Bir fabrikada üretilen elektronik çiplerin hatalı olup olmadığı incelenmektedir. Seçilen n… — KPSS İstatistik

Bir fabrikada üretilen elektronik çiplerin hatalı olup olmadığı incelenmektedir. Seçilen $n$ ( $n > 2$ ) adet çipin hatalı olma durumu birbirinden bağımsız olup, her birinin hatalı olma olasılığı $p$ 'dir ( $X_i \sim Bernoulli(p)$ ).

Bir mühendis, $p$ parametresinin tahmini için yalnızca ilk iki çipin durumunu dikkate alan $T = \frac{X_1 + X_2}{2}$ yansız tahmin edicisini önermiştir. Ancak bu tahmin edicinin örneklemdeki tüm bilgiyi kullanmadığı fark edilmiş ve $S = \sum_{i=1}^n X_i$ yeterli istatistiği yardımıyla Rao-Blackwell teoremi uygulanarak daha etkin bir $T^*$ tahmin edicisi elde edilmiştir.

Buna göre, ilk önerilen $T$ tahmin edicisi ile Rao-Blackwell teoremi sonucunda elde edilen $T^*$ tahmin edicisinin varyansları arasındaki fark ( $Var(T) - Var(T^*)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{(n-2)p(1-p)}{2n}$ Cevap
B
$\frac{p(1-p)}{2}$
C
$\frac{p(1-p)}{n}$
D
$\frac{(n-1)p(1-p)}{n}$
E
$\frac{(n-1)p(1-p)}{2n}$

Cevap

Varyanslar arasındaki fark

\frac{(n-2)p(1-p)}{2n}

ifadesine eşittir.

Verilen

T = \frac{X_1 + X_2}{2}

tahmin edicisinin varyansı

\frac{p(1-p)}{2}

'dir.

S = \sum X_i

yeterli istatistiği üzerine koşullandırma yapılarak Rao-Blackwell teoremi uygulandığında, elde edilen yeni tahmin edici örneklem ortalaması olan

\bar{X}

'tir.

\bar{X}

'in varyansı ise

\frac{p(1-p)}{n}

'dir. Bizden istenen fark işlemi yapıldığında

\frac{p(1-p)}{2} - \frac{p(1-p)}{n}

ifadesinden paydalar

2n

'de eşitlenerek

\frac{n \cdot p(1-p) - 2 \cdot p(1-p)}{2n} = \frac{(n-2)p(1-p)}{2n}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

İlk tahmin edici olan

T = \frac{X_1 + X_2}{2}

istatistiğinin varyansını hesapla.

Var(T) = \frac{1}{4}[Var(X_1) + Var(X_2)] = \frac{1}{4}[p(1-p) + p(1-p)] = \frac{2p(1-p)}{4} = \frac{p(1-p)}{2}

Varyansın doğrusal özelliklerini kullanarak bağımsız Bernoulli değişkenlerinin varyansları toplanır ve katsayının karesi alınır.

Rao-Blackwell teoremini kullanarak

S

yeterli istatistiğine bağlı

T^* = E[T|S]

tahmin edicisini bul.

T^* = E\left[\frac{X_1 + X_2}{2} \Big| S\right] = \frac{1}{2}(E[X_1|S] + E[X_2|S]) = \frac{1}{2}\left(\frac{S}{n} + \frac{S}{n}\right) = \frac{S}{n} = \bar{X}

Kitle Bernoulli dağılımlı olduğundan

S = \sum X_i

tam ve yeterli istatistiktir. Herhangi bir

X_i

için beklenen değer simetriden dolayı

S/n

'dir.

Elde edilen yeni

T^*

tahmin edicisinin varyansını hesapla.

Var(T^*) = Var(\bar{X}) = \frac{Var(X_1)}{n} = \frac{p(1-p)}{n}

Örneklem ortalamasının varyansı, kitle varyansının örneklem çapına bölümüne eşittir.

İki varyans arasındaki farkı bul.

Var(T) - Var(T^*) = \frac{p(1-p)}{2} - \frac{p(1-p)}{n} = p(1-p)\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{n}\right) = p(1-p)\left(\frac{n-2}{2n}\right)

Teorem gereği yeni tahmin edicinin varyansı her zaman daha küçük veya eşittir. Fark, ne kadarlık bir iyileşme sağlandığını gösterir.

Anahtar Kavram

Rao-Blackwell Teoremi ve Varyans İyileştirmesi

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru