yakınsaması (

X_n \xrightarrow{D} c

), dizinin aynı sabite olasılıkta da yakınsadığını (

X_n \xrightarrow{P} c

) kesin olarak garanti eder.

Zayıf Büyük Sayılar Yasası (WLLN) ispatlanırken, serideki rastgele değişkenlerin varyanslarının tanımsız veya sonsuz olduğu durumlarda da Chebyshev eşitsizliği kullanılarak dizinin ortalamasının olasılıkta yakınsadığı her zaman gösterilebilir.

Sıfır kovaryans koşulunu (

E[X_n Y_n] = E[X_n]E[Y_n]

) sağlayan ancak bağımsız olmayan dizilerin toplamı olan yeni dizi, varyans veya marjinal dağılım koşullarına bakılmaksızın olasılıkta daima sonlu bir değere yakınsar.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Hedef limitin rastgele bir değişken değil de bir sabit ( $c$ ) olduğu durumlarda, rastgele değişken dizisinin bu sabite dağılımda yakınsaması ( $X_n \xrightarrow{D} c$ ), dizinin aynı sabite olasılıkta da yakınsadığını ( $X_n \xrightarrow{P} c$ ) kesin olarak garanti eder.

Cevap

Hedef limitin bir sabit (

c

) olduğu durumlarda, dağılımda yakınsamanın olasılıkta yakınsamayı garanti ettiğini belirten ifade doğrudur.

Olasılıkta yakınsama, dağılımda yakınsamadan daha güçlü bir asimptotik kavramdır. Normal şartlarda olasılıkta yakınsama dağılımda yakınsamayı gerektirirken tersi geçerli değildir. Ancak hedef limit rastgele bir değişken değil de bir dejenere dağılım (yani

c

gibi sabit bir sayı) ise, dizinin dağılım fonksiyonlarındaki eşleşme bizzat noktaya olan olasılıksal yığılmayı kanıtlar. Bu özel durum, dağılımda yakınsamanın olasılıkta yakınsamayı garanti ettiği yegane teorik istisnadır.

Adım Adım Çözüm

1

Olasılıkta ve dağılımda yakınsama arasındaki genel kuralı analiz et.

Olasılıkta yakınsamanın (

X_n \xrightarrow{P} X

) her zaman dağılımda yakınsamayı (

X_n \xrightarrow{D} X

) gerektirdiğini, ancak tersinin genel olarak geçerli olmadığını hatırla.

Asimptotik özelliklerin temel teoremi bu tek yönlü ilişkiyi tanımlar.

2

Dağılımda yakınsamanın olasılıkta yakınsamayı garanti ettiği özel istisna durumunu değerlendir.

Hedef

X

, rastgele bir değişken olmak yerine belirli bir

c

sabit değerine (dejenere dağılım) eşitse, kümülatif olasılığın tek bir noktada yığıldığı anlaşılır ve

X_n \xrightarrow{D} c \iff X_n \xrightarrow{P} c

denkliği sağlanır.

Sabit hedefler için olasılık fonksiyonunun basamak fonksiyonu halini alması iki yakınsama türünü denkleştirir.

3

Varyans ve Chebyshev eşitsizliği şartları ile ilgili diğer iddiaları kontrol et.

Chebyshev eşitsizliğinin yalnızca sonlu varyans için geçerli olduğu ve varyansın sıfıra gitmesinin diziyi 0'a değil, beklenen değerine yaklaştırdığı gerçeğiyle yanlış ifadeleri tespit et.

Limit teoremlerinin ön şartlarını (sonlu varyans, beklenen değer katsayısı) doğru uygulamak kavramsal hataları önler.

Anahtar Kavram

Olasılıkta ve Dağılımda Yakınsama Hiyerarşisi

Soru 5Soru →

Bir istatistiksel modellemede, bir kitle parametresi olan $\theta$ için $T_n$ tahmin edici dizisi önerilmiştir. Yapılan asimptotik analizlerde, $n \to \infty$ iken $T_n$ tahmin edicisinin $\theta$ parametresine (sabit bir sayıya) dağılımda yakınsadığı ( $T_n \xrightarrow{d} \theta$ ) kanıtlanmıştır. Öte yandan, farklı bir çalışmada oluşturulan $Y_n$ dizisinin rastgele bir $Y$ değişkenine olasılıkta yakınsadığı ( $Y_n \xrightarrow{p} Y$ ) gösterilmiştir.

Buna göre, bu dizilerin asimptotik davranışları ve yakınsama türleri dikkate alındığında aşağıdaki çıkarımlardan hangisi kesinlikle doğrudur?

T_n

dizisinin limiti olan

\theta

sabit bir sayı olduğu için, istisnai bir kural olarak

T_n

tahmin edicisi aynı

\theta

sabitine olasılıkta da yakınsar.

Genel asimptotik hiyerarşi kurallarına göre dağılımda yakınsama daima olasılıkta yakınsamayı gerektirdiğinden, limit değerinin sabit veya rastgele değişken olmasının sonucu değiştiren bir önemi yoktur.

Y_n

dizisi olasılıkta yakınsayan bir dizi olmasına rağmen, limit değeri sabit değil rastgele bir değişken olduğu için

Y

'ye dağılımda yakınsaması garanti edilemez.

Y_n \xrightarrow{p} Y

yakınsaması sağlandığında, beklenen değerin doğrusallığı koşulsuz olarak geçerli olacağından

Y_n

ile

Y

'nin çarpımının beklenen değeri daima

E[Y_n \cdot Y] = E[Y_n] \cdot E[Y]

şeklinde ayrıştırılır.

T_n

dizisi asimptotik olarak

\theta

'ya yakınsarken, varyansın özellikleri gereği diziye eklenecek pozitif bir

c

sabiti varyansı

Var(T_n + c) = Var(T_n) + c^2

olarak değiştirir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $T_n$ dizisinin limiti olan $\theta$ sabit bir sayı olduğu için, istisnai bir kural olarak $T_n$ tahmin edicisi aynı $\theta$ sabitine olasılıkta da yakınsar.

Cevap

Limit değerinin sabit bir

\theta

sayısı olması nedeniyle,

T_n

dizisinin dağılımda yakınsadığı değere olasılıkta da yakınsayacağını belirten ifadedir.

İstatistiksel limit teoremlerinde genel kural olarak; olasılıkta yakınsama dağılımda yakınsamayı gerektirir, ancak tersi her zaman doğru değildir. Yani bir dizinin dağılımda yakınsaması genel anlamda olasılıkta da yakınsadığı anlamına gelmez. Ancak bu teorinin çok önemli bir istisnası vardır: Eğer dizi sabit bir sayıya (buradaki gibi

\theta

parametresine) dağılımda yakınsıyorsa, olasılık kitlesi tek bir noktada yoğunlaşacağı için o sabit sayıya olasılıkta da kesinlikle yakınsar.

Adım Adım Çözüm

1

T_n \xrightarrow{d} \theta

durumunu inceleyin.

Dizi sabit bir değere dağılımda yakınsamaktadır.

\theta

bir kitle parametresidir ve rassal değil sabit bir sayıdır.

2

Yakınsama hiyerarşisindeki istisnai kuralı hatırlayın.

Genel olarak dağılımda yakınsama olasılıkta yakınsamayı gerektirmez. Ancak limit rastgele bir değişken değil de sabit bir sayıysa (

c

),

X_n \xrightarrow{d} c \implies X_n \xrightarrow{p} c

kuralı geçerlidir.

Sabit bir limit etrafındaki olasılık yoğunluğu asimptotik olarak tamamen bu noktada toplandığı için iki yakınsama türü bu özel durumda eşdeğer hale gelir.

3

Y_n \xrightarrow{p} Y

durumunun sonuçlarını değerlendirin.

Olasılıkta yakınsama her zaman dağılımda yakınsamayı (

Y_n \xrightarrow{d} Y

) gerektirir.

Yakınsama hiyerarşisinin temel özelliğidir.

4

Diğer ifadelerdeki kavramsal hataları tespit edin.

Beklenen değer çarpımının bağımsızlık olmadan ayrılamayacağı ve varyansa sabit eklenmesinin varyansı değiştirmeyeceği görülür.

Limit teorileri uygulanırken temel rastgele değişken kuralları geçerliliğini korur.

Anahtar Kavram

Yakınsama Hiyerarşisi ve Sabit Limit İstisnası

Alternatif Yöntem

Yakınsama hiyerarşisini 'Hemen Hemen Kesin

\implies

Olasılıkta

\implies

Dağılımda' sıralamasıyla ezberlemek ve tersine gidişlerin sadece 'sabit bir limite' yakınsama koşuluyla gerçekleşebileceğini kodlamak sorunun çözümünü saniyelere indirecektir.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 6Soru →

Bir istatistiksel modellemede $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin beklenen değerleri sıfır ( $E(X) = E(Y) = 0$ ) ve ikinci momentleri $E(X^2) = 9$ , $E(Y^2) = 16$ olarak bilinmektedir.

Cauchy-Schwarz eşitsizliğine göre, $[E(XY)]^2 \leq E(X^2)E(Y^2)$ bağıntısı her zaman geçerlidir. Bu eşitsizlikte eşitlik durumunun sağlandığı ve $X$ ile $Y$ değişkenleri arasında $Y = cX$ ( $c < 0$ ) şeklinde tam doğrusal bir ilişki olduğu belirlenmiştir.

Buna göre, $X+Y$ toplamının varyansı ( $Var(X+Y)$ ) kaçtır?

1

3

13

25

49

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

1 değerini veren seçenektir.

Cauchy-Schwarz eşitsizliğinde eşitliğin sağlanması, değişkenler arasında deterministik (korelasyonu 1 veya -1 olan) tam doğrusal bir ilişki olduğunu gösterir.

Y = cX

eşitliğinde her iki tarafın varyansı alındığında

Var(Y) = c^2 Var(X)

elde edilir. Değerler yerine konulduğunda

16 = 9c^2

ve dolayısıyla

c = \pm \frac{4}{3}

bulunur. Soruda

c < 0

olduğu özellikle belirtildiği için

c = -\frac{4}{3}

alınmalıdır. İstenen

Var(X+Y)

değeri ise,

Y

yerine

-\frac{4}{3}X

yazılarak

Var(X - \frac{4}{3}X) = Var(-\frac{1}{3}X)

formuna dönüştürülür. Varyans özelliğinden

(-\frac{1}{3})^2 \cdot Var(X) = \frac{1}{9} \cdot 9 = 1

sonucuna ulaşılır. Alternatif olarak,

\rho = -1

kullanılarak

Cov(X,Y) = (-1)(3)(4) = -12

hesaplanıp,

Var(X+Y) = 9 + 16 + 2(-12) = 1

şeklinde de bulunabilir.

Adım Adım Çözüm

1

Beklenen değerleri kullanarak değişkenlerin varyanslarını bulma

Var(X) = 9

ve

Var(Y) = 16

E(X) = 0

olduğu için

Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 9 - 0 = 9

'dur. Aynı şekilde

Var(Y) = 16

'dır.

2

Eşitlik durumunu kullanarak ilişki katsayısını (c) hesaplama

c = -\frac{4}{3}

Cauchy-Schwarz eşitliği

Y = cX

ilişkisini gerektirir.

Var(Y) = c^2 Var(X) \implies 16 = 9c^2 \implies c = \pm \frac{4}{3}

olur. Soruda

c < 0

verildiğinden

c = -\frac{4}{3}

seçilir.

3

Toplamın varyansını hesaplama

Var(X+Y) = 1

Var(X+Y) = Var(X - \frac{4}{3}X) = Var(-\frac{1}{3}X)

yazılır. Varyans kuralı gereği katsayının karesi alınarak

(-\frac{1}{3})^2 Var(X) = \frac{1}{9} \cdot 9 = 1

bulunur.

Anahtar Kavram

Cauchy-Schwarz Eşitsizliği Eşitlik Durumu ve Doğrusal Kombinasyonların Varyansı

Soru 7Soru →

Bir finansal risk modellemesi sürecinde, ardışık bağımsız yatırım getirilerini temsil eden standart normal dağılımlı $Z_1, Z_2, \dots, Z_n$ rastgele değişkenleri gözlemlenmektedir. Bu süreçten türetilen bir $Y_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Z_i^2$ istatistiği risk ölçeği olarak kullanılmaktadır.

Diğer yandan, dışsal bir şok faktörünü temsil eden $X_n$ rastgele değişken dizisinin birikimli dağılım fonksiyonu $F_{X_n}(x)$ 'in, her $x$ süreklilik noktasında standart normal dağılımın birikimli dağılım fonksiyonu olan $\Phi(x)$ 'e yakınsadığı tespit edilmiştir.

Modele entegre edilen nihai risk skoru $W_n = \frac{X_n}{\sqrt{Y_n}} + Y_n$ olarak tanımlanmıştır.

Verilen bu diziler ve asimptotik limit teoremleri dikkate alındığında, $W_n$ risk skorunun asimptotik yakınsama durumu ve limit özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

W_n

risk skoru dağılımda

N(1, 1)

dağılımına yakınsar.

X_n

'in olasılıkta yakınsadığına dair bir bilgi bulunmadığından,

W_n

'in olasılıkta sabit veya rastgele bir değere yakınsadığı kesin olarak söylenemez.

Dağılımda yakınsama, hiyerarşik olarak olasılıkta yakınsamayı gerektirdiği için

W_n

skoru

N(1, 1)

dağılımına olasılıkta yakınsar ve

r

-nci mertebeden ortalamada yakınsama şartları doğrudan sağlanır.

Y_n

dizisi Büyük Sayılar Yasası gereği 1'e hemen hemen kesin (almost sure) yakınsadığından,

W_n

dizisi de asimptotik olarak

X+1

rastgele değişkenine hemen hemen kesin yakınsar.

X_n

'in dağılımda standart normale yakınsaması, karesel ortalamada yakınsamayı da garanti ettiği için Slutsky Teoremi gereği

W_n

dizisi olasılıkta

N(1,1)

dağılımına yakınsar.

W_n

skorunun asimptotik varyansı, varyans özellikleri gereği

X_n

'in varyansının

\sqrt{Y_n}

'in varyansına oranlanmasıyla bulunacağından, skor Cauchy dağılımına yakınsar.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $W_n$ risk skoru dağılımda $N(1, 1)$ dağılımına yakınsar. $X_n$ 'in olasılıkta yakınsadığına dair bir bilgi bulunmadığından, $W_n$ 'in olasılıkta sabit veya rastgele bir değere yakınsadığı kesin olarak söylenemez.

Cevap

W_n

risk skoru dağılımda

N(1, 1)

dağılımına yakınsar.

X_n

'in limiti hakkında sadece dağılımsal bilgi verildiğinden

W_n

'in olasılıkta yakınsadığı söylenemez.

Verilen I. öncül, tanımı gereği

X_n \xrightarrow{d} N(0,1)

olduğunu ifade eder. II. öncülde

Y_n

, beklenen değeri 1 olan

Z_i^2

(Ki-kare) değişkenlerinin ortalamasıdır; Büyük Sayılar Yasası ile

Y_n \xrightarrow{P} 1

olur. Sürekli Dönüşüm Teoremi kullanılarak

\sqrt{Y_n} \xrightarrow{P} 1

bulunur. Slutsky Teoremi bölme işlemi için uygulandığında

\frac{X_n}{\sqrt{Y_n}} \xrightarrow{d} N(0,1)

ve ardından toplama işlemi için uygulandığında

\frac{X_n}{\sqrt{Y_n}} + Y_n \xrightarrow{d} N(0,1) + 1 = N(1,1)

sonucuna ulaşılır.

X_n

'in olasılıkta yakınsadığı bilinmediğinden ve limit sabit bir değer olmadığından,

W_n

'in daha güçlü olan olasılıkta veya hemen hemen kesin yakınsama türlerine sahip olduğu kesin olarak söylenemez.

Adım Adım Çözüm

1

X_n

dizisinin yakınsama durumunu tanımlamak

F_{X_n}(x)

'in her süreklilik noktasında

\Phi(x)

'e yakınsaması, dağılımda yakınsamanın tam tanımıdır. Bu nedenle

X_n \xrightarrow{d} N(0,1)

elde edilir.

Dağılımda yakınsama (convergence in distribution), dizinin birikimli dağılım fonksiyonunun limit dağılımın birikimli dağılım fonksiyonuna yakınsaması ile tanımlanır.

2

Büyük Sayılar Yasası'nı (WLLN) kullanarak

Y_n

'in limitini bulmak

Z_i \sim N(0,1)

olduğundan, varyans tanımından

E[Z_i^2] = \text{Var}(Z_i) + (E[Z_i])^2 = 1 + 0 = 1

'dir. Zayıf Büyük Sayılar Yasası gereği, örneklem ortalaması beklenen değere olasılıkta yakınsar:

Y_n = \frac{1}{n} \sum Z_i^2 \xrightarrow{P} 1

.

Y_n

, bağımsız ve aynı dağılımlı Ki-kare (1 serbestlik dereceli) rastgele değişkenlerin aritmetik ortalamasıdır.

3

Sürekli Dönüşüm Teoremi (Continuous Mapping Theorem) uygulamak

g(y) = \sqrt{y}

fonksiyonu

y=1

noktasında sürekli olduğundan,

Y_n \xrightarrow{P} 1

bilgisi

\sqrt{Y_n} \xrightarrow{P} 1

sonucunu verir.

Olasılıkta yakınsayan bir dizinin sürekli bir fonksiyon altındaki görüntüsü, limitin aynı fonksiyondaki görüntüsüne olasılıkta yakınsar.

4

Slutsky Teoremi'ni ardışık olarak uygulamak

X_n \xrightarrow{d} N(0,1)

ve

\sqrt{Y_n} \xrightarrow{P} 1

olduğu için bölümleri

\frac{X_n}{\sqrt{Y_n}} \xrightarrow{d} \frac{N(0,1)}{1} = N(0,1)

olur. Toplam durumu için;

\frac{X_n}{\sqrt{Y_n}} \xrightarrow{d} N(0,1)

ve

Y_n \xrightarrow{P} 1

olduğundan,

W_n = \frac{X_n}{\sqrt{Y_n}} + Y_n \xrightarrow{d} N(0,1) + 1 = N(1,1)

elde edilir.

Slutsky Teoremi, dağılımda yakınsayan bir dizi ile olasılıkta sabite yakınsayan bir dizinin çarpım, bölüm ve toplamlarının limit dağılımlarını belirlememizi sağlar.

5

Yakınsama hiyerarşisini değerlendirmek

Limit dağılımı

N(1,1)

olan bir rastgele değişkendir (sabit değildir).

X_n

sadece dağılımda yakınsadığından,

W_n

için olasılıkta, karesel ortalamada veya hemen hemen kesin yakınsama garanti edilemez.

Dağılımda yakınsama, dizinin aldığı değerlerin değil sadece olasılık dağılımının bir limite yaklaştığını gösterir; en zayıf yakınsama türüdür.

Anahtar Kavram

Dağılımda Yakınsama, Slutsky Teoremi ve Yakınsama Hiyerarşisi

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 8Soru →

İstatistiksel bir çalışmada kullanılan $X$ rastgele değişkeni, sadece pozitif değerler ( $X > 0$ ) almakta ve dejenere olmayan (sabit bir değere eşit olmayan, varyansı sıfırdan farklı) bir dağılıma sahiptir. $X$ 'in birinci ve ikinci momentlerinin sonlu olduğu varsayılmaktadır.

Jensen Eşitsizliği (Jensen's Inequality) ve fonksiyonların yapısal özellikleri dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

g(x) = \ln(x)

fonksiyonu konveks (dışbükey) bir yapıya sahip olduğundan,

E[\ln(X)] > \ln(E[X])

eşitsizliği geçerlidir.

g(x) = \frac{1}{x}

fonksiyonu pozitif aralıkta konveks (dışbükey) bir yapıya sahip olduğundan,

E\left[\frac{1}{X}\right] > \frac{1}{E[X]}

eşitsizliği geçerlidir.

g(x) = e^x

fonksiyonu konkav (içbükey) bir yapıya sahip olduğundan,

E[e^X] < e^{E[X]}

eşitsizliği geçerlidir.

g(x) = \sqrt{x}

fonksiyonu için,

X

'in varyansından bağımsız olarak her zaman

E[\sqrt{X}] = \sqrt{E[X]}

eşitliği sağlanır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $g(x) = \frac{1}{x}$ fonksiyonu pozitif aralıkta konveks (dışbükey) bir yapıya sahip olduğundan, $E\left[\frac{1}{X}\right] > \frac{1}{E[X]}$ eşitsizliği geçerlidir.

Cevap

Doğru yanıt,

g(x) = \frac{1}{x}

fonksiyonunun

(0, \infty)

aralığında konveks olması nedeniyle

E\left[\frac{1}{X}\right] > \frac{1}{E[X]}

eşitsizliğinin geçerli olduğunu belirten ifadedir.

Doğru yanıt,

g(x) = \frac{1}{x}

fonksiyonunun özelliklerini doğru biçimde tanımlayan ifadedir. Bir fonksiyonun konveks (dışbükey) olabilmesi için ikinci türevinin pozitif olması gerekir.

g(x) = \frac{1}{x}

için birinci türev

-\frac{1}{x^2}

, ikinci türev ise

g''(x) = \frac{2}{x^3}

şeklindedir ve

x > 0

aralığında daima pozitiftir. Jensen Eşitsizliği'ne göre, kesin konveks bir

g

fonksiyonu ve dejenere olmayan (

Var(X) > 0

) bir

X

rastgele değişkeni için

E[g(X)] > g(E[X])

kesin eşitsizliği geçerlidir. Bu nedenle

E\left[\frac{1}{X}\right] > \frac{1}{E[X]}

ifadesi matematiksel olarak tamamen doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Jensen eşitsizliğinin temel kuralını hatırlamak.

Konveks bir

g(x)

fonksiyonu için

E[g(X)] \geq g(E[X])

, konkav bir fonksiyon için ise

E[g(X)] \leq g(E[X])

olur.

Eşitsizliğin yönü doğrudan fonksiyonun ikinci türevinin işaretine bağlıdır.

2

Soru kökündeki 'dejenere olmayan' (varyansı sıfırdan farklı) şartını değerlendirmek.

Dejenere olmayan bir dağılım ve kesin konveks/konkav (

g''(x) \neq 0

) bir fonksiyon için eşitlik durumu ortadan kalkar ve eşitsizlikler kesinleşir (

>

veya

<

).

Eşitlik sadece fonksiyon doğrusal olduğunda veya

X

tek bir sabit değer aldığında sağlanır.

3

Seçeneklerdeki fonksiyonların ikinci türevlerini inceleyerek konveks/konkav durumlarını tespit etmek.

g(x)=\ln(x)

konkav (

g''=-1/x^2 < 0

),

g(x)=e^x

konveks (

g''=e^x > 0

),

g(x)=\sqrt{x}

konkav (

g''=-1/(4x^{1.5}) < 0

),

g(x)=1/x

ise konvekstir (

g''=2/x^3 > 0

).

Her seçenekteki iddiayı doğrulamak için yapısal matematiksel özelliklerin netleştirilmesi gerekir.

4

Seçenekleri Jensen eşitsizliği kurallarıyla eşleştirmek.

Sadece

g(x)=1/x

fonksiyonu için yazılan 'konveks olduğundan

E[1/X] > 1/E[X]

olur' iddiası hem yön hem de yapısal tanım açısından tamamen doğrudur.

Diğer seçenekler ya fonksiyon tipini (konveks/konkav) yanlış tanımlamış ya da dejenere olmayan durumda geçerli kesin eşitsizlikleri eşitlik gibi göstermiştir.

Anahtar Kavram

Jensen Eşitsizliği ve Konveks/Konkav Fonksiyon Özellikleri

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 9Soru →

Bir finansal risk analizi modelinde, iki farklı yatırım aracının getiri oranlarını temsil eden $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin karesel beklenen değerleri sırasıyla $E(X^2) = 16$ ve $E(Y^2) = 25$ olarak belirlenmiştir.

Cauchy-Schwarz eşitsizliğine göre, $E(XY)$ 'nin alabileceği maksimum değer kaçtır ve bu maksimum değere ulaşıldığında $Y$ ile $X$ arasındaki doğrusal ilişki ( $P(Y = cX) = 1$ varsayımıyla) aşağıdakilerden hangisidir?

Maksimum değer 20 ;

Y = \frac{5}{4}X

Maksimum değer 20 ;

Y = \frac{4}{5}X

Maksimum değer 20 ;

Y = -\frac{5}{4}X

Maksimum değer 400 ;

Y = \frac{25}{16}X

Maksimum değer 400 ;

Y = \frac{5}{4}X

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Maksimum değer 20 ; $Y = \frac{5}{4}X$

Cevap

Maksimum değer 20 ve değişkenler arasındaki ilişki Y = (5/4)X şeklindedir.

Cauchy-Schwarz eşitsizliğine göre,

[E(XY)]^2 \leq E(X^2)E(Y^2)

olmalıdır. Verilen

E(X^2)=16

ve

E(Y^2)=25

değerleri yerine konulduğunda

[E(XY)]^2 \leq 400

elde edilir. Her iki tarafın karekökü alındığında

E(XY)

'nin değer aralığı

[-20, 20]

olarak bulunur, bu nedenle maksimum değer 20'dir. Cauchy-Schwarz eşitsizliğinde sınır değerlere (maksimum veya minimum) ulaşılması, rastgele değişkenler arasında 1 olasılıkla

Y = cX

şeklinde doğrusal bir ilişki olduğu anlamına gelir. Buradan

E(Y^2) = c^2 E(X^2)

eşitliği kurularak

25 = 16c^2

denklemi çözülür ve

c^2 = \frac{25}{16}

bulunur. Maksimum değer olan +20'ye ulaşabilmesi için iki değişkenin aynı yönde birlikte değişmesi, dolayısıyla katsayının pozitif olması gerekir. Bu durumda

c = \frac{5}{4}

alınarak

Y = \frac{5}{4}X

bağıntısına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Cauchy-Schwarz eşitsizliğinin genel formülünü uygulamak.

[E(XY)]^2 \leq E(X^2)E(Y^2)

kuralına göre

[E(XY)]^2 \leq 16 \times 25 = 400

elde edilir.

İki rastgele değişkenin çarpımının beklenen değerinin sınırlarını belirlemek için temel eşitsizliktir.

2

Elde edilen eşitsizliğin her iki tarafının karekökünü alarak maksimum değeri bulmak.

-20 \leq E(XY) \leq 20

aralığı bulunur, dolayısıyla

E(XY)

'nin alabileceği maksimum değer 20'dir.

Soru bizden alabileceği maksimum değeri (üst sınırı) istemektedir.

3

Maksimum sınıra ulaşıldığında geçerli olan doğrusal ilişki katsayısını (

c

) hesaplamak.

Eşitlik durumunda

P(Y = cX) = 1

olmalıdır.

E(Y^2) = E((cX)^2) = c^2 E(X^2)

eşitliğinde değerler yerine konursa

25 = 16c^2 \implies c^2 = \frac{25}{16} \implies c = \pm\frac{5}{4}

bulunur.

Sınır değerlere ulaşıldığında değişkenler arasında kesin bir doğrusal ilişki bulunması zorunludur.

4

Doğru

c

katsayısının işaretini belirlemek.

E(XY) = 20

(maksimum pozitif değer) olduğu için

X

ve

Y

aynı yönde hareket etmelidir, bu nedenle pozitif olan

c = \frac{5}{4}

seçilir ve

Y = \frac{5}{4}X

elde edilir.

Negatif sınır (-20) sorulsaydı

c

katsayısı negatif (-5/4) seçilirdi; pozitif değer aynı işaretli doğrusal ilişki gerektirir.

Anahtar Kavram

Cauchy-Schwarz Eşitsizliği ve Sınır Durumunda Doğrusal İlişki

Alternatif Yöntem

Eğer X ve Y değişkenlerinin beklenen değerleri sıfır (E(X)=0, E(Y)=0) olsaydı; verilen değerler doğrudan varyanslara eşit olurdu. Bu senaryoda korelasyon katsayısının (-1 ile 1 arasında olma) özelliğinden yola çıkılabilir. Korelasyon katsayısının +1 olması (maksimum Cov(X,Y)) değişkenler arasında pozitif tam doğrusal ilişki (Y = cX) yaratır ve bu durumda eğim, standart sapmaların oranına (5/4) eşit olur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 10Soru →

Bir istatistiksel analizde, kitle ortalaması $\mu$ ( $\mu \neq 0$ ) ve varyansı $\sigma^2$ ( $\sigma^2 < \infty$ ) olan bir dağılımdan $n$ hacimli bağımsız ve aynı dağılımlı $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örneklemi çekilmiştir. Bu örneklem kullanılarak asimptotik özellikleri incelemek amacıyla aşağıdaki $V_n$ istatistiği oluşturulmuştur:

V_n = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i^2}{\sum_{i=1}^{n} X_i}

Buna göre, Zayıf Büyük Sayılar Yasası (WLLN) ve sürekli dönüşüm teoremi dikkate alındığında, $n \to \infty$ iken $V_n$ istatistiği olasılıkta aşağıdakilerden hangisine yakınsar?

\frac{\sigma^2 + \mu^2}{\mu}

\mu

\frac{\sigma^2}{\mu}

\sigma^2 + \mu

\frac{\mu^2}{\sigma^2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{\sigma^2 + \mu^2}{\mu}$

Cevap

İstatistik olasılıkta

\frac{\sigma^2 + \mu^2}{\mu}

değerine yakınsar.

Zayıf Büyük Sayılar Yasası (WLLN) gereğince, bağımsız ve aynı dağılımlı bir örneklemin k. kuvvetlerinin ortalaması, kitlenin k. momentine olasılıkta yakınsar. Bu soruda pay ve paydayı

n

ile böldüğümüzde, pay kısmı ikinci ham momente (

E[X^2] = \sigma^2 + \mu^2

), payda kısmı ise birinci momente (

E[X] = \mu

) olasılıkta yakınsamaktadır. Sürekli dönüşüm teoremi gereği, paydanın limiti sıfırdan farklı (

\mu \neq 0

) olduğu için oranın olasılıkta limiti, limitlerin oranına eşittir. Sonuç

\frac{\sigma^2 + \mu^2}{\mu}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

V_n

istatistiğinin pay ve paydasını

n

değerine bölerek örneklem ortalamaları formuna getirin.

V_n = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i^2}{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i}

Zayıf Büyük Sayılar Yasası'nın (WLLN) standart örneklem ortalaması formüllerine uygulanabilmesi için bu düzenleme gereklidir.

2

Zayıf Büyük Sayılar Yasası'nı paydaki ifadeye uygulayın.

\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \xrightarrow{P} E[X^2] = \sigma^2 + \mu^2

WLLN'ye göre, karelerin örneklem ortalaması, kitlenin ikinci ham momentine (

E[X^2]

) olasılıkta yakınsar. Varyans formülünden

E[X^2] = Var(X) + (E[X])^2

eşitliği kullanılmıştır.

3

Zayıf Büyük Sayılar Yasası'nı paydadaki ifadeye uygulayın.

\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i \xrightarrow{P} E[X] = \mu

WLLN'ye göre, rastgele değişkenlerin aritmetik ortalaması kitle ortalamasına olasılıkta yakınsar.

4

Sürekli dönüşüm teoremini (Continuous Mapping Theorem) kullanarak limitlerin oranını hesaplayın.

V_n \xrightarrow{P} \frac{\sigma^2 + \mu^2}{\mu}

\mu \neq 0

koşulu sağlandığından, olasılıkta yakınsayan iki dizinin oranı, bu dizilerin limitlerinin oranına olasılıkta yakınsar.

Anahtar Kavram

Zayıf Büyük Sayılar Yasası (WLLN) ve Sürekli Dönüşüm Teoremi

Soru 11Soru →

Sadece pozitif değerler alan ve varyansı sıfırdan farklı (dejenere olmayan) bir $X$ rastgele değişkeni göz önüne alınsın.

Buna göre, Jensen eşitsizliği dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

E[X^2] < (E[X])^2

E[\sqrt{X}] > \sqrt{E[X]}

E[\ln(X)] < \ln(E[X])

E\left[\frac{1}{X}\right] < \frac{1}{E[X]}

E[e^X] = e^{E[X]}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $E[\ln(X)] < \ln(E[X])$

Cevap

Doğru ifade

E[\ln(X)] < \ln(E[X])

'dir.

\ln(x)

kesin konkav bir fonksiyon olduğundan ve

X

dejenere olmadığından, logaritma fonksiyonunun beklenen değeri, beklenen değerin logaritmasından kesin olarak küçüktür.

Jensen eşitsizliğine göre,

g(x)

fonksiyonu kesin konkav (strictly concave) ve

X

dejenere olmayan bir rastgele değişken ise

E[g(X)] < g(E[X])

eşitsizliği sağlanır.

g(x) = \ln(x)

fonksiyonunun ikinci türevi

g''(x) = -\frac{1}{x^2} < 0

olduğundan bu fonksiyon kesin konkavdır. Bu koşullar altında

E[\ln(X)] < \ln(E[X])

ifadesi matematiksel olarak kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen fonksiyonların konvekslik (dışbükey) veya konkavlık (içbükey) durumlarını ikinci türev testi ile belirleme.

x^2

,

1/x

,

e^x

fonksiyonlarının konveks;

\ln(x)

ve

\sqrt{x}

fonksiyonlarının ise konkav olduğu tespit edilir.

Jensen eşitsizliğinin yönünü belirleyen temel unsur fonksiyonun yapısal şeklidir.

2

Jensen eşitsizliği kuralını, varyansı sıfırdan farklı (dejenere olmayan) değişken şartıyla uygulama.

Dejenere olmayan dağılımlarda kesin konveks fonksiyonlar için

E[g(X)] > g(E[X])

, kesin konkav fonksiyonlar için

E[g(X)] < g(E[X])

eşitsizlikleri elde edilir.

Değişken sabit bir sayı olmadığı için eşitlik durumu ortadan kalkar ve kesin eşitsizlik geçerli olur.

3

Elde edilen teorik yönleri seçeneklerdeki eşitsizliklerle karşılaştırma.

Sadece

g(x) = \ln(x)

fonksiyonunu içeren eşitsizliğin yönü (

<

) konkavlık kuralıyla birebir uyuşmaktadır.

Matematiksel olarak geçerli tek seçeneği doğrulamak için tek tek eşleştirme yapılır.

Anahtar Kavram

Jensen Eşitsizliği ve Konveks/Konkav Fonksiyonlarda Beklenen Değer

Soru 12Soru →

Bir fabrikada üretilen günlük ürün miktarı $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in beklenen değeri $E[X] = 120$ ve varyansı $Var(X) = 25$ olarak verilmiştir.

Üretilen ürünlerin satışından elde edilen günlük gelir (TL cinsinden) $Y = 4X + 100$ denklemi ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, Chebyshev eşitsizliği kullanıldığında günlük gelirin $520$ TL ile $640$ TL arasında olma olasılığı en az kaçtır?

\frac{1}{9}

\frac{2}{3}

\frac{8}{9}

\frac{31}{36}

\frac{35}{36}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{8}{9}$

Cevap

Günlük gelirin belirtilen aralıkta olma olasılığının alt sınırı

\frac{8}{9}

olarak bulunur.

Doğru yanıt, günlük gelirin

Y = 4X + 100

denklemi ile oluşturulmasının ardından beklenen değerinin

580

ve varyansının

400

(standart sapmasının

20

) olarak doğru şekilde hesaplanmasıyla bulunur. İstenen

520

ile

640

arasındaki değerler,

580

ortalamasından

60

birim uzaklıktadır. Bu uzaklık, standart sapmanın (

20

) tam

3

katıdır (

k=3

). Chebyshev eşitsizliği uyarınca, rastgele bir değişkenin ortalamasından

k

standart sapma uzaklıktaki bir aralıkta yer alma olasılığı daima en az

1 - 1/k^2

olur.

k=3

için bu değer

1 - 1/3^2 = 1 - 1/9 = 8/9

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Y

rastgele değişkeninin beklenen değerini hesapla.

E[Y] = E[4X + 100] = 4E[X] + 100 = 4(120) + 100 = 580

Chebyshev eşitsizliğini uygulayabilmek için öncelikle yeni değişkenin ortalamasına (beklenen değerine) ihtiyaç vardır.

2

Y

rastgele değişkeninin varyansını ve standart sapmasını hesapla.

Var(Y) = Var(4X + 100) = 4^2 \times Var(X) = 16 \times 25 = 400

. Buradan standart sapma

\sigma_Y = \sqrt{400} = 20

bulunur.

Eşitsizlikte sapma miktarını standart sapma cinsinden (

k\sigma

) ifade edebilmek için

Y

'nin standart sapması bulunmalıdır.

3

Verilen aralığın ortalamadan ne kadar saptığını bularak

k

değerini belirle.

Aralık

(520, 640)

olarak verilmiştir.

580 - 520 = 60

ve

640 - 580 = 60

olduğundan sapma miktarı

c = 60

'tır.

c = k\sigma_Y \implies 60 = k \times 20 \implies k = 3

.

Aralığın sınırları ortalamadan eşit uzaklıktadır. Chebyshev formülündeki

k

(standart sapma çarpanı) değerini bulmak için toplam sapma standart sapmaya bölünür.

4

Chebyshev eşitsizliğini kullanarak olasılığın alt sınırını hesapla.

P(|Y - \mu_Y| < k\sigma_Y) \ge 1 - \frac{1}{k^2} \implies P(|Y - 580| < 60) \ge 1 - \frac{1}{3^2} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}

.

Bir rastgele değişkenin ortalamasından

k

standart sapma kadar uzaklıktaki bir aralıkta değer alma olasılığı en az

1 - 1/k^2

kadardır.

Anahtar Kavram

Chebyshev Eşitsizliği ve Varyans Özellikleri

Soru 13Soru →

Sadece pozitif değerler alan bir

X

rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu (MGF)

M_X(t) = (1-3t)^{-2}, \quad t < \frac{1}{3}

olarak verilmiştir.

Markov eşitsizliği kullanılarak $P(X \ge 18)$ olasılığı için üst sınırlar belirlenmek istenmektedir. $X$ 'in beklenen değeri kullanılarak elde edilen standart Markov üst sınırı $S_1$ ve $X$ 'in karesel dönüşümü ( $X^2$ ) üzerinden yine Markov eşitsizliği uygulanarak elde edilen üst sınır $S_2$ olduğuna göre, $S_1 - S_2$ farkı kaçtır?

\frac{1}{6}

\frac{5}{24}

\frac{5}{18}

\frac{5}{54}

\frac{1}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{6}$

Cevap

Hesaplanan S_1 (1/3) ve S_2 (1/6) değerlerinin farkı 1/6'dır.

Doğru cevap, MGF kullanılarak bulunan

E[X]=6

ve

E[X^2]=54

momentlerinin Markov eşitsizliğine doğru biçimde yerleştirilmesiyle elde edilir. Standart eşitsizlik

S_1 = 6/18 = 1/3

sonucunu verir.

X

'in karesel dönüşümü için ise olay

P(X^2 \ge 324)

haline gelir ve sınır

S_2 = 54/324 = 1/6

olur. Bu iki değerin farkı

1/3 - 1/6 = 1/6

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Moment çıkaran fonksiyonun birinci türevini alarak beklenen değeri (

E[X]

) hesapla.

M_X'(t) = -2(1-3t)^{-3} \cdot (-3) = 6(1-3t)^{-3} \implies E[X] = M_X'(0) = 6

Markov eşitsizliğinin standart formu için

X

'in birinci momentine ihtiyaç vardır.

2

Moment çıkaran fonksiyonun ikinci türevini alarak karesel beklenen değeri (

E[X^2]

) hesapla.

M_X''(t) = -18(1-3t)^{-4} \cdot (-3) = 54(1-3t)^{-4} \implies E[X^2] = M_X''(0) = 54

X^2

dönüşümü üzerinden Markov eşitsizliği kurabilmek için ikinci momente ihtiyaç vardır.

3

X

'in beklenen değeri üzerinden standart Markov üst sınırını (

S_1

) hesapla.

P(X \ge 18) \le \frac{E[X]}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} \implies S_1 = \frac{1}{3}

Markov eşitsizliği formülü

P(X \ge a) \le \frac{E[X]}{a}

şeklindedir.

4

X^2

dönüşümü üzerinden Markov üst sınırını (

S_2

) hesapla.

X \ge 18 \implies X^2 \ge 324

.

P(X^2 \ge 324) \le \frac{E[X^2]}{324} = \frac{54}{324} = \frac{1}{6} \implies S_2 = \frac{1}{6}

X

pozitif tanımlı olduğundan

X \ge a

olayı ile

X^2 \ge a^2

olayı denktir; monoton artan fonksiyonlar Markov eşitsizliği mantığıyla daha dar sınırlar üretebilir.

5

Bulunan

S_1

ve

S_2

değerlerinin farkını al.

S_1 - S_2 = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}

Soruda iki sınır arasındaki fark istenmektedir.

Anahtar Kavram

Moment Çıkaran Fonksiyonlar ve Markov Eşitsizliğinin Dönüşümlere Uygulanması

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 14Soru →

Bir devlet kurumunun vatandaşlık işleri merkezine günlük yapılan başvuru sayısı $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in negatif olmayan bir rastgele değişken olduğu ( $X \geq 0$ ) bilinmektedir. Uzun dönemli kayıtlara göre, günlük ortalama başvuru sayısı $E[X] = 60$ ve başvuru sayısının varyansı $Var(X) = 144$ olarak belirlenmiştir.

Buna göre, rastgele seçilen bir günde kuruma yapılan başvuru sayısının 150 veya daha fazla olma olasılığı ( $P(X \geq 150)$ ) için Markov eşitsizliği kullanılarak hesaplanabilecek üst sınır aşağıdakilerden hangisidir?

0.08

0.20

0.40

0.60

0.96

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.40

Cevap

0.40

Markov eşitsizliği, sadece negatif olmayan rastgele değişkenler (

X \geq 0

) için geçerli olup, dağılımı bilinmeyen bir değişkenin belirli bir

a > 0

değerini aşma olasılığının üst sınırını

P(X \geq a) \leq \frac{E[X]}{a}

formülü ile verir. Soruda beklenen değer

E[X] = 60

ve sorulan sınır

a = 150

olarak verilmiştir. Bu değerleri formüle yerleştirdiğimizde üst sınır

\frac{60}{150} = 0.40

olarak hesaplanır. Soruda yer alan

Var(X) = 144

bilgisi, Chebyshev eşitsizliğini çağrıştırmak için eklenmiş bir çeldiricidir ve bu eşitsizlikte kullanılmaz.

Adım Adım Çözüm

1

Markov eşitsizliği formülünün hatırlanması ve kontrol edilmesi.

P(X \geq a) \leq \frac{E[X]}{a}

Soru

X \geq 0

koşulunu sağlayan bir rastgele değişken için belirli bir değerden büyük olma olasılığının üst sınırını Markov eşitsizliği ile istemektedir.

2

Soruda verilen parametrelerin formüldeki yerlerine yerleştirilmesi.

E[X] = 60

ve aranan sınır değeri

a = 150

'dir.

Markov eşitsizliği sadece beklenen değere (

E[X]

) ihtiyaç duyar; soruda çeldirici olarak verilen varyans (

Var(X) = 144

) değeri bu hesaplamada kullanılmaz.

3

Matematiksel işlemin yapılarak üst sınırın hesaplanması.

P(X \geq 150) \leq \frac{60}{150} = \frac{2}{5} = 0.40

Olasılığın geçemeyeceği maksimum değeri elde etmek içindir.

Anahtar Kavram

Markov Eşitsizliği

Soru 15Soru →

Bir finansal risk analisti, piyasa dalgalanmalarını modellemek amacıyla daima pozitif değerler alan ( $R > 0$ ) ve varyansı sıfırdan büyük olan (dejenere olmayan) bir $R$ rastgele değişkeni tanımlamıştır. Analist, risk metriklerini oluştururken bu değişkenin çeşitli dönüşümleri altındaki beklenen değerlerini incelemektedir.

Buna göre, Jensen eşitsizliği prensipleri dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi matematiksel olarak kesinlikle doğrudur?

E\left[\frac{1}{R}\right] = \frac{1}{E[R]}

ve

E[R^2] = (E[R])^2

E[e^R] < e^{E[R]}

E[\ln(R)] \geq \ln(E[R])

E[\sqrt{R}] < \sqrt{E[R]}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $E[\sqrt{R}] < \sqrt{E[R]}$

Cevap

E[\sqrt{R}] < \sqrt{E[R]}

eşitsizliği kesinlikle doğrudur.

g(x) = \sqrt{x}

fonksiyonu pozitif reel sayılarda kesin konkav (içbükey) bir fonksiyondur (ikinci türevi negatiftir). Jensen eşitsizliğine göre kesin konkav fonksiyonlar için beklenen değerin fonksiyonu, fonksiyonun beklenen değerinden büyüktür. Ancak değişkenin varyansı sıfırdan büyük (dejenere değil) olduğu için, eşitsizlik kesin büyüktür/küçüktür haline gelir. Formüle edildiğinde

E[\sqrt{R}] < \sqrt{E[R]}

kesin eşitsizliği elde edilir ve bu ifade matematiksel olarak tamamen doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Jensen eşitsizliğinin temel kuralını hatırlayın.

g(x)

konveks (dışbükey) ise

E[g(X)] \geq g(E[X])

, konkav (içbükey) ise

E[g(X)] \leq g(E[X])

olur.

Beklenen değer operatörünün doğrusal olmayan fonksiyonlar altındaki davranışı bu eşitsizlikle belirlenir.

2

Değişkenin özelliklerinin eşitsizliğe etkisini değerlendirin.

Soruda

R

'nin dejenere olmadığı (varyansının

>0

olduğu) belirtilmiştir. Bu durumda fonksiyonlar kesin konveks/konkav ise, eşitsizliklerdeki eşitlik durumu kalkar ve kesin eşitsizlikler (

<

veya

>

) elde edilir.

Eşitlik durumu yalnızca doğrusal fonksiyonlarda veya rastgele değişkenin sabit bir sayı olması (varyans=0) durumunda sağlanır.

3

Seçeneklerdeki fonksiyonların konvekslik/konkavlık durumlarını analiz edin.

g(x) = 1/x

,

g(x) = x^2

ve

g(x) = e^x

fonksiyonları pozitif

x

değerleri için kesin konvekstir.

g(x) = \ln(x)

ve

g(x) = \sqrt{x}

ise kesin konkavdır.

Fonksiyonların ikinci türevleri alınarak işaretleri kontrol edilebilir.

4

Bulguları seçeneklerle eşleştirerek doğru eşitsizliği bulun.

Konkav olan

\sqrt{x}

fonksiyonu için Jensen eşitsizliği

E[\sqrt{R}] < \sqrt{E[R]}

sonucunu verir. Diğer seçeneklerdeki yönler veya eşitlik iddiaları hatalıdır.

Matematiksel tanım gereği konkav fonksiyon eğrisinin altındaki kirişin (beklenen değer noktası) değeri eğrinin değerinden küçüktür.

Anahtar Kavram

Jensen Eşitsizliği ve Fonksiyonların Konveksliği/Konkavlığı

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 16Soru →

Bir sinyal işleme uygulamasında, sisteme etki eden $X$ ve $Y$ rastgele gürültü değişkenlerinin varyansları sırasıyla $Var(X) = 4$ ve $Var(Y) = 25$ olarak verilmiştir.

Cauchy-Schwarz eşitsizliğine göre, bu iki değişken arasındaki kovaryansın ( $Cov(X,Y)$ ) alabileceği maksimum değer kaçtır ve bu üst sınıra ulaşıldığında $X$ ile $Y$ arasındaki ilişkinin biçimi aşağıdakilerden hangisidir? ( $a > 0$ ve $b$ gerçel sabitlerdir.)

10 ;

Y = aX + b

şeklinde tam doğrusal bir ilişki vardır

100 ;

Y = aX + b

şeklinde tam doğrusal bir ilişki vardır

0 ;

X

ve

Y

birbirinden tamamen bağımsızdır

29 ;

Y = aX + b

şeklinde tam doğrusal bir ilişki vardır

10 ;

X

ve

Y

değişkenleri için

E(XY) = E(X)E(Y)

eşitliği sağlanır

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10 ; $Y = aX + b$ şeklinde tam doğrusal bir ilişki vardır

Cevap

Kovaryansın alabileceği maksimum değer 10'dur ve bu duruma

Y = aX + b

biçimindeki tam doğrusal ilişki ile ulaşılır.

Cauchy-Schwarz eşitsizliği, kovaryans ve varyanslar için

(Cov(X,Y))^2 \leq Var(X)Var(Y)

yapısına sahiptir.

Var(X)=4

ve

Var(Y)=25

değerleri çarpıldığında 100 bulunur. Eşitsizliğin her iki tarafının karekökü alındığında sınırın

[-10, 10]

olduğu görülür ve kovaryansın maksimum değeri 10 olarak hesaplanır. Bu maksimum değere (yani korelasyon katsayısının

+1

olduğu noktaya) değişkenler arasında pozitif eğimli kusursuz bir doğrusal ilişki (

Y = aX + b, a > 0

) olduğunda ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Cauchy-Schwarz eşitsizliğinin kovaryans ve varyans cinsinden formülünü kurun.

(Cov(X,Y))^2 \leq Var(X) \cdot Var(Y)

Rastgele değişkenler arasındaki kovaryansın sınırlarını bulabilmek için temel Cauchy-Schwarz eşitsizliği kullanılır.

2

Verilen varyans değerlerini eşitsizlikte yerine yazarak kovaryansın aralığını hesaplayın.

(Cov(X,Y))^2 \leq 4 \cdot 25 = 100 \implies -10 \leq Cov(X,Y) \leq 10

Varyansların çarpımı 100'dür. Karesi 100'den küçük eşit olan bir sayının alabileceği maksimum pozitif değer 10'dur.

3

Eşitsizlikte eşitlik durumunun (üst sınırın) sağlandığı matematiksel koşulu belirleyin.

Eşitlik durumu, iki değişken arasında tam doğrusal bir ilişki olduğunda (

Y = aX + b

) sağlanır.

İki rastgele değişken arasındaki korelasyon katsayısı

\rho = \pm 1

olduğunda kovaryans, teorik sınırlarına ulaşır. Pozitif üst sınır (

+10

) için eğimin pozitif (

a > 0

) olduğu mükemmel doğrusal bir ilişki gereklidir.

Anahtar Kavram

Cauchy-Schwarz eşitsizliğine göre, iki rastgele değişkenin kovaryansının karesi varyanslarının çarpımını aşamaz. Eşitlik durumuna (maksimum veya minimum sınırlara) ancak değişkenler arasında mükemmel doğrusal ilişki bulunduğunda ulaşılır.

Soru 17Soru →

Bir endüstriyel kalite kontrol sürecinde, üretilen yeni nesil bataryaların performansını değerlendirmek amacıyla ardışık test prosedürleri uygulanmaktadır. Birinci test aşamasından elde edilen hata sapma istatistikleri dizisi $\{U_n\}$ , ikinci test aşamasından hesaplanan kalibrasyon faktörü dizisi ise $\{V_n\}$ ile gösterilmektedir.

Yapılan istatistiksel analizler neticesinde; $\{U_n\}$ dizisinin standart normal dağılıma sahip bir $Z$ rastgele değişkenine dağılımda yakınsadığı ( $U_n \xrightarrow{d} Z$ ) ve $\{V_n\}$ dizisinin ise $c$ ( $c > 0$ ) gibi sabit bir gerçel sayıya olasılıkta yakınsadığı ( $V_n \xrightarrow{p} c$ ) tespit edilmiştir.

Bu bilgilere ve asimptotik limit teoremlerine göre, $W_n = \frac{U_n}{V_n}$ olarak tanımlanan ağırlıklandırılmış test istatistiği dizisinin limit davranışı hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Slutsky Teoremi gereğince

\{W_n\}

dizisi

\frac{Z}{c}

rastgele değişkenine dağılımda yakınsar ve bu dizinin birikimli dağılım fonksiyonu, limit dağılım fonksiyonunun her süreklilik noktasında asimptotik olarak yakınsama özelliğini sağlar.

Dağılımda yakınsama hiyerarşik olarak olasılıkta yakınsamayı zorunlu kıldığından,

\{U_n\}

dizisi olasılıkta da yakınsar ve

\{W_n\}

'nin

\frac{Z}{c}

'ye olan yakınsaması olasılıkta yakınsamaya dönüşür.

Sabit bir sayıya olasılıkta yakınsama, hemen hemen kesin (almost sure) yakınsamayı da doğrudan içerdiğinden,

\{W_n\}

dizisi

\frac{Z}{c}

değerine hemen hemen kesin olarak yakınsar.

\{W_n\}

dizisi dağılımda yakınsadığı için, limit dağılımının birikimli dağılım fonksiyonu yalnızca pozitif destek kümesinde

\int_0^w f(t) dt

şeklinde hesaplanarak tüm gerçel sayılarda yakınsama garanti edilir.

\{W_n\}

dizisinin dağılımda yakınsaması, aynı zamanda

r

-inci mertebeden ortalamada (r-th mean) yakınsamayı ifade eder; bu durum limit varyansının her zaman sonlu olmasını gerektirir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Slutsky Teoremi gereğince $\{W_n\}$ dizisi $\frac{Z}{c}$ rastgele değişkenine dağılımda yakınsar ve bu dizinin birikimli dağılım fonksiyonu, limit dağılım fonksiyonunun her süreklilik noktasında asimptotik olarak yakınsama özelliğini sağlar.

Cevap

Doğru yanıt, Slutsky Teoremi uyarınca bölme işleminin asimptotik dağılımının korunarak birikimli dağılım fonksiyonunun süreklilik noktalarında limit fonksiyona yakınsadığını belirten ifadedir.

Verilen iki dizinin özellikleri Slutsky Teoremi'nin kullanımını zorunlu kılar. Teoreme göre, eğer

U_n \xrightarrow{d} Z

ve

V_n \xrightarrow{p} c

ise oranları olan

W_n

dizisi

Z/c

'ye dağılımda yakınsar. Dağılımda yakınsamanın formal ve tam matematiksel tanımı gereği,

\{W_n\}

'nin birikimli dağılım fonksiyonu olan

F_{W_n}(w)

, limit dağılım fonksiyonunun tüm süreklilik noktalarında

F_{Z/c}(w)

değerine yakınsamak zorundadır.

Adım Adım Çözüm

1

Öncüllerde verilen

\{U_n\} \xrightarrow{d} Z

ve

\{V_n\} \xrightarrow{p} c

ifadelerini Slutsky Teoremi kapsamında değerlendirmek.

W_n = \frac{U_n}{V_n} \xrightarrow{d} \frac{Z}{c}

elde edilir.

Slutsky Teoremi, bir dizinin dağılımda, diğerinin sıfırdan farklı sabit bir sayıya olasılıkta yakınsadığı durumlarda bölme işleminin asimptotik limit özelliklerini koruduğunu gösterir.

2

Dağılımda yakınsamanın birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) bazındaki formal matematiksel tanımını uygulamak.

F_{W_n}(w) \to F_{Z/c}(w)

yakınsaması

F_{Z/c}

fonksiyonunun her süreklilik noktasında geçerli olur.

Dağılımda yakınsamanın temel tanımı, dizinin CDF'sinin limit rastgele değişkenin CDF'sine sadece süreklilik noktalarında asimptotik olarak eşitlenmesini gerektirir.

3

Yakınsama türleri arasındaki hiyerarşik ilişkileri (olasılıkta, hemen hemen kesin, r-inci mertebeden) kontrol ederek çeldiricileri elemek.

Dağılımda yakınsama en zayıf yakınsama türü olduğundan, diğer yakınsama biçimlerini zorunlu kılmaz.

Yakınsama hiyerarşisinde

a.s. \implies p \implies d

kuralı geçerlidir, ancak yön geriye doğru (dağılımdan olasılığa veya kesin yakınsamaya) çalışmaz.

Anahtar Kavram

Dağılımda Yakınsama ve Slutsky Teoremi

Soru 18Soru →

Bir gümrük müdürlüğünde günlük olarak tespit edilen hatalı beyanname sayısı $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in negatif olmayan değerler aldığı, beklenen değerinin $20$ ve varyansının $16$ olduğu bilinmektedir.

Müdürlük yönetimi, Markov eşitsizliğini kullanarak bir günde tespit edilen hatalı beyanname sayısının $k$ veya daha fazla olma olasılığının üst sınırını $0,04$ olarak hesaplamıştır.

Buna göre, $k$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

40

100

400

500

900

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 500

Cevap

Doğru değer 500'dür.

Markov eşitsizliği, sadece negatif olmayan

X

rastgele değişkenleri için bir olayın gerçekleşme olasılığının üst sınırını

P(X \ge k) \le \frac{E[X]}{k}

formülü ile verir. Soruda verilen beklenen değer

E[X] = 20

ve hesaplanan üst sınır

0,04

değerleri formülde yerine konulduğunda

\frac{20}{k} = 0,04

denklemi elde edilir. Buradan

k = \frac{20}{0,04} = 500

olarak hesaplanır. Sorudaki varyans bilgisi, öğrencilerin Chebyshev eşitsizliği ile Markov eşitsizliği arasındaki kural farkını bilip bilmediğini ölçmek için verilmiş bir çeldiricidir.

Adım Adım Çözüm

1

Markov eşitsizliği genel formülünü yazın.

P(X \ge k) \le \frac{E[X]}{k}

Soruda olasılık üst sınırının Markov eşitsizliği ile hesaplandığı belirtilmiştir.

2

Soruda verilen parametreleri formülde yerlerine koyun.

Olasılık üst sınırı

= 0,04

ve

E[X] = 20

kullanıldığında:

\frac{20}{k} = 0,04

denklemi elde edilir.

Sınır değerini (

k

) bulmak için bilinen parametreler eşitlikte kullanılmalıdır. Varyans (

16

) bilgisi Markov eşitsizliğinde kullanılmaz.

3

Denklemi çözerek

k

değerini hesaplayın.

k = \frac{20}{0,04} = \frac{2000}{4} = 500

Eşitsizliği sağlayan aranan sınır değeri cebirsel işlemlerle yalnız bırakılarak bulunur.

Anahtar Kavram

Markov Eşitsizliği (Markov's Inequality)

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 19Soru →

Bir tıbbi araştırmada, hastaların kanındaki iki farklı enzimin seviyeleri $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. Bu değişkenlerin ikinci momentlerinin (karesel beklenen değerlerinin) sırasıyla $E(X^2) = 9$ ve $E(Y^2) = 64$ olduğu saptanmıştır.

Cauchy-Schwarz eşitsizliği göz önüne alındığında, $X$ ile $Y$ değişkenlerinin çarpımının beklenen değeri olan $E(XY)$ 'nin alabileceği en büyük değer ile bu maksimum değere ulaşılması için değişkenler arasında olasılık 1 ile bulunması gereken ilişki aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

En büyük değer 576 ;

Y = \frac{64}{9}X

olmalıdır.

En büyük değer 24 ;

Y = -\frac{8}{3}X

olmalıdır.

En büyük değer 24 ;

X

ve

Y

birbirinden bağımsız olmalıdır.

En büyük değer 24 ;

Y = \frac{8}{3}X

olmalıdır.

En büyük değer 24 ;

Y = \frac{3}{8}X

olmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: En büyük değer 24 ; $Y = \frac{8}{3}X$ olmalıdır.

Cevap

En büyük değer 24'tür ve bu değere ancak

Y = \frac{8}{3}X

şeklinde bir ilişki olduğunda ulaşılır.

Verilen ikinci moment değerlerine (9 ve 64) Cauchy-Schwarz eşitsizliği uygulandığında, çarpımın karesi bu değerlerin çarpımından (576) küçük veya eşit olmalıdır. Bu durum,

E(XY)

'nin maksimum değerinin

\sqrt{576} = 24

olduğunu gösterir. Cauchy-Schwarz eşitsizliğinde eşitliğin sağlanabilmesi için değişkenlerden birinin diğerinin sabit bir katı (

Y = cX

) olması şarttır. İstenen pozitif maksimum değere ulaşmak için katsayının pozitif kökü alınır;

c = \sqrt{64/9} = 8/3

olur. Bu nedenle ilişki

Y = \frac{8}{3}X

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Cauchy-Schwarz eşitsizliğini rastgele değişkenler için uygulayın.

[E(XY)]^2 \leq E(X^2)E(Y^2)

formülü yazılır.

Çarpımın beklenen değerinin üst sınırını belirlemek için momentler arasındaki temel eşitsizlik kuralıdır.

2

Verilen değerleri eşitsizlikte yerine koyarak

E(XY)

'nin sınırlarını hesaplayın.

[E(XY)]^2 \leq 9 \times 64 = 576 \implies -24 \leq E(XY) \leq 24

. Dolayısıyla en büyük değer 24'tür.

Eşitsizliğin her iki tarafının karekökü alınarak

E(XY)

'nin alabileceği maksimum pozitif değer bulunur.

3

Maksimum sınıra (eşitsizlikte eşitlik durumuna) ulaşılabilmesi için gereken kuralı belirleyin.

Eşitlik durumunun sağlanması için

X

ve

Y

arasında olasılık 1 ile tam doğrusal bir ilişki (

Y = cX

) olmalıdır.

Cauchy-Schwarz eşitsizliği sadece ve sadece değişkenler arasında skaler bir çarpım ilişkisi (lineer bağımlılık) varsa eşitlik halini alır.

4

Pozitif maksimum değeri veren

c

katsayısını hesaplayın.

E(Y^2) = c^2 E(X^2) \implies 64 = c^2 \times 9 \implies c^2 = \frac{64}{9}

. En büyük (pozitif) değer istendiği için

c = \frac{8}{3}

alınır ve

Y = \frac{8}{3}X

ilişkisi elde edilir.

E(XY) = cE(X^2) = c \times 9 = 24

eşitliğini sağlayacak olan doğru (pozitif) yönlü ilişkiyi belirlemek.

Anahtar Kavram

Cauchy-Schwarz Eşitsizliği ve Beklenen Değer

Soru 20Soru →

Olasılık teorisinde rastgele değişken dizilerinin yakınsama türleri arasındaki ilişkiler ve asimptotik özellikleri istatistiksel çıkarsama için büyük önem taşır.

Aynı olasılık uzayında tanımlı $\{X_n\}$ ve $\{Y_n\}$ rastgele değişken dizileri verilmiş olsun. $n \to \infty$ iken $X_n$ dizisinin $X$ rastgele değişkenine dağılımda yakınsadığı ( $X_n \xrightarrow{d} X$ ), $Y_n$ dizisinin ise sıfırdan farklı sabit bir $c$ sayısına olasılıkta yakınsadığı ( $Y_n \xrightarrow{p} c$ ) bilinmektedir.

Buna göre, bu dizilerin asimptotik davranışları hakkında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

X_n \cdot Y_n

çarpımı,

c \cdot X

rastgele değişkenine dağılımda yakınsar.

X_n + Y_n

toplamı,

X + c

rastgele değişkenine olasılıkta yakınsar.

X_n

dizisi

X

'e dağılımda yakınsadığından,

X_n

dizisi

X

'e hemen hemen kesin (almost sure) yakınsar.

Y_n

dizisi sabit bir

c

değerine olasılıkta yakınsadığı için,

Y_n

dizisi

c

'ye karesel ortalamada (in mean square) her zaman yakınsar.

X_n

dizisinin birikimli dağılım fonksiyonu

F_{X_n}(x)

, limit değişkeni

X

'in birikimli dağılım fonksiyonu

F_X(x)

'e tüm gerçel sayılar kümesindeki her

x

noktası için yakınsar.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $X_n \cdot Y_n$ çarpımı, $c \cdot X$ rastgele değişkenine dağılımda yakınsar.

Cevap

Dizilerin çarpımı olan X_n * Y_n dizisinin c * X rastgele değişkenine dağılımda yakınsadığını ifade eden seçenek doğrudur.

Slutsky Teoremi, asimptotik teoride rastgele değişken dizileri üzerinde yapılan cebirsel işlemlerin limit dağılımlarını belirlemek için temel bir araçtır. Eğer bir

\{X_n\}

dizisi

X

'e dağılımda yakınsıyor (

X_n \xrightarrow{d} X

) ve bir

\{Y_n\}

dizisi sabit bir

c

sayısına olasılıkta yakınsıyorsa (

Y_n \xrightarrow{p} c

), Slutsky Teoremi gereğince bu dizilerin çarpımı olan

X_n \cdot Y_n

,

c \cdot X

rastgele değişkenine dağılımda yakınsar (

X_n \cdot Y_n \xrightarrow{d} c \cdot X

). Aynı kural toplamlar için de geçerlidir (

X_n + Y_n \xrightarrow{d} X + c

).

Adım Adım Çözüm

1

Soruda verilen yakınsama türlerini ve özelliklerini tanımlama.

X_n \xrightarrow{d} X

(Dağılımda yakınsama) ve

Y_n \xrightarrow{p} c

(Sabite olasılıkta yakınsama) koşulları belirlenir.

Uygulanacak limit teoremini seçebilmek için mevcut dizilerin asimptotik davranışlarının tespit edilmesi gerekir.

2

Diziler arasındaki işlemlerde kullanılması gereken uygun asimptotik teoremi belirleme.

Bir dizi dağılımda, diğer dizi ise bir sabite olasılıkta yakınsadığı için bu senaryonun Slutsky Teoremi'nin temel tanımına uyduğu saptanır.

Slutsky Teoremi, farklı türde yakınsayan iki dizinin toplam, fark, çarpım ve bölümlerinin asimptotik özelliklerini açıklar.

3

Slutsky Teoremi'nin sonuçlarını değerlendirip seçeneklerle eşleştirme.

Teoreme göre

X_n \cdot Y_n \xrightarrow{d} c \cdot X

ve

X_n + Y_n \xrightarrow{d} X + c

olmalıdır. Sadece çarpımın dağılımda yakınsadığı ifade doğrudur.

Teorem, sonuçların en zayıf yakınsama türü olan 'dağılımda yakınsama' formatında olacağını garanti eder, olasılıkta yakınsamaya yükseltmez.

Anahtar Kavram

Slutsky Teoremi ve Yakınsama Hiyerarşisi

Limit Teoremleri ve Eşitsizlikler

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap