Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorRao-Blackwell Teoremi

Bir fabrikada üretilen belirli bir ürünün üzerindeki kusur sayısının λ\lambda parametreli Poisson dağılımına uyduğu bilinmektedir. Bu ürünlerden nn (n>1n > 1) tanesi rastgele seçilerek X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n örneklemi oluşturuluyor. Bir ürünün kusursuz olma olasılığı olan θ=P(X1=0)=e−λ\theta = P(X_1 = 0) = e^{-\lambda} parametresinin tahmini ile ilgilenilmektedir.

Bu parametre için ilk olarak sadece ilk gözleme dayalı yansız bir tahmin edici olan T=I(X1=0)T = I(X_1 = 0) (burada II gösterge fonksiyonudur) öneriliyor. Daha sonra S=∑i=1nXiS = \sum_{i=1}^n X_i yeterli istatistiği kullanılarak Rao-Blackwell teoremi yardımıyla TT tahmin edicisi koşullu beklenen değer işlemiyle iyileştiriliyor ve T∗=E(T∣S)T^* = E(T|S) yansız tahmin edicisi elde ediliyor.

Buna göre, Rao-Blackwell teoreminin sağladığı varyans iyileştirmesi (kazancı) olan Var(T)−Var(T∗)Var(T) - Var(T^*) farkı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

  1. e−λ−e−λ(2n−1n)e^{-\lambda} - e^{-\lambda\left(\frac{2n-1}{n}\right)}Cevap
  2. B
    e−λ−e−2λe^{-\lambda} - e^{-2\lambda}
  3. C
    e−λ(2n−1n)−e−2λe^{-\lambda\left(\frac{2n-1}{n}\right)} - e^{-2\lambda}
  4. D
    e−λ(1−e−λ/n)e^{-\lambda}\left(1 - e^{-\lambda/n}\right)
  5. E
    e−2λ−e−λ(2n−1n)e^{-2\lambda} - e^{-\lambda\left(\frac{2n-1}{n}\right)}

Cevap

Rao-Blackwell teoreminin sağladığı varyans kazancı e−λ−e−λ(2n−1n)e^{-\lambda} - e^{-\lambda\left(\frac{2n-1}{n}\right)} şeklindedir.
Rao-Blackwell teoremine göre T∗=E(T∣S)T^* = E(T|S) işlemi varyansı düşürür veya en azından aynı bırakır. İlk tahmin edici TT'nin varyansı e−λ−e−2λe^{-\lambda} - e^{-2\lambda}'dır. İyileştirilmiş tahmin edici T∗=(1−1/n)ST^* = (1-1/n)^S'nin varyansı, Poisson dağılımına ait olasılık üreten fonksiyon yardımıyla hesaplandığında e−λ(2n−1)/n−e−2λe^{-\lambda(2n-1)/n} - e^{-2\lambda} bulunur. İyileştirme miktarı olan varyans farkı hesaplandığında, e−2λe^{-2\lambda} terimleri sadeleşir ve doğru sonuç e−λ−e−λ(2n−1)/ne^{-\lambda} - e^{-\lambda(2n-1)/n} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
TT tahmin edicisinin varyansını hesaplama.
Var(T)=e−λ−e−2λVar(T) = e^{-\lambda} - e^{-2\lambda}
TT, Bernoulli dağılımına sahip bir gösterge fonksiyonudur; başarı olasılığı p=e−λp = e^{-\lambda}'dır. Dolayısıyla varyansı p(1−p)p(1-p) formülüyle bulunur.
2
T∗=E(T∣S)T^* = E(T|S) iyileştirilmiş tahmin edicisini bulma.
T∗=(1−1n)ST^* = \left(1 - \frac{1}{n}\right)^S
Koşullu olasılık tanımından P(X1=0∣∑Xi=S)=P(X1=0)P(∑i=2nXi=S)P(∑i=1nXi=S)P(X_1=0 | \sum X_i = S) = \frac{P(X_1=0)P(\sum_{i=2}^n X_i = S)}{P(\sum_{i=1}^n X_i = S)} oranı hesaplandığında, Poisson dağılımının toplanabilirlik özelliği gereği bu sonuca ulaşılır.
3
T∗T^*'ın varyansını hesaplama.
Var(T∗)=e−λ(2n−1n)−e−2λVar(T^*) = e^{-\lambda\left(\frac{2n-1}{n}\right)} - e^{-2\lambda}
Var(T∗)=E[(T∗)2]−[E(T∗)]2Var(T^*) = E[(T^*)^2] - [E(T^*)]^2. S∼Poisson(nλ)S \sim Poisson(n\lambda) olduğundan, E[aS]=enλ(a−1)E[a^S] = e^{n\lambda(a-1)} olasılık üreten fonksiyonu kullanılarak a=(1−1n)2a = \left(1 - \frac{1}{n}\right)^2 için beklenen değer bulunur.
4
Varyans farkını (kazancı) hesaplama.
Var(T)−Var(T∗)=e−λ−e−λ(2n−1n)Var(T) - Var(T^*) = e^{-\lambda} - e^{-\lambda\left(\frac{2n-1}{n}\right)}
İki varyans değeri birbirinden çıkarıldığında, e−2λe^{-2\lambda} terimleri birbirini götürür ve sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Rao-Blackwell Teoremi ve Varyans İyileştirmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Rao-Blackwell Teoremi

Bu konudan daha fazla soru