Bir üretim sürecinde elde edilen parçaların ağırlıkları, ortalaması \mu ve varyansı 1 olan… — KPSS İstatistik

Bir üretim sürecinde elde edilen parçaların ağırlıkları, ortalaması $\mu$ ve varyansı $1$ olan normal dağılıma ( $N(\mu, 1)$ ) sahiptir. Ağırlığı $0$ 'dan küçük veya eşit olan parçalar "standart dışı" kabul edilmektedir. Üretim sürecindeki standart dışı parça oranını, yani $\theta = P(X \le 0) = \Phi(-\mu)$ parametresini tahmin etmek için rastgele $n$ ( $n > 1$ ) adet parça seçilmiştir. (Burada $\Phi(\cdot)$ , standart normal dağılımın birikimli dağılım fonksiyonudur.)

İlk gözlemin standart dışı olup olmadığını gösteren gösterge fonksiyonu $T = I(X_1 \le 0)$ , $\theta$ için yansız bir tahmin edicidir. Rao-Blackwell teoremi ve yeterli istatistik olan örneklem ortalaması $S = \bar{X}$ kullanılarak, $T$ 'ye göre varyansı daha küçük olan yeni bir $T^*$ tahmin edicisi elde edilmektedir.

Buna göre, Rao-Blackwell teoremi ile elde edilen yeni tahmin edici $T^*$ ve başlangıç tahmin edicisi $T$ 'nin varyansı ( $Var(T)$ ) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

$T^* = \Phi\left( -\bar{X} \sqrt{\frac{n}{n-1}} \right)$ ve $Var(T) = \Phi(-\mu)[1 - \Phi(-\mu)]$ Cevap
B
$T^* = \Phi(-\bar{X})$ ve $Var(T) = \Phi(-\mu)[1 - \Phi(-\mu)]$
C
$T^* = \Phi\left( -\bar{X} \sqrt{\frac{n}{n-1}} \right)$ ve $Var(T) = \frac{\Phi(-\mu)[1 - \Phi(-\mu)]}{n}$
D
$T^* = \Phi(-\bar{X})$ ve $Var(T) = \frac{\Phi(-\mu)[1 - \Phi(-\mu)]}{n}$
E
$T^* = \Phi\left( -\bar{X} \sqrt{\frac{n-1}{n}} \right)$ ve $Var(T) = \Phi(-\mu)[1 - \Phi(-\mu)]$

Cevap

Doğru seçenek

T^* = \Phi\left( -\bar{X} \sqrt{\frac{n}{n-1}} \right)

Var(T) = \Phi(-\mu)[1 - \Phi(-\mu)]

değerlerini içeren seçenektir.

Rao-Blackwell teoremi uyarınca, geliştirilmiş tahmin edici

T^* = E[T | S]

şeklinde bulunur.

T = I(X_1 \le 0)

Bernoulli dağıldığı için başlangıç varyansı

Var(T) = P(X_1 \le 0)(1 - P(X_1 \le 0)) = \Phi(-\mu)[1 - \Phi(-\mu)]

olur.

T^*

'ı hesaplamak için

\bar{X}

verildiğinde

X_1

'in dağılımına ihtiyaç vardır. Normal dağılım özelliklerinden

X_1 | \bar{X}

dağılımının ortalaması

\bar{X}

, varyansı ise

\frac{n-1}{n}

olarak elde edilir. Dolayısıyla

P(X_1 \le 0 | \bar{X})

olasılığı standartlaştırma işlemiyle

\Phi\left( \frac{0 - \bar{X}}{\sqrt{(n-1)/n}} \right)

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

Başlangıç tahmin edicisi

T

'nin varyansını hesaplama

Var(T) = \Phi(-\mu)[1 - \Phi(-\mu)]

T = I(X_1 \le 0)

gösterge fonksiyonu, başarı olasılığı

\theta = \Phi(-\mu)

olan bir Bernoulli rastgele değişkeni tanımlar. Bernoulli dağılımının varyansı

\theta(1-\theta)

'dır.

X_1

\bar{X}

arasındaki kovaryansı bulma

Cov(X_1, \bar{X}) = \frac{1}{n}

Cov(X_1, \frac{1}{n}\sum X_i) = \frac{1}{n}Cov(X_1, X_1) = \frac{1}{n}Var(X_1) = \frac{1}{n}

olarak hesaplanır. Bu, koşullu dağılımı bulmak için gereklidir.

\bar{X}

verildiğinde

X_1

'in koşullu dağılımını belirleme

X_1 | \bar{X} \sim N\left(\bar{X}, \frac{n-1}{n}\right)

İki değişkenli normal dağılım kurallarına göre

E[X_1|\bar{X}] = \mu + \frac{1/n}{1/n}(\bar{X}-\mu) = \bar{X}

Var(X_1|\bar{X}) = 1 - \frac{(1/n)^2}{1/n} = 1 - \frac{1}{n} = \frac{n-1}{n}

bulunur.

Rao-Blackwell teoremi ile

T^*

değerini elde etme

T^* = \Phi\left( -\bar{X} \sqrt{\frac{n}{n-1}} \right)

T^* = E[I(X_1 \le 0) | \bar{X}] = P(X_1 \le 0 | \bar{X})

'dir. Bu olasılık standart normal dağılıma çevrilerek

P\left( Z \le \frac{0 - \bar{X}}{\sqrt{(n-1)/n}} \right)

şeklinde hesaplanır.

Anahtar Kavram

Rao-Blackwell teoremi ile koşullu beklenen değer hesabı ve başlangıç tahmin edicilerinin özellikleri

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru